求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種方法

1、求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種方法 一. 公式法(定義法) 根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng) 二. 累加、累乘法 1、累加法適用于：+=+/() a2-ax =/(1) ,r-l) n-2,-2wn-n 5-1= 口-2 i =5-2 = /!2(宀23) 勺_3 _ zf3,M-2-3(n-2)(n-l)/i2w*- =a Nd i 又q = 5 ,所以數(shù)列%的通項(xiàng)公式為山=5嚴(yán)加廠一。 注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 五. 變性轉(zhuǎn)化法 1、對(duì)數(shù)變換法適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式 例9已知數(shù)列滿足+|=2x3”x, q=7,求數(shù)列“”的通項(xiàng)公式。 解：因?yàn)?| =2x3xa q

2、=7,所以 40, an 0 o 兩邊取常用對(duì)數(shù)得Ig%=51ge,+nlg3 + lg2 Ig3 Jg2 T 164 設(shè) lg+ x（n +1） + y = 5（lg an + xn + y） （同類型四） 比較系數(shù)得, 由臨嗎+空 2) 所以 a”】=q + 2a2 + + ( 一 l)q 一 丨 + nan 用式一式得”+i an =nan. 則 a”+i =( + l)a”(“n2) 故也旦= ” + g2) 所以%佟心2 =W(n_l)4x3a= a. %】冬.2 由 an =ax +2a2 +3a3 + +(n-)an(n 2),取n = 2得他=ax +2a2 則 a2 = ax

3、 ,又知 q = 1, 則 = 1,代入得 =1345農(nóng)=仝。 2 所以，”的通項(xiàng)公式為an=. 2 八、不動(dòng)點(diǎn)法 不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)/(Q的定義域?yàn)閆A若存在f(x)x. e D 9使/(x0) = x0成立，則稱兒為 /的不動(dòng)點(diǎn)或稱(心/(兀)為函數(shù)/(%)的不動(dòng)點(diǎn)o 分析：由f（x） = X求出不動(dòng)點(diǎn)人0,在遞推公式兩邊同時(shí)減去兀門在變形求解。 類型一：形如= qan + d 例15已知數(shù)列”中，絢=1“=25+1（”二2）,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解：遞推關(guān)系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為/（x） = 2x + l ,由f（x） = x得，不動(dòng)點(diǎn)為-1 4+|+1 = 2（色 + 1）, 類型二：形如

4、如=d 5葦 c an + a 分析：遞歸函數(shù)為/（x） = 4二 c-x + d （1）若有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)P.q時(shí)，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動(dòng)點(diǎn)p.q,再將兩式相除得 ” 一,其中 k _ a _ pc , .,/ _（絢q-pq）k”- -（gp pq） % _ q a”_g，u_qc ” （務(wù)一卩伙心 （2）若有兩個(gè)相同的不動(dòng)點(diǎn)p,則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動(dòng)點(diǎn)p,然后用1除，得 一1=一 + ,其中 k=o - P ”一a + d 2 k/ -24 例16已知數(shù)列冷滿足”=三，q=4,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 仇+1 ?1r-24“21 工一24 解：令,得4x2-20 x + 24 = 0,則x =2,禺=3是函數(shù)f（x） =的兩個(gè)不 4x + l4x + l 動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)?215-24_2 % _ 2 = 4山 +1= 21 - 24-2（仇 + 1） = 13山 -26 = 13 色 -2教和an -2 目 ；一11一2&