橢圓各類題型分類匯總

1、橢圓經(jīng)典例題分類匯總 4 橢圓第一定義的應(yīng)用 例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A 2,0，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 22 例2已知橢圓 =1的離心率e =，求k的值. k8 92 22 例3 已知方程二表示橢圓，求k的取值范圍 k5 3k 2 2 例4已知x sin y cos =1 （0_ 一二）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求：的取值范圍. 例5已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A -3,0，且在定圓B:x-32 y2 =64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡 ZF1PF2 =u .求：的面積（用 a、b、a 表示） 3第二定義應(yīng)用 例1橢圓一點(diǎn)=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A（13 ），點(diǎn)M在橢圓上，當(dāng)AM +

2、2MF為最小值時(shí)，求點(diǎn)16 12 M的坐標(biāo). 22 xy 例2已知橢圓 22=1上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為b （b 1），求P到左準(zhǔn)線的距離. 4b2 b2 22 xy 例3已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)A（1 , 1），F(xiàn)i、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn). 95 (2)求PA 歲尸2的最小值及對應(yīng)的點(diǎn) 4參數(shù)方程應(yīng)用 P的坐標(biāo). 2 例1求橢圓y2 =1上的點(diǎn)到直線x y 6 =0的距離的最小值. 3 22 例2(1)寫出橢圓一仝=1的參數(shù)方程；求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積. 94 橢圓 =1 (a b 0)與x軸正向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)P，使OP_ AP( O為 坐標(biāo)原點(diǎn))，求

3、其離心率e的取值范圍. 5相交情況下弦長公式的應(yīng)用 例1已知橢圓4x2 y2 =1及直線y = xm. (1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)? (2) 為 例2已知長軸為12,短軸長為 若直線被橢圓截得的弦長 彳，求直線的方程. 6,焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn) y Fi作傾斜解為 一的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長. 3 6相交情況下一點(diǎn)差法的應(yīng)用 例1已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線x y-1 = 0交于A、B兩點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，OM 的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2,求橢圓的方程. 例2已知橢圓+ yT 求過點(diǎn)P丄i且被P平分的弦所在的直線方程 22 2 J X2

4、 2 門 例3已知橢圓亠+ y=i，( 1)求過點(diǎn)P ，丄I且被P平分的弦所在直線的方程; 2 122 J (2 )求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程； (3)過A 2,引橢圓的割線求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程； (4)橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)且有直線OP、OQ斜率滿足kop koQ， 2 求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程. x2 y2 例已知橢圓C器1，試確定m的取值范圍使得對于直線1: yuF，橢圓C上有不同的 兩點(diǎn)尖于該直線對稱. 2 2例5已知P(4,2)是直線I被橢圓一21所截得的線段的中點(diǎn)求直線 的方程. 369 橢圓經(jīng)典例題分類匯總 第一定義的應(yīng)用 例1橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A 2,0，其長

5、軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 分析：題目沒有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置. 解：當(dāng)A 2,0為長軸端點(diǎn)時(shí) a=2，b=1， 2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1； 41 (2)當(dāng)A 2,0為短軸端點(diǎn)時(shí)，b = 2，a = 4， 2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：一紅=1； 416 說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)，給岀一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情 況. X2y21 例2已知橢圓 1的離心率e ，求k的值. 分析：分兩種情況進(jìn)行討論. 得 k=4. k+8 92 222I解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a = k8，b=9,得c=k1 .由e， 2 當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)

6、，a? =9，bAk 8，得c2 =1 - k . 斗 11 一 k 1 岡 ij5 由e，得，即k = 2944 5 滿足條件的k = 4或k = 4 說明：本題易岀現(xiàn)漏解排除錯(cuò)誤的辦法是：因?yàn)閗 8與9的大小矢系不定，所以橢圓的焦點(diǎn)可能在X 軸上，也可能在y軸上故必須進(jìn)行討論. 22例5已知方程一丫 1表示橢圓，求k的取值范圍. k53k *k -5 0, 解:由 3 -k : 0,得 3 : k 5 = 3 *k, 滿足條件的k的取值范圍是3 : 25”，說明：本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：甲 故k的取值范轟咨能由. k”. 出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中abO這個(gè)條件，當(dāng)a = b時(shí)，并不

7、表示橢圓. 例6已知s in y2cos : . =1 （0_二）表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求：.的取值范圍 分析：依據(jù)已知條件確定：的三角函數(shù)的大小尖系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求岀：的取值范圍. 22 解：方程可化為一y=1因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上所以 1 1 sin 用 cos.0且tan: -1從而卅三（一，）. 24 1 0，這是容易忽視的地力. cos: 21 b （3）求的取值范圍時(shí) 說明:（1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程=0, 知Sint cOS 2 （2）由焦點(diǎn)在y軸上，知a si n 二 例5已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A （3,0 ） 圓圓心 且在定圓b： （x 3 / + y? =64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，

8、求動(dòng) P的軌跡 方程. 分析：尖鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P滿足的尖系式. 解：如圖所示設(shè)動(dòng)圓P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M .動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn), 即定點(diǎn)A -3,0和定圓圓心B 3,0距離之和恰好等于定圓半徑， B為兩焦點(diǎn), y 半長軸為4,半短軸長為b .4?3? 7的橢圓的方程: 16 2 1. 7 說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡 方程的一種重要思想方法. 2焦半徑及焦三角的應(yīng)用 22 例1已知橢圓X y J, F）、F2為兩焦點(diǎn)問能否在橢圓上找一點(diǎn) 43 M，使M到左準(zhǔn)線I的距離MN 是MFJ與MF?的等比中項(xiàng)？若存在，則求出點(diǎn) M的坐標(biāo)；若

9、不療在，請說明理市. 解：假設(shè)M存在，設(shè)M （心yj,由已知條件得 a = 2, b = v3 , c =1, e = 1. 2 左準(zhǔn)線I的方程是x = -4, - MNl =4 +人. =PM + PB = BM = 8 . 點(diǎn)P的軌跡是以 又由焦半徑公式知： 1 MFi =aeA =2x-i , MF2 22 MN=|MF,MF2,二（x,+4 2 = 2 丄丫 2 亠 11. 2八2丿 2 P x, y，由橢圓的對稱t生，不妨設(shè) 整理得5xt 32治48 = 0 . 12 解之得X|4或Xi ： 5 另一方面一2乞論乞2. 則與矛盾，所以滿足條件的點(diǎn)M不存在. 22 例2已知橢圓方程篤爲(wèi)

10、二1 a b 0，長軸端點(diǎn)為力，A2，焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2， a b ZAiPAA Z F .求：-F-iPF2 的面積（用 a、b、二表示）. 1 分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角：的兩鄰邊從而利用SabsinC求面積. 解：如圖，設(shè)P x, y，由橢圓的對稱1生，不妨設(shè) 在第一象限由余弦定理知: FF2 -2PF,| W 由橢圓定義 知： PF,+PF2 =2a 則2得 PF,PF2 cos：= 4c2 2b2 1 c o s PF2 sin : 2b2 sin 二 2 1 cos - 3第二定義應(yīng)用 22 例1橢圓一一=1的右焦點(diǎn)為 16 12 M的坐標(biāo). F，過點(diǎn)A1,3，點(diǎn)M在橢圓上

11、，當(dāng) AM|+2MF 為最小值時(shí)，求點(diǎn) 分析：本題的矢鍵是求出離心率 把2MF轉(zhuǎn)化為M到右準(zhǔn)線的距離，從而得最小值一般 地，求AM +丄|MF |均可用此法. e 解：由已知：a =4 , c = 2 . 過A作AQ丄I ,垂足為Q MQ =2MF .顯然 AM +2MF 為所求 點(diǎn)，因此ym二茫3，且M在橢圓上.故XM二23 .所以M 2 3,. 3 . 說明：本題尖鍵在于未知式AM +2MF中的“ 2”的處理.事實(shí)上，如圖,a 1日仃MF 右準(zhǔn)線的距離的一半，即圖中的MQ，問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上一點(diǎn)M，使M到A的距離與到右準(zhǔn)線距離之 和取最小值. 22 xy 例2已知橢圓22=1上一點(diǎn)P到右焦

12、點(diǎn)F2的距離為b (b1)，求P到左準(zhǔn)線的距離. 4b b 分析：利用橢圓的兩個(gè)定義或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解. 解法一 ： x2 y23 由 2 = 1，得 a = 2b，c = 3b，e 3 . 4b b2 由橢圓定義 PFi + PF2 =2a =4b 得 PR =4b- PF? =4b七=3b. PFi 由橢圓第二定義，=e，di為P到左準(zhǔn)線的距離, di =2血， e 即P到左準(zhǔn)線的距離為2. 3b . PF2.3 解法二：/ L =e，d?為P到右準(zhǔn)線的距離，d? 歸二空又橢圓兩準(zhǔn)線的距離為 比 e 3 P到左準(zhǔn)線的距離為8A b - N3 b = 2 3b 33 說明：

13、運(yùn)用橢圓的第二定義時(shí)，要注意焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的同側(cè)性否則就會(huì)產(chǎn)生誤解. 橢圓有兩個(gè)定義，是從不同的角度反映橢圓的特征，解題時(shí)要靈活選擇，運(yùn)用自如一般地，如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的 問題，用橢圓第一定義；如果遇到動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離問題，則用橢圓的第二定義. 22 xy 例3已知橢圓1內(nèi)有一點(diǎn)A(1 , 1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn). 95 (1) 求PA+I卩戸的最大值、最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)； 3 (2) 求PA + PF2的最小值及對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo). 2 分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié) 合，即幾何方法本題若

14、按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，就 能簡捷求解. 解： PAz|PF2 AF2 PA +|PR 工呼 +|PF2 - AF2 =2a - AF2 = 6-2 + PF 2 + AF2 = 2a + AF 建立A、F2的直線方程 P(7和，5護(hù))、呻別M 綜上所述，P點(diǎn)與R重合時(shí), PF2 - AF2時(shí)成立，此時(shí)P、A、F2共線. PA 勻 PF2 +af2 PA PFj PF1 PF2十AF2時(shí)成立，此時(shí)P、A、F2共線. x + y 2 = 得兩交點(diǎn) 0, Qx2 +945 PA + PFi取最小值62，P點(diǎn)與S重合時(shí)，PA+IPH 取最大值

15、 6、2 . (2)如下圖，設(shè)P是橢圓上任一點(diǎn)，作 PQ垂直橢圓右準(zhǔn)線Q為垂足，由a = 3，c = 2， e = 2 .由橢圓第二定義知 3 PF2 2 1 0 PQ3 33 PQ =?|PF2 , PA +?|PF2 =|PA +|PQ 要使其和 最小需有A、P、Q共線，即求A到右準(zhǔn)線距離右準(zhǔn)線方程為 A到右準(zhǔn)線距離為7 此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同為 2 9 x =- 2 1,代入橢圓得滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo) 65 (,1). 5 1 說明：求PA +-|PF2的最小值，就是用第二定義轉(zhuǎn)化后過 e PF2與點(diǎn)準(zhǔn)距PQ互化是解決有尖問題的重要手段. 4參數(shù)方程應(yīng)用 A向相應(yīng)準(zhǔn)線作垂線段巧用焦

16、點(diǎn)半徑 例1求橢圓 2 w y2 =1上的點(diǎn)到直線x-y-6 = 0的距離的最小值. 分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點(diǎn)到直線的距離建立三角函數(shù)尖系式，求出距離的最小值. “ 口、 =73 e1 解-橢圓的參數(shù)方程為X “ 3 cos，設(shè)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(J3 COS弦AB的中點(diǎn)M 在I上. 利用上述條件建立m的不等式即可求得m的取值范圍. I的斜率ki =4, 設(shè)直線AB的方程為yxn.由方程組 i3x2 -8nx i6n2 48 二。 Xi X2 二竺.于是Xi i3 即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（乜，旦）點(diǎn)M在直線y二4xm上，n i3 i3 22 yx n, 4消去y得 X y I, 4 3 X2

17、4ni 12n _. _/ ozo n 2 y4 13 沏=4m解得n二.ld m . 4 i3 （法2）同解法i得岀n- 4/i3、 Xo 4 (m)- i3 4 ii3 :i3 I 、 2 A，B是橢圓上的兩點(diǎn) A=(26m)2-4 i3(i69m2 - 48) . 0 解得上 y。 Xo m (-m) 444 i3 i3 A , B為橢圓上的兩點(diǎn)， m = -3m，即M點(diǎn)坐標(biāo)為(m , - 3m). 4 M點(diǎn)在橢圓的內(nèi) 部， 將式代入式得i3x226mx i69m2 48 =。 22 兩式相減 Ui 4 3 -y2) = . 必二 (% = X2). 4y o 2、i32.i3 m i3

18、i3 （法3）設(shè)A （Xi, yi） ，B （X2,y2）是橢圓上尖于I對稱的兩點(diǎn)，直線AB與I的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x。，y。）. A ， B在橢圓上， 3（XiX2）（Xi-X2）4（% y2）（yi 丫 2）=0, 即彳厶。（人X）4 2 丫。（ Xi-X2 又直線AB _ I， kAB ki 二4 i，即 y。=3x。 4y。 以下同解法2. 又M點(diǎn)在直線丨上，二y。=4X。m。由，得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-m,-3m） 說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)A，B尖于直線I恒對稱，求有尖參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式： （1）利用直線AB與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元

19、后得到的一元二次方程的判別式: 0，建立參數(shù)方程. 22 利用弦AB的中點(diǎn)M （xo, yo）在橢圓內(nèi)部，滿足 西：1，將xo, yo利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不a b 等式. 22 例5已知P（4,2）是直線I被橢圓一-=1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線I的方程. 369 分析：本題考查直線與橢圓的位置尖系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y （或x）,得到尖于x（或 y）的一元二次方程，再由根與系數(shù)的尖系，直接求岀Xi X2，XiX2 （或/ y，冊的值代入計(jì)算 即得. 并不需要求岀直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的. 解：方法一：設(shè)所求直線方程為y _2 =k（x_4） 代入橢圓