專題訓練一等腰三角形的存在性問題

1、專題訓練一等腰三角形的存在性問題典藏回顧我們收集、解讀近5年全國各地的中考數(shù)學壓軸題，以全省(市)統(tǒng)一考試的北京、上海、重慶、山西、陜西、河南、河北、江西、安徽、海南和以市為單位統(tǒng)一考試的江蘇、浙江、廣東、山東、湖北、湖南、福建、四川、遼寧等地的試題為樣本，分析各地考試壓軸題 的常見類型。等腰三角形的存在性問題是中考數(shù)學的熱點問題，近五年上海、重慶和江蘇、浙江、廣東、湖北等省份的部分市考到過這個問題，也是上海各區(qū)模擬考試的熱點.專題攻略如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB= ACBA= BC,CA= CB三種情況.已知腰長畫等腰三角形用圓規(guī)畫圓，已知底邊畫等腰三角形用刻度尺畫垂直平分線.解

2、等腰三角形的存在性問題， 有幾何法和代數(shù)法， 把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合，可以使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類、畫圖、計算.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長，分類列方程，解方程并檢驗.針對訓練1.如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點D在坐標為(3 , 4)，點P是x軸正半軸上的一個動點，如果 DOP1等腰三角形，求點P的坐標.2如圖，在矩形 ABCDK AB= 6, BC= 8,動點P以2個單位/秒的速度從點 A出發(fā)，沿AC 向點C移動，同時動點 Q以1個單位/秒的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，當P、Q兩 點中其中一點到達終點時則停止運動.在 P、Q兩點移動過程中，當 PQC為等腰三角

3、形時，求t的值.(08南匯25)3.如圖，直線y = 2x+ 2與x軸交于點A,與y軸交于點B,點P是x軸正半軸上的一個動點，直線PQ與直線AB垂直，交y軸于點Q,如果 APC是等腰三角形，求點 P的坐標.三年真題4. (12臨沂26)如圖，點 A在x軸上,OA= 4，將線段OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120。至OB的位置.(1) 求點B的坐標;(2) 求經(jīng)過 A O B的拋物線的解析式;(3 )在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P,使得以點 P、O B為頂點的三角形是等腰三角形若存在，求點 P的坐標；若不存在，請說明理由.5. (11湖州24)如圖1，已知正方形 OABC勺邊長為2,頂點A、C分別在x

4、、y軸的正半軸上，M是BC的中點.RO, m）是線段OCh動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點 D.（1）求點D的坐標（用含 m的代數(shù)式表示）；（2）當厶APD是等腰三角形時，求 m的值；（3） 設過P、M B三點的拋物線與x軸正半軸交于點 E,過點0作直線ME勺垂線，垂足為H （如圖2）.當點P從0向C運動時，點H也隨之運動請直接寫出點H所經(jīng)過的路長（不必寫解答過程）.圖1圖26. （10南通27）如圖，在矩形 ABCD中, AB= m（m是大于0的常數(shù)），BC= 8, E為線段BC 上的動點（不與 B、C重合）.連結(jié)DE作EF丄DE EF與射線BA交于點F,設CE=x, BF= y

5、.（1 ）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m= 8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少12（3）若y 上，要使 DEF為等腰三角形，m的值應為多少m兩年模擬7. （ 2012年福州市初中畢業(yè)班質(zhì)量檢查第21題）沿BC如圖，在 ABC中，AB= AC= 10, BC= 16, DE= 4動線段 DE（端點D從點B開始）E到達點 C時運動停止.過點以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當端點5DPH P5 0025AC .AB2 BC262 82 10此cos ACB,0)在厶 PQC中, CQ= t, CP= 10-2t.第2題圖2第2題圖3如圖1，當CPCQ 時，t 10 2t，解得 t如圖

6、2，當QPQC時，過點Q作 QML AC于CM=- PC24 在 Rt QM(中, cos QCM -5CM X，解得CQ t如圖3，當PQ PC時，過點P作PNL BC于N則CN= -QC21t.2CN -t4 在 Rt PNC中 cos PCN -525，解得t 80 （秒）CP 10 2t21綜上所述，當t為10秒、25秒、80秒時， PQC為等腰三角形.39213 .由 y = 2x+ 2 得，A 1, 0) , B(0 , 2).所以 OA= 1, OB= 2.如圖，由 AOBA QOP得 OP： OQ= OB OA= 2 ： 1 .設點Q的坐標為(0 , m)，那么點P的坐標為(2

7、 m, 0).因此 AP= (2 m 1)2, aQ= mi+ 1, PQ= mi+ (2 m)2= 5ni. 當AP= AQ時，AP= aQ,解方程(2 nu 1)2 = n + 1,得m 0或m -.所以符合條件的3點P不存在. 當PA= PQ時，PA= PQ,解方程(2nu 1)2= 5吊，得m 25 所以 P(42.5,0). 當 QA= QP時，qA= qP,解方程 m+ 1= 5m,得 m 1 .所以 P(1,0).2第3題圖4. ( 12 臨沂 26)(1) 如圖，過點 B作BCL y軸，垂足為C.在 Rt OBC中, Z BOG 30 , OB= 4，所以 BC= 2, OC

8、2 3 .所以點B的坐標為(2, 2.3).(2) 因為拋物線與x軸交于O A(4, 0)，設拋物線的解析式為 y = ax(x 4),代入點 B( 2, 2 3) ,2 3 2a ( 6) 解得 a 3 .6所以拋物線的解析式為 y -2x(X 4) X2 X .663(3) 拋物線的對稱軸是直線 x= 2,設點P的坐標為(2, y). 當 OP= OB= 4 時，OP= 16所以 4+y2= 16解得 y 2 3 .當P在(2,2.3)時，B、O P三點共線. 當 BP= BO= 4 時，BP= 16所以 42 (y 2、3)2 16 .解得 y1 y22 3 . 當 PB= PO時，PB

9、= PO.所以 42 (y 2同 22 y2 解得 y3 .綜合、，點 P的坐標為(2, 2 3) 第4題圖5 . (11湖州24) (1)因為PC/ DB所以空 -PMBD DMMCMB因此 PM= DMCP= BD= 2 m 所以AD= 4 m 于是得到點D的坐標為(2，4 m (2)在厶 APD中, AD2(4 m)2， AP22 2 2 2m 4， PD (2 PM )4 4(2 m).當AP= AD 時，(4m)22m 4 .解得im 3 (如圖1)2當PA= PD 時，2 m4 424(2 m) 解得m 4 (如圖1 2)或m4 （不合題意,舍去）3當DA= DP 時，(4m)24

10、 4(2 m)2 解得m 2 (如圖1 3)或m2 （不合題意,舍去）3綜上所述，當 APD為等腰三角形時， m的值為3 , 4或2 .另解第（2）題解等腰三角形的問題，其中、用幾何說理的方法，計算更簡單: 如圖1，當AP= AD時，AM垂直平分PD那么 PCMb MBA所以匹1 因此PC 1，m 3 CM BA 222 如圖2，當PA= PM，P在AD的垂直平分線上.所以D” 2PO因此4 m 2m 解得m（3 ）點H所經(jīng)過的路徑長為5 思路是這樣的：4如圖4，在Rt OHM中，斜邊0M為定值，因此以 0M為直徑的O G經(jīng)過點H,也就是說點 H 在圓弧上運動.運動過的圓心角怎么確定呢如圖5,

11、 P與0重合時，是點 H運動的起點，/COH= 45,/ CGH= 90.第5題圖4第5題圖6. ( 10 南通 27)因為/ EDC與/ FEB都是/ DEC勺余角，所以/ EDC=Z FEB又因為/ C=Z B= 90,所以 DC0A EBF因此DCCE更，即m LjxBF x y1 2 8整理，得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y丄X2 -x .m m1 2 1 2 如圖1,當作8時，y x2 x -(x 4)22 .8 8因此當x = 4時，y取得最大值為2.-x28x 整理，得 x2 8x 120.m m解得x= 2或x= 6.要使 DEF為等腰三角形，只存在ED= EF的情況.y.得6 （如圖

12、2）;得m= 2 （如圖3）.因為EBF將x= y = 2代入y將x= y = 6代入y所以CE= BF，即卩x =12m12第6題圖37. ( 1) BE t 4 , EF 5(t 4)-8第7題圖1 DEF中，/ DEFZ C是確定的.如圖1,當蘭DE= DF時，DEEF即45(t4)解得t156ABBC101625如圖2,當蘭ED= EF時，54 -(t 4).解得t1285如圖3,當蘭FD= FE時，F(xiàn)EAC5(t即84)10解得t0,即D與B重合DEBC416(3)皿卜是厶FDE的中位線,Ml/T DE MN= 2, MN掃過的形狀是平行四邊形.如圖4,運動結(jié)束，N在AC的中點，N到

13、BC的距離為3;如圖5,運動開始，D與B重合，M到BC的距離為？.4所以平行四邊形的高為9，面積為9 244越F第7題圖4第7題圖58. ( 1) C(4,2 3) , D(1,2 3).(2)頂點E在AB的垂直平分線上，橫坐標為5，代入直線y = 3x 2 3，得y _2 .2 2設拋物線的解析式為 y所以物線的解析式為 ya(x -222(x32_2，代入點25)2 仝.2 2C(4,2 .3)，可得 a2.33(3)由頂點E在直線2.3上， 可知點G的坐標為(0,2.3)，直線與y軸正半軸的夾角為30,即/ EGF= 30設點 E的坐標為(m, 3m 2 3),那么 EG = 2m,平移

14、后的拋物線為2.3).y 年(x m)23m 2 3 .所以點F的坐標為(0,令3 m23m如圖 1，當 GE= GF時，yr-GE= 2m 所以 12m2 3m 2m .3解得m= 0或3 3 . m= 0時頂點E在y軸上，不符合題意.2此時拋物線的解析式為 y|)2如圖2，當EF= EG時,FG= 2 3Xe ,所以3 二.23 m2,3m 2 3m 解得 0 或 3 .32此時拋物線的解析式為2 33 2(x 2)當頂點E在y軸右側(cè)時,/ FEG為鈍角，因此不存在 FE= FG的情況.第8題圖189. (1)當 D 為 BC 的中點時，ADL BC DEL AC CE - .3(2)如圖 1,由于/ ADC=Z ADEFZ 1，/ AD(=Z B+Z 2,Z ADE=Z B,所以/ 1 = Z 2.又因為AB