(完整word版)離散傅里葉變換的分析與研究

1、XXXX大學(xué)2012屆學(xué)士學(xué)位論文離散傅里葉變換的分析與研究學(xué)院、專業(yè)物理與電子信息學(xué)院電子信息工程研究方向數(shù)子信號處理學(xué)生姓名XX學(xué)號XXXXXXXXXXX指導(dǎo)教師姓名XXX指導(dǎo)教師職稱講師2012年4月26日淮北師范大學(xué)2012屆學(xué)士畢業(yè)論文離散傅里葉變換的分析與研究離散傅里葉變換的分析與研究XX淮北師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院235000摘要離散傅里葉變換是連續(xù)傅里葉變換在時域和頻域上都離散的形式，是對連 續(xù)時間信號頻譜分析的逼近。離散傅里葉變換不僅在理論上有重要意義，而且在 各種信號的處理中亦起著核心作用。本文首先介紹了離散傅里葉變換的定義及性質(zhì)，然后介紹了離散傅里葉變換 的應(yīng)用，主要包

2、括對線性卷積的計算和對連續(xù)信號的譜分析。在理解理論的基礎(chǔ) 上，在matlab環(huán)境下實現(xiàn)了線性卷積和對連續(xù)信號頻譜分析的仿真。仿真結(jié)果表 明：當(dāng)循環(huán)卷積長度大于或等于線性卷積長度時，可利用循環(huán)卷積計算線性卷積； 利用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似的結(jié)果與信號帶寬，采 樣頻率和截取長度都有關(guān)。關(guān)鍵詞 離散傅里葉變換；線性卷積；譜分析#淮北師范大學(xué)2012屆學(xué)士畢業(yè)論文離散傅里葉變換的分析與研究The Analysis and Research of Discrete Fourier TransformXXSchool of Physics and Electro nic In f

3、ormati on, Huai Bei Normal Un iversity. An hui Huaibei, 235000Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier

4、 transform not only has importa nt sig nifica nee in theory, but also plays a cen tral role in all kinds of sig nal process ing .This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier tran sform first of all.The n in troduced the applicati on of the discrete Fourier tran sform,

5、which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the le

6、ngth of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the si

7、g nal ban dwidth, sampli ng freque ncy and in tercept len gth.Keywords The discrete Fourier tran sform; Lin ear convo luti on; Spectrum an alysisiii淮北師范大學(xué)2012屆學(xué)士畢業(yè)論文離散傅里葉變換的分析與研究目次1緒論12 DFT的基本理論 22.1 DFT的定義22.2 DFT的隱含周期性22.3 DFT的性質(zhì)33 DFT的應(yīng)用63.1 用DFT計算線性卷積 63.2 用DFT對信號進(jìn)行譜分析 93.3 用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題 12結(jié)論13

8、參考文獻(xiàn)14附錄15致謝18IV淮北師范大學(xué)2012屆學(xué)士畢業(yè)論文離散傅里葉變換的分析與研究1 緒論傅里葉變換是數(shù)字信號處理中常用的重要數(shù)字變換。對于有限長序列，還有一種更為重要的數(shù)學(xué)變換，即本文要討論的離散傅里葉變換(即DFT)。離散傅里葉變換之所以更為重要，是因為其實質(zhì)是有限長序列傅里葉變換的有限點離散采 樣，從而實現(xiàn)了頻域離散化，使數(shù)字信號處理可以在頻域采用數(shù)值運算的方法進(jìn) 行，這樣就大大增加了數(shù)字信號處理的靈活性。更為重要的是，離散傅里葉變換 有多種快速算法，統(tǒng)稱為快速傅里葉變換，從而使信號的實時處理和設(shè)備的簡化 得以實現(xiàn)。所以說，離散傅里葉變換不僅在理論上有重要意義，而且在各種信號

9、的處理中亦起著核心作用。DFT在數(shù)字通信、語音信號處理、圖像處理、功率譜估計、系統(tǒng)分析與仿真、 雷達(dá)信號處理、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。(1) 快速傅里葉變換快速傅里葉變換(即FFT)是計算離散傅里葉變換及其逆變換的快速算法。按 照DFT的定義計算一個長為n的序列的DFT需要的計算復(fù)雜度達(dá)到了，而同樣長度 FFT的計算復(fù)雜度僅為。由于DFT勺逆變換可以由DFT表示，所以DFT逆變換的計 算同樣可以由FFT完成。FFT算法的提出，使DFT得到了廣泛的實際應(yīng)用。(2) 頻譜分析前面指出，DFT是連續(xù)傅里葉變換的近似。因此可以對連續(xù)信號x(t)均勻采樣并截斷以得到有限長

10、的離散序列，對這一序列作離散傅里葉變換，可以分析連續(xù) 信號x(t)頻譜的性質(zhì)。前面還提到DFT應(yīng)用于頻譜分析需要注意的兩個問題：即采 樣可能導(dǎo)致信號混疊和截斷信號引起的頻譜泄漏?？梢酝ㄟ^選擇適當(dāng)?shù)牟蓸宇l率(見奈奎斯特頻率)消減混疊。選擇適當(dāng)?shù)男蛄虚L度并加窗可以抑制頻譜泄漏。(3) 數(shù)據(jù)壓縮由于人類感官的分辨能力存在極限，因此很多有損壓縮算法利用這一點將語 音、音頻、圖像、視頻等信號的高頻部分除去。高頻信號對應(yīng)于信號的細(xì)節(jié)，濾 除高頻信號可以在人類感官可以接受的范圍內(nèi)獲得很高的壓縮比。這一去除高頻 分量的處理就是通過離散傅里葉變換完成的。將時域或空域的信號轉(zhuǎn)換到頻域， 僅儲存或傳輸較低頻率上的系

11、數(shù)，在解壓縮端采用逆變換即可重建信號1-2。2 DFT的基本理論2.1 DFT的定義設(shè)x(n)是一個長度為M的有限長序列，則定義x(n)的N點離散傅里葉變換為:N 1X(k) DFTx(n)x(n)W,nk 0,1, ., N 1(1)n 0(1)式即為離散傅里葉變換的表達(dá)式，其中， N稱為DFT變換的區(qū)間長度。2.2 DFT的隱含周期性前面定義的DFT變換對中，x(n)與X(k)均為有限長序列，但由于 的周期 性，使式中的X(k)隱含周期性，且周期均為N。對任意整數(shù)m，總有：WN WN mNk,m為整數(shù)，N為自然數(shù)所以(1)式中，X(k)滿足：N 1X(k mN)x(n)wNk mN)nn

12、0N 1x( n)W,n X(k)n 0實際上,任何周期為N的周期序列都可以看作長度為N的有限長序列x(n)的周期 延拓序列，而x(n)則是的一個周期，即：(n) x(n mN)(2)mx( n) (n)RN( n)為了以后敘述方便，將(2)式用如下形式表示：(n) x(n )n式中x(n)N表示x(n)以N為周期的周期延拓序列，(n)N表示n對N求余，即 如果：n=MN+n1，0 n1maxN,M。 循環(huán)卷積定理：有限長序列 x1(n)和 x2(n)，長度分別為 Ni 和 N2, N=maxNi,N2 xi(n)和 X2(n)的N點DFT分別為：Xdk) DFTxd n)X2(k) DFTX

13、2( n)如果X(k) Xj(k)?X2(k)則N 1X(n) IDFTx(k)xMm)X2(n m)N Rn (n)m 0N 1X(n) IDFT x(k)X2(m)x,(n m)N Rn (n)m 0般，式(5)、(6)稱為x1 (n)和x 2(n)的循環(huán)卷積3-4。3 DFT的應(yīng)用3.1用DFT計算線性卷積用DFT計算循環(huán)卷積很簡單。設(shè)h(n)和x(n)的長度分別為N和M，其L點循環(huán)卷積為：L 1yc( n)h(m)x( (n m)LRL( n)m 0且：H(k) DFTh(n)L0 k L 1, L maxN, M X(k) DFTx(n)L則由DFT的時域循環(huán)卷積定理有：Yc(k)

14、DFTyc( n)h H(k)X(k)0 k L 1由此可見，循環(huán)卷積可以在時域直接計算，由于DFT有快速算法，當(dāng)L很大時,在頻域計算循環(huán)卷積的速度快的多，因而常用DFT計算循環(huán)卷積。在實際應(yīng)用中，為了分析時域離散線性時不變系統(tǒng)或者對序列進(jìn)行濾波處理需要計算兩個序列的線性卷積。與計算循環(huán)卷積一樣,為了提高運算速度,也希望用DFT計算線性卷積。而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積，因此，下面導(dǎo) 出線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系以及循環(huán)卷積與線性卷積相等的條件。假設(shè)h(n)和x(n)都是有限長序列，長度分別是 N和M。他們的線性卷積和循 環(huán)卷積分別表示如下：N 1yi(n)h (n) x( n) h (

15、m) x( n m)m 0L 1yc( n)h(m)x( n m)LRL( n)m 0其中L maX N, M , x(n)L x(n iL)i所以N 1h(m)x(n iL m)R (n)yc (n)h(m) x(n m iL)RLm 0ii對照(7)式可以看出，上式中N 1h(m)x(n iL m) yl (n iL)m 0即yc( n)yi(n iL)RL( n)(8)i(8)式說明，yc(n)等于yi(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。我們知道，yi(n)長度為N+M-1，因此只有當(dāng)循環(huán)卷積長度 LN+M-1時，yn)以L為周期 進(jìn)行時才無時域混疊現(xiàn)象。此時取其主值序列顯然滿足y

16、c(n) yl(n)。由此證明了 循環(huán)卷積等于線性卷積的條件是 L N+ M-15-6。下面舉例說明線形卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系：例1設(shè)序列x仁1 2 3 2，x2=2 1 2 1，求兩序列的線性卷積及4點，7點和9點 的循環(huán)卷積。仿真結(jié)果如圖24所示。圖已序列疝2f1F7+ThIliIIIlIiiIhIiiiIHillHIHIHIHI0111100.511.522.533.54圖b序列貶4iiiiiii2”01111100.511.522.533.54圖2原序列x1和x2圖2為原序列x1和x2。由線性卷積公式：y(n)=x1*x2 ;得到序列x1和x2的線性卷積結(jié)果如圖3所示。15THIIL

17、110-1卜1卜5 +140(*1) 121456圖3序列x1和x2的線性卷積由圖3得yn)=x1*x2，線性卷積結(jié)果為：2510 1210 7 2 0由循環(huán)卷積定義計算x1和x2的4點，7點，9點循環(huán)卷積，結(jié)果如圖4所示圖耳序列幻和序列x2的4點循環(huán)卷積結(jié)果20111.110 - -0 1100 511.522.53圖b序列珀和序列農(nóng)的7點循環(huán)卷積結(jié)果圖匚序列幻和序列垃的9點循環(huán)卷積結(jié)果20iiiiiio -| T +一0 ；01234 S 67 S圖4序列x1和序列x2的4點，7點，9點循環(huán)卷積圖4中，圖a是兩序列的4點循環(huán)卷積，圖b是兩序列的7點循環(huán)卷積，圖c 是兩序列的9點循環(huán)卷積。將

18、圖3和圖4中的圖a,圖b和圖c依次比較可得出，如果循環(huán)卷積長度小于線 性卷積長度，則二者的卷積結(jié)果不相等。當(dāng)循環(huán)卷積長度大于或等于線性卷積長 度時，二者相等，從而可以由循環(huán)卷積來計算線性卷積。3.2用DFT對信號進(jìn)行譜分析所謂信號的譜分析，就是計算信號的傅里葉變換。連續(xù)信號與系統(tǒng)的傅里葉 分析顯然不便于直接用計算機計算，使其應(yīng)用受到限制。而DFT是一種時域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運算，成為用計算機分析離散信號和系統(tǒng)的有力工 具。對連續(xù)信號和系統(tǒng)，可以通過時域采樣，應(yīng)用DFT進(jìn)行近似譜分析。下面將介紹DFT對連續(xù)信號和離散信號進(jìn)行譜分析的原理及方法。3.2.1用DFT對連續(xù)信號譜分析工程實

19、際中，經(jīng)常遇到的連續(xù)Xa(t)其頻譜函數(shù)Xa(j )也是連續(xù)函數(shù)。為了利 用DFT對Xa(t)進(jìn)行頻譜分析，先對Xa(t)進(jìn)行時域采樣，得到x(n) Xa(nT)，再 對x(n)進(jìn)行DFT，得到的X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(ejw)在頻率區(qū)間0,2 n 上 的N點等間隔采樣。用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，近似度與信 號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。以下分析中，假設(shè)Xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處 理的有限長帯限信號。X(n) 的傅立葉變換X(ejw )與Xa(t)的傅里葉變換Xa(j )滿足如下關(guān)系：X(ejw)1wXaj( 7*m)T mTT將wT帶入上式，得到：X(ej

20、T)1Xaj(2m) def1 Xa(j )T mTT由x(n)的N點DFT定義有X(k) DFTx (n )nX(ejw) |wLk0NkN 1將(10)式帶入(9)式中，得到：jk1 21 2X(k) X(e N )Xa(k)Majk)0 k N 1NTTTp上式說明了 X(k)與Xa(j )的關(guān)系，以頻率f為自變量，整理(11)式，得:(9)(10)(11)Xa(kF) TX(k) T?DFTx(n)Nk 0,1,2，., N 1式中，F(xiàn)表示對模擬信號頻譜的采樣間隔，所以稱之為頻率分辨率，Tp NT為截斷時間長度3.2.2用DFT對序列進(jìn)行譜分析我們知道單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變

21、換，即：X(ejw)X( z)X (ejw)是w的連續(xù)周期函數(shù)。如果對序列 x(n)進(jìn)行N點DFT得到X(k)，則X(k)是在區(qū)間0,2 n 上對X(ejw )的N點等間隔采樣，頻譜分辨率就是采樣間隔2 n /N 因此序列的傅里葉變換可利用 DFT來計算。對周期為N的周期序列(n)，其頻譜函數(shù)為：X(ejw)FT( n)2_ N k 2X(k) (w 寸)其中X(k) DFS(n)N 1(n)e2j-Nkn由于X(k)以N為周期，因而X(ejw)也是以2 n為周期的離散譜，每個周期有 N條 譜線，第k條譜線位于w=(2n /N)k處，代表(n)的k次諧波分量。而且，譜線的 相對大小與X(k)成

22、正比。由此可見，周期序列的頻譜結(jié)構(gòu)可用其離散傅里葉級數(shù) )(k)表示。由DFT的隱含周期性知道，截取(n)的主值序列x(n)(n)Rn(n)， 并進(jìn)行N點DFT得到：X(k) DFTx(n)NDFT(“)Rn (n) 乂(k)Rz (k)所以可用X(k)表示(n)的頻譜結(jié)構(gòu)。在很多實際應(yīng)用中，并非整個單位圓上的頻譜都有意義。例如窄帶信號，往 往只希望對信號所在的一段頻帶進(jìn)行頻譜分析，這時便希望采樣能密集地在這段 頻帶內(nèi)進(jìn)行，而帶外部分可完全不予考慮。另外，有時希望采樣點不局限于單位 圓上。例如語音信號處理中，常常需要知道系統(tǒng)極點所對應(yīng)的頻率，如果極點位 置離單位圓較遠(yuǎn)，則其單位圓上的頻譜就很平

23、滑，這時就很難從中識別出極點對 應(yīng)的頻率。如果使采樣點軌跡沿一條接近這些極點的弧線或圓周進(jìn)行，則采樣結(jié) 果將會在極點對應(yīng)的頻率上出現(xiàn)明顯的尖峰，這樣就能準(zhǔn)確地測定出極點頻率。 對均勻分布在以原點為圓心的任何圓上的N點頻率采樣，可用DFT計算，而沿螺旋弧線采樣，則要用線性調(diào)頻 Z變換(Chirp-Z變換，簡稱CZT計算7-8。 下面通過實例來說明連續(xù)信號的頻譜分析：例2已知一連續(xù)信號y(t) sin(2 ft)其中，f=200Hz，現(xiàn)以采樣頻率fs 1000 Hz，截取長度N分別為100, 200點。截取長度分別為Tp1=0.1s，Tp2=0.2s。對該信號 進(jìn)行頻譜分析，仿真結(jié)果如圖5,圖6所

24、示。圖卻N=100圖5截取長度N=100時的頻譜圖5為截取長度Tp=0.1s時的頻譜圖，由圖可以看出該信號包含頻率成分為 200Hz。10.5二 0圖 b N=200-100-80-50-40-20020406060100圖6截取長度N=200時的頻譜0.5圖6為截取長度 邛=0.2s時的頻譜圖，由圖可以看出該信號包含頻率成分為200Hz由圖5和圖6可得出：用DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近 似度與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)，由于截取長度Tp2增加了一倍，所以 圖6的分辨率也提高了一倍。3.3用DFT進(jìn)行譜分析的誤差問題(1) 混疊現(xiàn)象對連續(xù)信號進(jìn)行譜分析時，首先要對其采樣

25、，變成時域離散信號后才能用DFT 進(jìn)行譜分析。采樣速率Fs必須滿足采樣定理，否則會在w=n附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn) 象。這時用DFT分析的結(jié)果必然在f=Fs/2附近產(chǎn)生較大誤差。因此，理論上必須 滿足Fs2fc。對Fs確定的情況，般在采樣前進(jìn)行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率Fs/2。(2) 截斷效應(yīng)為了避免混疊效應(yīng)，頻帶應(yīng)該為有限帶寬信號，而有限帶寬信號Xa(t)頻帶寬度 必定是無限長的信號，其采樣信號 x(n)自然是無限長序列。DFT由于只能計算有 限長的信號，因此必須對x(n)截短。截短也稱截斷，相當(dāng)于將原始序列與長度為 N 的矩形序列相乘，這將導(dǎo)致原來的離散譜線向附近擴展，出現(xiàn)兩種情況： 形成頻譜泄

26、露或功率泄露：對一個時間無限的信號雖然頻帶有限，但在實際 FT運算中，時間長度總是取 有限值，在將信號截短的過程中，出現(xiàn)了分散擴展譜線的現(xiàn)象，稱為頻譜泄漏或 功率泄漏。 出現(xiàn)譜間干擾：如果展寬的信號頻譜的高頻分量超過，就造成混疊，影響頻率分辨率。解決方法：增加N的截短長度。隨著截短長度N增加，XN(ejw)更接近理論的X(ejw)值，反之若截短長度N減小， 則泄漏誤差加大。(3) 柵欄效應(yīng)：(又稱分辨率有偏誤差)N點DFT是在頻率區(qū)間0, 2 n 上對信號頻譜進(jìn)行N點等間隔采樣，得到的 是若干個離散的頻譜點 X(k)，且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的 一邊通過縫隙看另一邊的景象一樣

27、，只能在離散點處看到真實的景象，其余部分 頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補零,使譜線變密，增加頻域采樣點數(shù)，原來漏掉的某些頻譜分量就可能被檢 測出來9。結(jié)論本文首先介紹了離散傅里葉變換的定義及性質(zhì)， 然后介紹了離散傅里葉變換的 應(yīng)用，主要包括對線性卷積的計算及對連續(xù)信號的譜分析。在理解理論的基礎(chǔ)是 上，在matlab環(huán)境下實現(xiàn)了線性卷積和對連續(xù)信號頻譜分析。仿真結(jié)果表明：當(dāng) 循環(huán)卷積長度大于或等于線性卷積長度時，可利用循環(huán)卷積計算線性卷積；利用 DFT對連續(xù)信號進(jìn)行頻譜分析必然是近似的，其近似的結(jié)果與信號帶寬，采樣頻 率和截取長度都有關(guān)。離散傅里葉變換在數(shù)字通信、語

28、音信號處理、圖像處理、功率譜估計、系統(tǒng) 分析與仿真、雷達(dá)信號處理、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都有著 廣泛的應(yīng)用。因此離散傅里葉變換的研究顯得尤為重要。參考文獻(xiàn)1 王世一 數(shù)字信號處理M.北京：北京工業(yè)學(xué)院出版社，19872 胡廣書.數(shù)字信號處理理論、算法與實現(xiàn)M.北京：清華大學(xué)出版社，19983 丁玉美,高西全.數(shù)字信號處理M.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.84 劉曉陽.離散傅立葉變換的公式分析與求解J.濟南教育學(xué)院學(xué)報,2004年第 6期 樓順天,李博菡.基于MATLAB勺系統(tǒng)分析與設(shè)計信號處理M.西安：西安電 子科技大學(xué)出版社，1998 曹戈.MATLAB教程及實訓(xùn)M

29、.北京：中國電力出版社,20087 薛年喜.MATLAB在數(shù)字信號處理中的應(yīng)用M.北京：清華大學(xué)出版社，20048 徐巖，張曉明，王瑜，孫慶彬，王之猛，孫岳.基于離散傅里葉變換的頻譜分析新 方法J.電力系統(tǒng)保護與控制，2011年11期9 劉益成，孫祥娥.數(shù)字信號處理M.北京：電子工業(yè)出版社，2004附錄循環(huán)卷積實現(xiàn)程序：x1=input(輸入 x仁);輸入 x1= 1 2 3 2x2=input(輸入 x2=);輸入 x2=2 1 2 1xn 1=le ngth(x1);xx n1=0:x n1-1;subplot(2,1,1);stem(xx n1,x1,.);title(序列 x1);ax

30、is(0,4,0,4);grid;xn 2=le ngth(x2);xx n2=0:x n2-1;subplot(2,1,2);stem(xx n2,x2,.);title(序列 x2);axis(0,4,0,4);grid;figure(2)N=input(輸入 N=);輸入N=4x1=x1,zeros(1,N-le ngth(x1);x2=x2,zeros(1,N-le ngth(x2); m=0:N-1;x=zeros(N,N);for n=0:N-1x(:, n+1)=x2(mod( n-m),N)+1);en d;yn=x1*x;subplot(3,1,1);stem( m,yn ,r,.);title(序列x1和序列x2的4點循環(huán)卷積結(jié)果);N=input(輸入 N=);輸入N=7x1=x1,zeros(1,N-le ngth(xl);x2=x2,zeros(1,N-le ngth(x2);m=0:N-1;x=zeros(N,N);for n=0:N-1x(:, n+1)=x2(mod( n-m),N)+1);en d;yn=x1*x;subplot(3,1,2);stem( m,yn ,r,.);title(序列x1和序列x2的7點循環(huán)卷積結(jié)果);N=input(輸入 N=);輸入N=9x1=x1,zeros(1,N-le ngth(