現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法計(jì)算題

1、1. 試用進(jìn)退法確定函數(shù)f (x) =x2 - 3x+5的一維優(yōu)化初始區(qū)間a,b,給定初始 點(diǎn)Xo =-1，初始步長(zhǎng)h=1 o解：Xi=Xo=-1 , fi=f (Xi) =9x2=xo+h=-1+1=0, f2=f (x2) =5比較f1 , f2，由于f1f2，作前進(jìn)計(jì)算：X3=x+2h=-1+2=1, f3=f (X3) =3比較f2 , f3，由于f23，再作前進(jìn)計(jì)算：X1 =X2 = 0，f1 =f2=5X2=X3 = 1，f2=f3=3x3=x0+4h=-1+4=3，f3=f (x3) =5由于f2 f3，可知初始區(qū)間已經(jīng)找到，即a,b=0,3 o2. 設(shè)某種單元的可靠度Ro(t)

2、= e-，其中2=0.001/h，試求出：(1) 由這種單元組成的二單元串聯(lián)系統(tǒng)，二單元并聯(lián)系統(tǒng)及2/3 (G)表決系統(tǒng) 的平均壽命；(2) 當(dāng)t=1OOh、500h、1000h時(shí)，一單元、二單元串聯(lián)、二單元并聯(lián)及2/3(G) 表決系統(tǒng)的可靠度，并加以比較。解：(1) 一個(gè)單元與系統(tǒng)的平均壽命分別為：(單=1/ 入=1000h $ 串=1/2 啟500h$ 并=3/2 /=1500h 02/3 (G) =5/6 Q833.3h(2)當(dāng)t=100h時(shí)，一個(gè)單元與系統(tǒng)的可靠度分別為：R單=e-0-001 x 100=0.905R2 串=R =e-0-2 =0.81922R2 并=1 -(1 - R

3、單)=1- (1 - e-0-1)=0.99123R2/3(g) =3R單-2R單=0.975當(dāng)t=500h時(shí)，一個(gè)單元與系統(tǒng)的可靠度分別為：R單=e-0.001 x 5=0.6065R2 串=昭=e-0.5 x2=0.367822R2 并=1- (1 - R單)=1- (1 - 0.6065)=0.8452R2/3 ( g) =3R單 2- 2R單3 =0.6575當(dāng)t=1000h時(shí)，一個(gè)單元與系統(tǒng)的可靠度分別為：R單=e-0.001 x 1000=0.368 R2 串=只單=e-2 =0.13521223R2 并=1- (1 - R單)=1- (1 - e ) =0.600 R2/3(g)

4、 =3R單-2R單=0.306 從計(jì)算結(jié)果可以看出：(1) 一個(gè)單元的可靠度咼于二單元串聯(lián)系統(tǒng)的可靠度，但低于二單元并聯(lián) 系統(tǒng)的可靠度；(2) 2/3( G)系統(tǒng)的平均壽命為一個(gè)單元的平均壽命的5/6倍，明顯低于一個(gè)單元的平均壽命。3. 已知約束優(yōu)化問(wèn)題：minf (x)=xf+3x2S. t . Xi + X2-I0試寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)與外點(diǎn)罰函數(shù)的表示式。 解：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)：0( X,rQ =x1+3xf+rk- 一1k X1+X2-1外點(diǎn)罰函數(shù)：當(dāng)-x1 - x2+10,0( x, rk) =x1 +3xf +rk ( - x1 - x2 + 1)4. 現(xiàn)在要用鋼板制作一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方本儲(chǔ)水箱，

5、要求各邊長(zhǎng)均不超過(guò)20厘米，且長(zhǎng)度為寬度的2倍，試確定三邊長(zhǎng)度值，使該儲(chǔ)水箱的容積最大，要求其表面 積不超過(guò)400平方厘米。解：(1)建立數(shù)學(xué)模型 用復(fù)合形法迭代3次。取儲(chǔ)水箱長(zhǎng)和高為設(shè)計(jì)變量X1，x2，則其寬0.5X1，數(shù)學(xué)模型為 maxF (X) =0.5x12x2s. t. x21 +3x1x2 400 0 x1 200 x2 |136-140| 選擇插值節(jié)點(diǎn)：(X1 , y1) = (130,0.86), (X2,討2) = (140,0.89), (X3 ,七)=(150,0.92) 將以上數(shù)據(jù)和x=136代入拋物線插值公式，得x-136時(shí)y值為：(136-140 )( 136- 1

6、50 )(136- 130 )( 136-150)Y (136) =-X 0.86+-X 0.89+(130-140 )(130-150 )(140- 130 )( 140-150)(136-130)(150-130)(136-140(150-140X 0.92=0.8788如圖所示的平面剛架，由兩個(gè)單元(1)和(2)組成，兩單元的長(zhǎng)度和載面尺 寸及材料特性相同，單元(1)的局部坐標(biāo)正方向?yàn)檠剌S線方向節(jié)點(diǎn) 1指向節(jié)點(diǎn) 2，單元(2)的局部坐標(biāo)正方向?yàn)檠剌S線方向由節(jié)點(diǎn) 3指向節(jié)點(diǎn)1，在局部坐標(biāo) 系下每個(gè)單元的剛度矩陣為0 6 2 0 O12-6O -10 O 1 0 6 4 0 0126 01

7、o O 1k=k(2)= A0-12-600 62012 664平面剛架的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為。cos asina0000-s inacosa0000T=001000000cosasina0000-sinacosa0000001由局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系的關(guān)系知：?jiǎn)卧?1) a=0,單元(2) a=010000-100000所以T(1) =1 T(2)=001000000010000 -100000001在整體坐標(biāo)系下，單元的剛度矩陣為：k(e) = T(e) KT(e)(1) 求剛架總體剛度矩陣K。(2) 引入支撐條件，寫(xiě)出平衡方程。 K(1)=T KT(1)-K12001K(2)-T(2)tK(2

8、)T(2)-K(2)冷衛(wèi)00-1-60單元(1)局部碼對(duì)應(yīng)的總碼為，2,單元602(2)12060-10602120-6010-6046 0 4局部碼對(duì)應(yīng)的總碼為3.19.已知某零件的工作應(yīng)力和材料強(qiáng)度均服從指數(shù)分布，且強(qiáng)度和應(yīng)力的均值分別為k=210Mpa和隱=160Mpa，試確定零件的可靠度。零件的工作應(yīng)力和材料強(qiáng)度均服從指數(shù)分布,.且 =210MPA jg =160MpaUsJrJR= =入s + 入 r Jr + js_ 210=210+160=0.5675676該零件的可靠度為：R=0.5675676將下列實(shí)驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)擬合成 y=axb形式的經(jīng)驗(yàn)公式。（計(jì)算過(guò)程中保留小數(shù)點(diǎn)后Xi1.

9、181.582.403.00 3.80yi2.763.294.234.83 5.57將Y=axb兩邊取對(duì)數(shù)，得：lny=ln a+b Inx令 U=l nyA=l naB=bV=lnx,則原式變?yōu)?將表數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)：V 0.170.460.881.101.34Ui1.021.191.441.571.72兩位）按以上的V,口進(jìn)行最小二乘擬合得U: A+BV5A+ （l5=i V）B斗i Ui（孚i V） A+ （耳1 V2） B耳1 V Ui代入數(shù)據(jù)得+ 3. 95B = 6. 9495A + 4. 02B = 6求解得 A=0.92B=0.60a=eA=2.5b=B=0.6擬合的經(jīng)驗(yàn)公式為y=2

10、.5x0.610. 如圖所示的平面剛架，由兩個(gè)單元（1）和（2）組成，兩單元的長(zhǎng)度和載面尺寸及材料特性相同，單元（1）的局部坐標(biāo)正方向?yàn)檠剌S線方向節(jié)點(diǎn) 1指向節(jié) 點(diǎn)2,單元（2）的局部坐標(biāo)正方向?yàn)檠剌S線方向由節(jié)點(diǎn) 3指向節(jié)點(diǎn)1,在局部坐 標(biāo)系下每個(gè)單元的剛度矩陣為.k（1）=k（ 2）_ A=2 -000 6 2 0 O12-6O 1O O 1 0 6 4 0 0126 0 1O O 1-12-606 2012 664（1）求剛架總體剛度矩陣K(2)引入支撐條件，寫(xiě)出平衡方程。 解.平面剛架的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為cosa si na 0000-si na cosa 00001 o o O o o o

11、 O o o o O- - -T000cosasina0-sinacosa01) a=0,單元(2) a=9000101000-10000所以T=1 T (2) = 0010000001000-1000000由局部坐標(biāo)系與總體坐標(biāo)系的關(guān)系知：?jiǎn)卧?o o o OO 1在整體坐標(biāo)系下,單元的剛度矩陣為：k(e) = T(e)K(e)T二“TKT(1)=K120 -6 -12 0-6O 2-1OO 6O 46120 -600102-604 2)局部碼對(duì)應(yīng)的總碼為3,10 1旳(2)衛(wèi)(2)tKT(2)=K(2) =A 烏 00-1-6 0 單元(1)局部碼對(duì)應(yīng)的總碼為，2,單元(- K( 1) =

12、k11k21k12 k22(1)K(2)=k33k13k31 kn(2)所以按照剛度集成法，可得出總體風(fēng)度矩陣為:K11 +K11 (2)K12(1) K13(2)K=旳21 K22 0 K31 0K 33()A L2-12 0-6 0 0-100 6 0 2 000120-60 0 0 -1 000-604由于只有在節(jié)點(diǎn)2處作用有沿丫軸負(fù)方向的外載荷F=100N,所以節(jié)點(diǎn)載荷矢量 為F=0,0,0,0 - 100,0,0,0,0T支撐條件為U3=V3= %=0,所以等式右端的力矢量無(wú)須修改，矩陣K中7至9的各 行各列修改成除主對(duì)角線元素為1夕卜，其余各元素均為零1分總體平衡萬(wàn)程為o136 0

13、126003 0 6 10 OOOo12-6012600-1o O1 o OOO6 6 8 0OO o O OO o O OO o O 0 6 2 0OO o oOO o 1OO 1 o 6 4 0 0U3o OO 000OOO0 0 0 0 1 % 0 11. 某機(jī)電系統(tǒng)由10臺(tái)相同設(shè)備組成，各設(shè)備可靠度為0.9，若該系統(tǒng)至少有7臺(tái)設(shè)備正常運(yùn)行就可以保證整個(gè)系統(tǒng)正常工作，試求該系統(tǒng)的可靠度。解：該系統(tǒng)的每臺(tái)設(shè)備或是正常工作或是發(fā)生故障，其失效數(shù)為正整數(shù)。因此是離散型隨機(jī)變量，且服從二項(xiàng)分布。系統(tǒng)的可靠度由下式計(jì)算R (r) =S?=?-?F由題意知：r=3，N=10, R=0.9, F=1-

14、0.9=0.1,貝UR ( 3) =?x ?(?-?)x ?+x ?( ?-? x ?、 (?-?)? x ? . (?_? x ?!.+?-?-x ?（ ?-?）x ?+!x ?（ ?-? x ?化 0 9872（?-? x ?._. . （？_? x ? . 該系統(tǒng)的可靠度為0.9872? ? ?12. 已知 ABC=? ? ?，將該三角形沿X方向移動(dòng)1個(gè)單元，沿丫方向移動(dòng) ? ? ?2個(gè)單位后，再放大一倍，求變換后 ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。這是一組合變換，先求出組合變換的變換矩陣。沿X方向移動(dòng)1個(gè)單位，沿丫方向移動(dòng)2個(gè)單位，變換矩陣為1 0 0T1=0101 2 12 0 0 放大一倍，變換

15、矩陣為：T2=0 2 00 0 11 00200200所以組合變換矩陣為：T=T1T2=010 020=0201 21001241所以變換后的三角形頂點(diǎn)的坐標(biāo)短陣為:0 0 1200241 Ax Bx Cx = ABCT=2 0 1 020=641111241461變換后的三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：A (2, 4)，B (6,4 )，C (4,6 )5a0 +5a1i=15Xi +Xi+a1刀X2+i=15i=15Xi2+a1x3+aaa22 a比aa3 1X4 1Xyyyiy13 用最小二乘法將下列數(shù)據(jù)擬合成 丫P+ 3X+ a2X2形式的經(jīng)驗(yàn)公式。(計(jì)算結(jié) 果中保留兩位小數(shù))X1.202.40

16、3.204.545.82丫：7.63：16.4124.1940.65 :60.41解：擬合公式為f (x) =y=a0 + a1X+a2X2，表中共有5組數(shù)據(jù)則m=5由最小二乘 法擬合思想得：將表中數(shù)據(jù)代入得：5a0 +17.16a1 +71.92a2 =149.29 17.16ao+ 71.92a1 + 339.03a2 = 662.0971.92ao +339.03a1 +1712.29a2 =3237.31解得 a0=2.31，a1 =3.00，a2=1.20所以，由表中數(shù)據(jù)擬合成的經(jīng)驗(yàn)公式為：_ y=2.31+3.00x+1.20:214.已知目標(biāo)函數(shù)：mi nF (x)+21X-x2

17、-4xd -2x2 + 5約束條件：gi (x) =xxi-3w, 0g2 (x) =2x1 -x2-2 0g3 (x) =2Xi+X2-4 0TT試用 Kuhn-Tucker條件判斷點(diǎn) xi (1,2)和X2 (1.5,1)是否為該有約束問(wèn)題的極值點(diǎn)。15.(1)先確定起作用約束將x=1,2T代入約束方程，只有g(shù)1 (x) =0和g3 (x) =0所以起作用的約束為g1(X)和 g3 ( x)(2)根據(jù)K-T條件,有F (x) =- 2Z=1 入 g1 (x) F(x)= 2X1-4-1 2 g1(x) =2x2 g3(x) =1在 x=1,2T處-2-12-；=入1； +：；解得 入=-2

18、/3 2213 不滿足K-T條件，所以x=1,2T不是約束最優(yōu)點(diǎn)將x=1.5,1t代入約束方程，只有g(shù)2（x） = 0和g3（x）=0所在起作用的約束方程為g2（X）和g3（x）（根據(jù) K-T條件，有 F（x）二 zn=i 入 gi（x） F（x）=（2X1 - ； g2（X）=-2 g3（X）=（2在 x=1.5,1t處-0 ；+冰2解得 入=1/4?s=1/4滿足K-T條件，所以x=1.5,1t是約束極值點(diǎn)。16. 一厚度為t，邊長(zhǎng)為I的正方形鋼板，其支撐和受力情況如圖示，按 平面問(wèn)題進(jìn)行有限元分析時(shí)，劃分的單元、結(jié)點(diǎn)的局部和整體編碼如圖所 示。兩三角形單元在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚍椋籏=kk11kk11kk12k(2kk13kk14kk21kk21kk22k22)kk23kk24k( 1)k31k( 1)k32(1k33)0k( 2)k41(2)k420(2)k44313對(duì)k=k( 2) = -20 -1201稱-1-10110 2-200試引入支撐條件寫(xiě)出平衡方程。單兀節(jié)點(diǎn)局部編碼與總體編碼的對(duì)應(yīng)關(guān)系:單元（