一元二次方程根與系數(shù)地關(guān)系(韋達(dá)定理)(20201210015722)

1、實(shí)用文案 標(biāo)準(zhǔn)文檔 一元二次方程根與系數(shù)的矢系(韋達(dá)定理) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1、學(xué)會(huì)用韋達(dá)定理求代數(shù)式的值。 2、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理求待定系數(shù)。 3、理解并掌握應(yīng)用韋達(dá)定理構(gòu)造方程，解方程組。 4、能應(yīng)用韋達(dá)定理分解二次三項(xiàng)式。 知識(shí)框圖 一元二次韋達(dá)定理 應(yīng)用 方程的求 根公式 【內(nèi)容分析】 bc X X2，為 X2 aa 說(shuō)明：(1 )定理成立的條件 0 (2 )注意公式重Xi X2 的負(fù)7與 a 韋達(dá)定理：對(duì)于一元二次方程ax2 bx 求代數(shù)式的值求待定系數(shù) 構(gòu)造方程 解特殊的二元二次方程組 二次三項(xiàng)式的因式分解 cO (aO)，如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根Xi 一的符號(hào)的區(qū)別 ,x2，那么

2、根系尖系的三大用處 (1 )計(jì)算對(duì)稱式的值 例若Xi,X2是方程好2x 2007 0的兩個(gè)根試求下列各式的值: 解: 2 2 1 (1)X1x2 ；(2) Xi X2 由題意，根據(jù)根與系數(shù)的尖系得: 2 Xi 22 X2 (X-l X2 )2X-IX2 Xi 1Xi X2 2 X2 X1X22007 (3) (Xi 5)(X25)； Xi X2 2 2) 2( 2 2007 (4) | Xi X2|. (Xi 5)(X2 5)X-1X2 5(x-i x2)25 IXi X2|%(X1 X2)2 (XiX2)2 4AXa 說(shuō)明: 2, X1X2 2007 2007)4018 20075( 2)2

3、51972 (2)2 4( 2007) 2 2008 利用根與系數(shù)的尖系求值，要熟練掌握以下等式變形: X12 X22 (Xi X2)2 2乍2, (Xi X2)2(Xi X2)2 4X1X2, Xi X2 X1X2 |Xix2| (Xi X2)2 4XiX2 , XiX22Xi2X2 XiXa (Xi X2), X；X23(Xi X2)3 3XiX,XiX等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想. 【課堂練習(xí)】 1 .設(shè)xi, X2是方程2x2 - 6X + 3= 0的兩根，則xi2 + X22的值為 2 .已知 Xi, X2是方程 2X2 7X + 4 = 0 的兩根，則 Xi+ X2 =, XiX2

4、= , (Xi - X2) 2= 1 3 已知方程2X2 3x+k=0的兩根之差為2:，貝U k=; 4 .若方程x2+(a 2 - 2)x - 3=0的兩根是1和一 3，貝U吐 ; 5 .若矢于X的方程x2+2(m 1 )x+4m 2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)根互為倒數(shù)那么m 的值為 6 設(shè)Xi,X2是方程2X? _ - 6X+3=0的兩彳、根，求卜列各式的值 (1)Xl2X2+XlX22 1 1 (2) XiX2 7 已知冷和X2是方程2X?gx 仁0的兩個(gè)根，禾U用根與系數(shù)的矢系，求下列各式的 值： 1 1 2 2 X1 X2 (2)構(gòu)造新方程 理論：以兩個(gè)數(shù) 為根的一元二次方程是 例解

5、方程組x+y=5 xy=6 解：顯然，X, y是方程ZZ5Z+6二0的兩根 由方程解得zi=2,z 2=3 原方程組的解為 xi=2,yi=3 X2=3,y 2=2 顯然，此法比代入法要簡(jiǎn)單得多。 (3)定性判斷字母系數(shù)的取值范圍 例一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)是方程 三邊長(zhǎng)為2，求k的取值范圍。 解：設(shè)此三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且a、b為 的兩根，則c=2 由題意知 =k2-4 X2 X2 0, k 4 或 k W-4 為所求。 【典型例題】 例1已知矢于啲方程x(k1)x 2 1 2 4k 1 0，根據(jù)下列條件，分別求出k的值. 方程兩實(shí)根的積為 5 ； (2)方程的兩實(shí)根X!, X2滿足I

6、XX2. 分析：由韋達(dá)定理即可求之；有兩種可能，一是 X2O,二是 Xi X2, 所以要分類討論. 解：(1)T方程兩實(shí)根的積為5 2 1 2 34 2 Q K k (k1)2 4(； k21) 4 1 I 2 彳口 X1X2 k 15 4 所以，當(dāng)k 4時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5. 由I Xi |X2得知： 當(dāng)X1 0時(shí)，為X2，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故k 當(dāng) x-iO 時(shí)，Xi X2x-i X2 0 k 1 0 k 1，由于 1不合題意，舍去. X1, X2 滿足 I X1 I X 3 Ok，故 k 2 綜上可得，k 3時(shí)，方程的兩實(shí)根 2 說(shuō)明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件, 求待定字

7、母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí) 根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足 例2已知 X, X2是一元二次方4kx2 4kx 程 （1）是否存在實(shí)使（2為X2） （x 數(shù) 10的兩個(gè)實(shí)數(shù) 根. 2x2）成立？若存在，求出k的值; 2 若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由. X2 X2 X-| 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù) k，使（2 為 X2） （為 元二次方程4kx2 4kx k 1 （1）假設(shè)存在實(shí) 3 2X2)2成立. 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 4k 0 (4k)24 4k(k 1) 16k 又X!,X2是一元二次方程4kx2 4kx k 10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 Xi X2 NX2 1 kl 4k 1,2, 注意到ko, (2Xi %2)(為

8、2X2) k9 2(Xi2 X22) 5x-|X2 2(X1 x2) 9xi X2 4k 不存在實(shí)數(shù)k, 使(“ 2X2 彳成立. X2XX ) Xi X2 1 22 2 1 Xa X2)2 4k Nx2 NX2 k1 要使其值是整數(shù)，只需k 1能被4整除，故k X-i X2, 要使一 一 2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為2, 3,5 . X2 Xi 說(shuō)明：（1）存在性問(wèn)題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說(shuō)明 存在， 否則即不存在. 4 （2）本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法. k1 （1 k） x22x 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 22 方程X? (2m 1)

9、xm2 2 2x 8x 7 0的兩個(gè)根，則這個(gè)直 一元二次方程根與系數(shù)的矢系練習(xí)題 A. k 2 B. k 2,且 k1 C. k 2 D. 12,且1 2 若N,X2是方程2X 2 6x 30的兩個(gè)根 ，則 1 1 的值為 () 片 X2 1 9 A 9 B 9 C 2 D 2 3.已知菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為 5，兩條對(duì)角線交于 O 點(diǎn)，且0A、 OB的長(zhǎng)分別是矢于X的 1一元二次方程 k的取值范圍是（） A. 3 B . 5 C . 5或 3 D .5或 3 4 .右t是一兀二次方程ax bx c 0 (a 0）的 根， 則判別式 2 b 4ac和完全平方 式 M (2at b） 2的矢系

10、是 （ ) A. MB . M c. M D.大小尖系不能確定 5 .若實(shí)數(shù)a b，且a, b滿足a2 8a 5 0,b2 8b 50 ，則代數(shù)式匕一的 a 1 b 1 值為（） A .20 B . 2 C . 2或 20 D. 2 或 20 6 如果方程 (b c)x2 (c a)x (a b) 0的兩根相等，貝 II a,b, c之間的尖系是 30的根，則m等于（ 7 .已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程 角三角形的斜邊長(zhǎng)是 8 若方程 2x2 (k 1 )x k 3 0的兩根之差為1，則k的值是 22 9 .設(shè)X1, X2是方程xpxqo的兩實(shí)根，X1 1 ,X2 1是尖于x的方

11、程xqxpO 的兩實(shí)根，貝IP = , q = 2 ,c= 其值都不可 10 已知實(shí)數(shù) a, b, c 滿足 a 6 b,c ab 9，貝 ij a= , b = 11 對(duì)于二次三項(xiàng)式x2 10 x 36，小明得岀如下結(jié)論：無(wú)論x取什么實(shí)數(shù) 能等于10 您是否同意他的看法？請(qǐng)您說(shuō)明理由. 12 .若n 0,尖于x的方程x2 (m 2n)x有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根, 值. 2 13 .已知矢于x的一元二次方程x (4m 1)x2m 10 . (1)求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； 、1 1 1 (2)若方程的兩根為Xi ,X2，且滿足 X1 X2 2 2 1 2 14已知矢于X的

12、方程x(k1)x -k1 0的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng). 4 (1) k取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？ (2) 當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是，5時(shí)，求k的值. B組 2 1 已知矢于X的方程(k 1)X2 (2k 3)x k 1 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根X1,X2 (1)求k的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)k， 使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值；如果不存 在，請(qǐng)您說(shuō)明理由 2 已知矢于X的方程X2 3xm0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11 求證：矢于x的方 程(k 3)x2 kmx m2 6m 4 0有實(shí)數(shù)根 Xi, X都大于1 22 3 若Xi,X2是尖于x的方程x(2k1)xk10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根, (1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍； 心、Xi若一 1 ，求k的值 X2 2 答案 1