全等三角形.第4講.全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題.教師版

1、2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 1 of 19 第四講第四講 全等三角形與旋全等三角形與旋 轉(zhuǎn)問題轉(zhuǎn)問題 中考要求 考試要求考試要求 板塊板塊 a a 級要求級要求b b 級要求級要求c c 級要求級要求 全等三角形全等三角形 的性質(zhì)及判的性質(zhì)及判 定定 會識別全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性質(zhì)， 會用全等三角形的性質(zhì)和判定解決簡 單問題 會運用全等三角形的性 質(zhì)和判定解決有關問題 知識點睛 基本知識 把圖形繞平面上的一個定點旋轉(zhuǎn)一個角度，得到圖形，這樣的由圖形到變換叫做旋轉(zhuǎn)變換，go g g g 點叫做旋轉(zhuǎn)中心，叫做旋轉(zhuǎn)角，叫做的象；叫做的原象，無論是

2、什么圖形，在旋轉(zhuǎn)變換下，o g gg g 象與原象是全等形 很明顯，旋轉(zhuǎn)變換具有以下基本性質(zhì)： 旋轉(zhuǎn)變換的對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； 對應直線的交角等于旋轉(zhuǎn)角 旋轉(zhuǎn)變換多用在等腰三角形、正三角形、正方形等較規(guī)則的圖形上，其功能還是把分散的條件盯對集中，以 便于諸條件的綜合與推演 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 2 of 19 重、難點 重點：重點：本節(jié)的重點是全等三角形的概念和性質(zhì)以及判定，全等三角形的性質(zhì)是以 后證明三角形問題的基礎，也是學好全章的關鍵。同時全等三角形的判定 也是本章的重點，特別是幾種判定方法，尤其是當在直角三角形中時，hl 的判定是整個直角三

3、角形的重點 難點：難點：本節(jié)的難點是全等三角形性質(zhì)和判定定理的靈活應用。為了能熟練的應用 性質(zhì)定理及其推論，要把性質(zhì)定理和推論的條件和結論弄清楚，哪幾個是 條件，決定哪個結論，如何用數(shù)學符號表示，即書寫格式，都要在講練中 反復強化 例題精講 【例例 1】 如圖，有四個圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個圖案如圖，有四個圖案，它們繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，都能和原來的圖案相互重合，其中有一個圖案 與其余三個圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是與其余三個圖案旋轉(zhuǎn)的角度不同，它是( ) 【解析解析】a 【例例 2】 如圖，同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的，其中

4、菱形如圖，同學們曾玩過萬花筒，它是由三塊等寬等長的玻璃片圍成的，其中菱形 aefg 可以看成是把可以看成是把 菱形菱形 abcd 以以 a 為中心為中心( ) a順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 60得到得到 b順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn) 120得到得到 c逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 60得到得到 d逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 120得到得到 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 3 of 19 gf e d c b a 【解析解析】d 【例例 3】 如圖，如圖，c 是線段是線段 bd 上一點，分別以上一點，分別以 bc、cd 為邊在為邊在 bd 同側(cè)作等邊同側(cè)作等邊abc 和等邊和等邊cde,ad

5、 交交 ce 于于 f，be 交交 ac 于于 g，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而相互得到的三角形對數(shù)有( ) a1 對對 b2 對對 c3 對對 d4 對對 k g f e d c b a 【解析解析】c 【例例 4】 已知：如圖，點已知：如圖，點為線段為線段上一點，上一點，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：cabacmcbnanbm m d n e cb f a 【解析解析】、是等邊三角形，acmcbn ，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm 【點評】此題放在例題之前回憶，此題是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形 【例例 5】 如圖，如圖，三點共線，且三點共

6、線，且與與是等邊三角形，連結是等邊三角形，連結，分別交分別交，于于bceabcdcebdaeacdc ，點求證：點求證：mncmcn nm e d c b a 【解析解析】與都是等邊三角形abcdce 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 4 of 19 ，及bcaccdce60acbdce ，三點共線bce ，180bcddce 180bcaace 120bcdace 在與中bcdace ， bcac bcdace dcec bcdace cancbm ，120bcdace 60bcmnce 60acd 在與中bcmacn ，60 bcac bcmacn cbmcan

7、 bcmacncmcn 【補充補充】已知：如圖，點已知：如圖，點為線段為線段上一點，上一點，、是等邊三角形求證：是等邊三角形求證：平分平分cabacmcbncfafb m d n e cb f a g m h d n e cb f a 【解析解析】過點作于，于，由，ccgangchbmhacnmcb 利用進而再證，可得到，故平分aasbchncdcgchcfafb 【補充補充】如圖，點如圖，點為線段為線段上一點，上一點，、是等邊三角形是等邊三角形cabacmcbn 請你證明：請你證明： ；anbm ；deab 平分平分cfafb m d n e cb f a 【解析解析】此圖是旋轉(zhuǎn)中的基本圖形

8、其中蘊含了許多等量關系 與三角形各內(nèi)角相等，60mcn 及平行線所形成的內(nèi)錯角及同位角相等； 全等三角形推導出來的對應角相等 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 5 of 19 推到而得的：；afcbfc ，；anbmcdceadmendbe ，；amcncmbndeab ，；acnmcbadcmcendcbec 為等邊三角形dec 、是等邊三角形，acmcbn ，mcaccncbacnmcb ，acnmcbanbm 由易推得，所以，又，acnmcbndcbeccdce60mcn 進而可得為等邊三角形易得decdeab 過點作于，于，由，ccgangchbmhacnm

9、cb 利用進而再證，可得，故平分aasbchncdafcbfc cfafb 【例例 6】 ( (2008 年懷化市初中畢業(yè)學業(yè)考試試卷年懷化市初中畢業(yè)學業(yè)考試試卷) )如圖，四邊形如圖，四邊形、都是正方形，連接都是正方形，連接、abcddefgae 求證：求證：cgaecg g f e d c b a 【解析解析】adcedg cdgade 在和中cdgade cdad cdgade dgde cdgadeaecg 【例例 7】 如圖，點如圖，點為線段為線段上一點，上一點，、是等邊三角形，是等邊三角形，是是中點，中點，是是中點，求中點，求cabacmcbndanebm 證：證：是等邊三角形是等

10、邊三角形cde md n e cba 【解析解析】，acnmcbanbmabmanc 又、分別是、的中點，deanbm ，bcencdcecdbcencd 60dcencdncebcencencb 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 6 of 19 是等邊三角形cde 【補充補充】(】(年全國初中數(shù)學競賽海南區(qū)初賽年全國初中數(shù)學競賽海南區(qū)初賽) )如下圖，在線段如下圖，在線段同側(cè)作兩個等邊三角形同側(cè)作兩個等邊三角形和和2008aeabc ( () )，點，點與點與點分別是線段分別是線段和和的中點，則的中點，則是是( ( ) )cde120acepmbeadcpm p

11、m b c d e a a鈍角三角形鈍角三角形 b直角三角形直角三角形 c等邊三角形等邊三角形 d非等腰三角形非等腰三角形 【解析解析】易得所以可以看成是繞著點順時針旋轉(zhuǎn)而得到的又為線acdbcebceacdc60m 段中點，為線段中點，故就是繞著點順時針旋轉(zhuǎn)而得所以且，adpbecpcmc60cpcm ，故是等邊三角形，選 c60pcmcpm 【例例 8】 如圖，等邊三角形如圖，等邊三角形與等邊與等邊共頂點于共頂點于點求證：點求證：abcdeccaebd d e c b a 【解析解析】是等邊三角形，abc60acbacbc ，同理，60bcddca 60acedca dcecbcdace

12、在與中，bcdace ， bcac bcdace dcec bcdacebdae 【例例 9】 如圖，如圖，是等邊是等邊內(nèi)的一點，且內(nèi)的一點，且，問，問的度數(shù)是否的度數(shù)是否dabcbdadbpabdbpdbc bpd 一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由 p d cb a a bc d p 【解析】連接，將條件，這兩個條件，易得()，得cdbdadbpabacdbcdsss ，由，(公共邊)，知 1 30 2 bcdacdacb bpabbcdbpdbc bdbd 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 7 of 19

13、()，故的度數(shù)是定值bdpbdcsas30bpdbcd bpd 【例例 10】( (2005 年四川省中考題年四川省中考題) )如圖，等腰直角三角形如圖，等腰直角三角形中，中，為為中點，中點，abc90b abaoac 求證：求證：為定值為定值eoofbebf o b e cf a 4 3 2 1 o b e cf a 【解析】連結由上可知，而，ob1290 2390 13 445c oboc ，obeocfbefcbebfcfbfbca 【補充補充】如圖，正方形如圖，正方形繞正方形繞正方形中點中點旋轉(zhuǎn)，其交點為旋轉(zhuǎn)，其交點為、，求證：，求證：oghkabcdoefaecfab 5 4 3 2

14、 1 o h b e d k g c f a 【解析】正方形中，abcd1245 oaob 而，3490 4590 ，35aoebof ，aebfaefcbffcbcab 【例例 11】( (2004 河北河北) )如圖，已知點如圖，已知點是正方形是正方形的邊的邊上一點，點上一點，點是是的延長線上一點，且的延長線上一點，且eabcdcdfcb 求證：求證：eaafdebf f e d c b a 【解析解析】證明：因為四邊形是正方形，所以，abcdabad 因為，90badadeabf eaaf 所以，所以 90bafbaebaedae ，故，故 bafdae rt abfrt adedebf

15、 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 8 of 19 【補充補充】如圖所示，在四邊形如圖所示，在四邊形中，中，于于，若四邊形，若四邊形abcd90adcabc adcddpabp 的面積是的面積是 16，求，求的長的長abcddp p d c b aa b c d e p 【解析解析】如圖，過點作，延長交于點，容易證得(實際上就是把ddedpbcdeeadpcde 逆時針旋轉(zhuǎn)，得到正方形)adp90dpbe 正方形的面積等于四邊形面積為，dpbeabcd164dp 【例例 12】、分別是正方形分別是正方形的邊的邊、上的點，且上的點，且，為垂足，為垂足，efabcdbc

16、cd45eaf ahefh 求證：求證：ahab c h f e d b a c h f eg d b a 【解析】延長至，使，連結，易證，cbgbgdfagabgadfbagdafagaf 再證，全等三角形的對應高相等(利用三角形全等可證得)，則有aegaefahab 【例例 13】( (1997 年安徽省初中數(shù)學競賽題年安徽省初中數(shù)學競賽題) )在等腰在等腰的斜邊的斜邊上取兩點上取兩點、，使，使，rt abcabmn45mcn 記記，則以，則以、為邊長的三角形的形狀是為邊長的三角形的形狀是( ( ) )ammmnxbnnxmn a銳角三角形銳角三角形 b直角三角形直角三角形 c鈍角三角形鈍

17、角三角形 d隨隨、的變化而變化的變化而變化xmn mn c ba m d n c ba 【解析】如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，連結，cbnc90cadmd 則，adbnncdcnacdbcn mcdacmacdacmbcn 904545mcn ，mdcmncmdmnx 又易得，在中，有，故應選(b)454590dam rt amd 222 mnx 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 9 of 19 【鞏固鞏固】如圖，正方形如圖，正方形的邊長為的邊長為 ，點，點在線段在線段上運動，上運動，平分平分交交邊于點邊于點abcd1fcdaebafbce 求證：求證：afdfbe

18、設設( () )，與與的面積和的面積和是否存在最大值？若存在，求出此時是否存在最大值？若存在，求出此時的值的值dfx01xadfabesx 及及若不存在，請說明理由若不存在，請說明理由s f e d cb a g a bc d e f 【解析解析】 證明： 如圖，延長至點，使得，連結cbgbgdfag 因為是正方形，所以在和中，abcdrt adfrt abgadab ，90adfabg dfbg ，rtrt(sas)adfabg ，afagdafbag 又 是的平分線aebaf ，eafbae dafeafbagbae 即eadgae ，adbcgeaead ，geagae agge 即ag

19、bgbe ，得證afbgbe adfabe sss 11 22 df adbe ab ，1adab 1 2 sdfbe 由知，afdfbe 所以 1 2 saf 在中，rt adf1ad dfx ， 2 1afx 2 1 1 2 sx 由上式可知，當達到最大值時，最大而， 2 xs01x 所以，當時，1x 最大值為s 2 11 12 22 x 【例例 14】( (通州區(qū)通州區(qū) 2009 一模第一模第 25 題題) )請閱讀下列材料：請閱讀下列材料： 已知：如圖已知：如圖 1 在在中，中，點，點、分別為線段分別為線段上兩動點，若上兩動點，若rt abc90bacabacdebc 探究線段探究線段

20、、三條線段之間的數(shù)量關系三條線段之間的數(shù)量關系45daebddeec 小明的思路是：把小明的思路是：把繞點繞點順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得到，得到，連結，連結，aeca90abee d 使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題：使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題： 猜想猜想、三條線段之間存在的數(shù)量關系式，并對你的猜想給予證明；三條線段之間存在的數(shù)量關系式，并對你的猜想給予證明； bddeec 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 10 of 19 當動點當動點在線段在線段上，動點上，動點運動在線段運動在線段延長線上時，如圖延長線上時，如圖 2，其它

21、條件不變，其它條件不變，中探究中探究ebcdcb 的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明的結論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明 圖 1 a b c d e 圖 2 a b c de 【解析】 222 debdec 證明：根據(jù)繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到aeca90abe aecabe ，beec aeae cabe eace ab 在中rt abc abac 45abcacb 90abcabe 即90e bd 222 e bbde d 又45dae 45badeac 45e abbad 即45e ad ae daed de de 222 debdec e e d c b a f ed c b

22、 a 關系式仍然成立 222 debdec 證明：將沿直線對折，得，連adbadafdfe afdabd ，afabfddb ，fadbad afdabd 又，abacafac 45faefaddaefad 9045eacbacbaedaedabdab faeeac 又aeae afeace ，feec45afeace 180135afdabdabc 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 11 of 19 1354590dfeafdafe 在中rt dfe 即 222 dffede 222 debdec 【例例 15】( (北京市數(shù)學競賽試題，天津市數(shù)學競賽試題北京市數(shù)

23、學競賽試題，天津市數(shù)學競賽試題) ) 如圖所示，如圖所示，是邊長為是邊長為 的正三角形，的正三角形，abc1 是頂角為是頂角為的等腰三角形，以的等腰三角形，以為頂點作一個為頂點作一個的的，點，點、分別在分別在、bdc120d60mdnmnab 上，求上，求的周長的周長acamn n m d cb a n m e d c b a 【解析】如圖所示，延長到使acecebm 在與中，因為，bdmcdebdcd90mbdecd bmce 所以，故bdmcdemded 因為，所以120bdc 60mdn 60bdmndc 又因為，所以 bdmcde 60mdnedn 在與中，mndenddndn60md

24、nedn dmde 所以，則，所以的周長為mndendnemnamn2 【例例 16】在等邊在等邊的兩邊的兩邊 ab，ac 所在直線上分別有兩點所在直線上分別有兩點 m，n，d 為為外一點，且外一點，且abcabc ，探究：當點，探究：當點 m，n 分別愛直線分別愛直線 ab，ac 上移動時，上移動時，60mdn120bdcbdcd bm，nc，mn 之間的數(shù)量關系及之間的數(shù)量關系及的周長與等邊的周長與等邊的周長的周長 l 的關系的關系amnabc 如圖如圖，當點，當點 m，n 在邊在邊 ab，ac 上，且上，且 dm=dn 時，時，bm，nc，mn 之間的數(shù)量關系式之間的數(shù)量關系式 _；此時

25、；此時=_ q l 如圖如圖，當點，當點 m，n 在邊在邊 ab，ac 上，且上，且時，猜想時，猜想( (1) )問的兩個結論還成立嗎？寫出問的兩個結論還成立嗎？寫出dndm 你的猜想并加以證明；你的猜想并加以證明； 如圖如圖，當點，當點 m，n 分別在邊分別在邊 ab，ca 的延長線上時，若的延長線上時，若 an=x，則，則 q=_( (用用 x，l 表示表示) ) 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 12 of 19 【解析】bm+nc=mn; 2 3 q l (2)猜想：仍然成立 證明：如圖，延長 ac 至 e，使 ce=bm，連接 de ,120bdcdbdc

26、且， 30dbcdcb 由是等邊三角形，abc90mbdncd ()mbdecd sas ，,dmdebdmcde 60ednbdcmdn 在與中mdnedn dmde mdnedn dndn ()mdnedn sas mnnencbm 的周長=amnqamanmn()()ambmannc2abacab 而等邊的周長abc3lab 2 3 q l (3) 2 2 3 xl 【補充補充】( (1) )如圖，在四邊形如圖，在四邊形 abcd 中，中，abad，bd，e、f 分別是邊分別是邊 bc、cd 上的點，且上的點，且90 eaf=bad求證：求證：efbefd; 1 2 f e d cb a

27、 ( (2) ) 如圖如圖，在四邊形在四邊形 abcd 中，中，abad，b+d，e、f 分別是邊分別是邊 bc、cd 上的點，且上的點，且180 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 13 of 19 eaf=bad， ( (1) )中的結論是否仍然成立？不用證明中的結論是否仍然成立？不用證明 1 2 f e d c b a 【解析】證明：延長 eb 到 g，使 bg=df，聯(lián)結 ag abgabc=d， abad，90 abgadf agaf， 12 1 1323 2 eafbad gae=eaf 又aeae， aegaef egef eg=be+bg ef= be

28、fd (2) (1)中的結論仍然成立 efbefd 【例例 17】平面上三個正三角形平面上三個正三角形，兩兩共只有一個頂點，求證：兩兩共只有一個頂點，求證：與與平分平分acfabdbceefcd f e d b c a 【解析解析】連接與dedf ，dbaebc badcaf ，dbeabc bacdaf 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 14 of 19 在與中dbeabc dbab dbeabc bebc (sas)dbeabc decafc 在與中dfabca daba dafbac afac (sas)dfabca dfbcec 為平行四邊形，decf ，互

29、相平分efcd 【例例 18】已知：如圖，已知：如圖，、都是等邊三角形，且都是等邊三角形，且、共線，共線，求求abccdeehkadkaddk 證：證：也是等邊三角形也是等邊三角形hbd e k h c d b a m a b d c h k e 【解析】連結，ebcecdceeabead 所以，并且與的夾角為，beadbead60 延長交于，ebakm 則360300ebhbhdhdebedhdmmdemeddmmdemedhdmhdk 又因為，hkadbebhhd 所以behdkh 所以，hkhe ehdehddhkbhe 【例例 19】( (1997 年安徽省競

30、賽題年安徽省競賽題) )如圖，在如圖，在外面作正方形外面作正方形與與，為為的的abcabefacghadabc 高，其反向延長線交高，其反向延長線交于于，求證：，求證：( (1) );(;(2) )fhmcfbh mhmf 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 15 of 19 g h f m e d cb a 【解析】證明;(2)作，先證，abhafcfpmdp于hqmdq于afpbadacd ，再證haqfpmhqm 【補充補充】以以abc 的兩邊的兩邊 ab、ac 為邊向外作正方形為邊向外作正方形 abde、acfg，求證：，求證：ce=bg，且，且 cebg o

31、 g f e d cb a 【解析】易證，故，又，故aecabgaceagb acagaogboc cebg 【例例 20】( (北京市初二數(shù)學競賽試題北京市初二數(shù)學競賽試題) ) 如圖所示，在五邊形如圖所示，在五邊形中，中，abcde90be ，求此五邊形的面積，求此五邊形的面積abcdae1bcde e d c b a f e d c b a 【解析】我們馬上就會想到連接、，因為其中有兩個直角三角形，但又發(fā)現(xiàn)直接求各三角形的面積acad 并不容易，至此思路中斷 我們回到已知條件中去，注意到，這一條件應當如何利用？聯(lián)想到在證明線段相等時1bcde 我們常用的“截長補短法” ，那么可否把拼接到

32、的一端且使呢(如圖所示)？據(jù)此，bcdeefbc 連接，則發(fā)現(xiàn)，且，是底、高各為 的三afabcaef1fd afacaeabadf1 角形，其面積為，而與全等，從而可知此五邊形的面積為 1 2 acdafd1 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 16 of 19 【例例 21】( (希望杯全國數(shù)學邀請賽初二第二試試題希望杯全國數(shù)學邀請賽初二第二試試題) ) 在在五邊形五邊形中，已知中，已知，abcdeabae ，連接，連接求證：求證：平分平分bcdecd180abcaed adadcde e dc b a f e dc b a 【解析】連接由于，acabae180a

33、bcaed 我們以為中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置因，所以點與點重合，而aabcaefabaebe ，180aefaedabcaed 所以、在一條直線上，點旋轉(zhuǎn)后落在點的位置，且，defcfafacefbc 所以dfdeefdebccd 在與中，acdafd 因為，acafcdfdadad 故，acdafd 因此，即平分adcadf adcde 家庭作業(yè) 【習題習題 1】如圖，已知如圖，已知和和都是等邊三角形，都是等邊三角形，、在一條直線上，試說明在一條直線上，試說明與與abcadebcdce 相等的理由相等的理由accd e d c b a 【解析解析】，acabcaebad aead aeca

34、db cebd 又bdbccdaccd ceaccd 【習題習題 2】( (湖北省黃岡市湖北省黃岡市 2008 年初中畢業(yè)生升學考試年初中畢業(yè)生升學考試) )已知：如圖，點已知：如圖，點是正方形是正方形的邊的邊上任意一上任意一eabcdab 2010 年暑假短期班 全等秘訣班第 4 講教師版 page 17 of 19 點，過點點，過點作作交交的延長線于點的延長線于點求證：求證：ddfdebcfdedf f e d c b a 【解析解析】adcedf adecdf 在和中adecdf daedcf adcd adecdf adecdf dedf 【習題習題 3】( (2008 山東山東) )在梯形在梯形中，中，是是中點，中點，abcdabcd90a 2ab 3bc 1cd ead 試判斷試判斷與與的位置關系，并寫出推理過程的位置關系，并寫