專題11：三角運(yùn)算及三角不等式

1、競賽講座11 三角運(yùn)算及三角不等關(guān)系 三角運(yùn)算的基本含義是應(yīng)用同角公式、誘導(dǎo)公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等 的統(tǒng)稱），對三角式作各種有目的的變形（主要指恒等變形） ，有時(shí)表現(xiàn)為計(jì)算求值、 有時(shí)表 現(xiàn)為推理證明。由于三角公式很多， 并且存在著聯(lián)系，因此一定要注意選擇公式的目的性與 簡單性。 三角運(yùn)算 一三角運(yùn)算的常規(guī)思考 三角運(yùn)算主權(quán)涉及 3個(gè)主要變形：角、函數(shù)名稱、運(yùn)算方式。其中的難點(diǎn)與關(guān)鍵在角。 大量的三角運(yùn)算技巧都與角的處理有關(guān)。遇到一個(gè)三角問題， 從角、函數(shù)名稱、運(yùn)算方式這 3個(gè)主要方面去尋找下手地方與前進(jìn)方向是解題的有效思考。特別地，對于證明題，從找條 件與結(jié)論的差異入手，并向

2、著消除差異的方向前進(jìn)，常能成功。 例1 已知,都是鈍角，且sin 12 ,cos( 13 3 ，求 sin 5 例2設(shè) 為銳角，且 sin2sin2sin（），求證: 二.三角變換與方程 數(shù)學(xué)公式（或條件等式）本身就是一個(gè)等量關(guān)系，視公式（或等式）中的數(shù)學(xué)對象為已知值 或未知值就成為一個(gè)方程。 例3.已知 sin cos sin cos b (a2 a b2 4)，求 sin( ),cos( ) o .三角變換與構(gòu)造法 通過構(gòu)造對偶式、構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造圖形等途徑來求解三角問題 4 cos 的值。 5 2 例5 .求cos 5 例6 .求值：cos210 cos2 50sin 40 si

3、n 80 例7 .已知：A1 cos 1 A2 cos 2 An cos n 0 An cos( n 1)0 A1 cos( 1 1)A2 cos( 2 1) 求證：對任意 R，恒有 A cos( 1 )A2 cos( 2) An cos( n )0 o 例8求滿足等式 15 12cosx . 7 4 3sinx 4的銳角x。 四三角法 引進(jìn)三角函數(shù)，進(jìn)行三角變形去解決其他代數(shù)、幾何問題。 例9已知a b 0，求證: 2ab a b ab 例10.在厶ABC中，P為形內(nèi)一點(diǎn), PD、PE、PF為P到三邊BC、CA、AB的距 離，求證：PA PB PC 2(PD PE PF) 例11.求函數(shù)y4

4、15 3x的值域。 三角不等關(guān)系 這是一個(gè)與三角恒等變形密切相關(guān)的問題，主要包括兩個(gè)方面：三角不等式與三角最值。 這兩個(gè)方面在處理方法上在同小異，并互為所用。 一三角不等式的證明 證明三角不等式注意 3點(diǎn)： (1) 三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有關(guān)性質(zhì)和證明方法在這里都用得上。 (2) 三角不等式又有自己的特點(diǎn)一一含三角函數(shù)，因而，三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性(或 極值)，正負(fù)區(qū)間，圖像特征都是處理三角不等式的銳利武器。 (3 )三角形內(nèi)的不等式是一類特殊的三角不等式，無論在結(jié)構(gòu)上還是在證法上都有特別之 處，需要加倍注意。 例13.已知0 ，證明：2 si n2 Ctg 2，并討論等號(hào)成

5、立的條件。 例14.已知 (0,)，能否以 sin , sin , sin( 2 )的值為邊長，構(gòu)成三角形。 例15 在 ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，求證: aA bB cC a b c 例12.若0 ，求證：sin 1 sin 2 】sin 3 0 2 3 例16.在銳角 ABC中，求證 (1) si nA si nB sinC cosA cosB cosC ; (2) tgAtgBtgC 二三角最值的求解 例 17求函數(shù) f(x) a si n2x bsi nxcosx x cos2 x 的最大值、最小值(a c, b 0) 例18.求ybtgx的最小值，其中a b 0 |

6、cosx | 例19求函數(shù)y 3sinx 1的最值。 sin x 2 例20.設(shè)x y z ，且x y z ，求乘積cosxsin y cosz的最大值和最小值。 12 2 習(xí)題 cos20 cos35cos 20 2- cos2 x cos2(x cos2(x )= 3若x | cos2 x sinx m 0 ，求m的取值范圍。 ABC 4.在 ABC中，sinsin sin的最大值為 2 2 2 5設(shè) xi,X2,Xn為 n 個(gè)實(shí)數(shù)，則coscosx?cosXnsin 捲 sin X2sinx*M 時(shí), 則M的最小值為。 2 2 sin x cos x 亠 6函數(shù)f(x)2的值域?yàn)椤?1 cos x 1 sin x 7對任意實(shí)數(shù) A, B,C，求 sin2Acos2B sin2 Bcos2C sin2 Ceos