全國(guó)自考線性代數(shù)試題及答案(07年01月-12年01月)

1、07年4月至12年1月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題及答案全國(guó)2007年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)a為3階方陣，且，則（d）a-4b-1c1d42設(shè)矩陣a=（1，2），b=，c=，則下列矩陣運(yùn)算中有意義的是（b）aacbbabccbacdcba3設(shè)a為任意n階矩陣，下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（b）aaatbaatcaatdata，所以aat為反對(duì)稱矩陣 4設(shè)2階矩陣a=，則a*=（a）abcd5矩陣的逆矩陣是（c）abcd6設(shè)矩陣a=，則a中（d）a所有2階子式都不為零b所有2階子式都為零c所有3階子式

2、都不為零d存在一個(gè)3階子式不為零7設(shè)a為mn矩陣，齊次線性方程組ax=0有非零解的充分必要條件是（a）aa的列向量組線性相關(guān)ba的列向量組線性無(wú)關(guān)ca的行向量組線性相關(guān)da的行向量組線性無(wú)關(guān)ax=0有非零解 a的列向量組線性相關(guān)8設(shè)3元非齊次線性方程組ax=b的兩個(gè)解為，且系數(shù)矩陣a的秩r(a)=2，則對(duì)于任意常數(shù)k, k1, k2，方程組的通解可表為（c）ak1(1,0,2)t+k2(1,-1,3)tb(1,0,2)t+k (1,-1,3)t c(1,0,2)t+k (0,1,-1)t d(1,0,2)t+k (2,-1,5)t是ax=b的特解，是ax=0的基礎(chǔ)解系，所以ax=b的通解可表為

3、(1,0,2)t+k (0,1,-1)t9矩陣a=的非零特征值為（b）a4b3c2d1，非零特征值為104元二次型的秩為（c）a4b3c2d1，秩為2二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11若則行列式=_0_行成比例值為零12設(shè)矩陣a=，則行列式|ata|=_4_13若齊次線性方程組有非零解，則其系數(shù)行列式的值為_0_14設(shè)矩陣a=，矩陣，則矩陣b的秩r(b)= _2_=，r(b)=215向量空間v=x=(x1,x2,0)|x1,x2為實(shí)數(shù)的維數(shù)為_2_16設(shè)向量，則向量，的內(nèi)積=_10_17設(shè)a是43矩陣，若齊次線性方程組ax=0只有零解，則矩陣a的秩r(a)= _3_18已

4、知某個(gè)3元非齊次線性方程組ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無(wú)解，則a的取值為_0_時(shí)，19設(shè)3元實(shí)二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2，則此二次型的規(guī)范形是秩，正慣性指數(shù)，則負(fù)慣性指數(shù)規(guī)范形是20設(shè)矩陣a=為正定矩陣，則a的取值范圍是，三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算3階行列式解：22設(shè)a=，求解：，23設(shè)向量組，（1）求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；（2）將其余向量表為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合解：（1）是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；（2）24求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系及通解解：，基礎(chǔ)解系為，通解為 25設(shè)矩陣a=，求正交矩陣p，使為對(duì)角矩陣解：，特征值，對(duì)于，解齊

5、次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，單位化為 ；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，單位化為 令，則p是正交矩陣，使26利用施密特正交化方法，將下列向量組化為正交的單位向量組：， 解：正交化，得正交的向量組： ，；單位化，得正交的單位向量組：，四、證明題（本大題6分）27證明：若a為3階可逆的上三角矩陣，則也是上三角矩陣證：設(shè)，則，其中，所以是上三角矩陣全國(guó)2007年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)行列式=1，=2，則=（d）a-3b-1c1d3=+=1+2=32設(shè)a為3階方陣，且已知，則（b）a-1

6、bcd1，3設(shè)矩陣a，b，c為同階方陣，則（b）aatbtctbctbtatcctatbtdatctbt4設(shè)a為2階可逆矩陣，且已知，則a=（d）a2bc2d，5設(shè)向量組線性相關(guān)，則必可推出（c）a中至少有一個(gè)向量為零向量b中至少有兩個(gè)向量成比例c中至少有一個(gè)向量可以表示為其余向量的線性組合d中每一個(gè)向量都可以表示為其余向量的線性組合6設(shè)a為mn矩陣，則齊次線性方程組ax=0僅有零解的充分必要條件是（a）aa的列向量組線性無(wú)關(guān)ba的列向量組線性相關(guān)ca的行向量組線性無(wú)關(guān)da的行向量組線性相關(guān)ax=0僅有零解 a的列向量組線性無(wú)關(guān)7已知是非齊次線性方程組ax=b的兩個(gè)不同的解，是其導(dǎo)出組ax=0

7、的一個(gè)基礎(chǔ)解系，為任意常數(shù)，則方程組ax=b的通解可以表為（a）abcd是ax=b的特解，是ax=0的基礎(chǔ)解系8設(shè)3階矩陣a與b相似，且已知a的特征值為2,2,3，則（a）abc7d12b相似于，9設(shè)a為3階矩陣，且已知，則a必有一個(gè)特征值為（b）abcda必有一個(gè)特征值為10二次型的矩陣為（c）abcd二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)矩陣a=，b=，則a+2b=12設(shè)3階矩陣a=，則，13設(shè)3階矩陣a=，則a*a=14設(shè)a為mn矩陣，c是n階可逆矩陣，矩陣a的秩為r，則矩陣b=ac的秩為_r_b=ac，其中c可逆，則a經(jīng)過(guò)有限次初等變換得到，它們的秩相等15設(shè)向量，

8、則它的單位化向量為16設(shè)向量，則由線性表出的表示式為設(shè)，即， 17已知3元齊次線性方程組有非零解，則a=_2_，18設(shè)a為n階可逆矩陣，已知a有一個(gè)特征值為2，則必有一個(gè)特征值為是a的特征值，則是的特征值19若實(shí)對(duì)稱矩陣a=為正定矩陣，則a的取值應(yīng)滿足，20二次型的秩為_2_，秩為2三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21求4階行列式的值解：22設(shè)向量，求（1）矩陣；（2）向量與的內(nèi)積解：（1）；（2）23設(shè)2階矩陣a可逆，且，對(duì)于矩陣，令，求解：，=24求向量組，的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組解：，秩為3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組25給定線性方程組（1）問(wèn)a為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解；

9、（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出其通解（用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）解：（1），時(shí)，方程組有無(wú)窮多解；（2）時(shí)，通解為26求矩陣a=的全部特征值及對(duì)應(yīng)的全部特征向量解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是不全為零的任意常數(shù)）四、證明題（本大題6分）27設(shè)a是n階方陣，且，證明a可逆證：由，得，所以a可逆，且全國(guó)2007年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)a是3階方陣，且|a|=，則|

10、a-1|=（a）a-2bcd22設(shè)a為n階方陣，為實(shí)數(shù)，則（c）abcd3設(shè)a為n階方陣，令方陣b=a+at，則必有（a）abt=bbb=2acdb=04矩陣a=的伴隨矩陣a*=（d）abcd5下列矩陣中，是初等矩陣的為（c）abcd6若向量組，線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)t=（b）a0b1c2d37設(shè)a是45矩陣，秩(a)=3，則（d）aa中的4階子式都不為0ba中存在不為0的4階子式ca中的3階子式都不為0da中存在不為0的3階子式8設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣a的特征值為，則秩(a)=（b）a0b1c2d3相似于，秩(a)= 秩(d)=19設(shè)a為n階正交矩陣，則行列式（c）a-2b-1c1d2a為正交矩陣，則，

11、10二次型的正慣性指數(shù)p為（b）a0b1c2d3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)矩陣a=，則行列式_1_12行列式中元素的代數(shù)余子式_-2_13設(shè)矩陣a=，b=，則_5_14已知，其中，則15矩陣a=的行向量組的秩=_2_，秩=216已知向量組，是的一組基，則向量在這組基下的坐標(biāo)是設(shè)，即，得，解得17已知方程組存在非零解，則常數(shù)t=_2_，18已知3維向量，則內(nèi)積_1_19已知矩陣a=的一個(gè)特征值為0，則=_1_的一個(gè)特征值為0，則，即，20二次型的矩陣是三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式d=的值解：22設(shè)矩陣a=，b=，求矩陣方程xa=

12、b的解x解：，23設(shè)矩陣a=，問(wèn)a為何值時(shí)，（1）秩(a)=1；（2）秩(a)=2解：（1）時(shí)，秩(a)=1；（2）時(shí)，秩(a)=224求向量組=，=，=，=的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組解：，秩為2，,是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組25求線性方程組的通解解：，通解為26設(shè)矩陣，求可逆矩陣p及對(duì)角矩陣d，使得解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組： ，基礎(chǔ)解系為 ；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，令，則p是可逆矩陣，使四、證明題（本大題6分）27設(shè)向量組,線性無(wú)關(guān)，證明向量組，也線性無(wú)關(guān)證：設(shè)，即，由,線性無(wú)關(guān)，得，因?yàn)?，方程組只有零解，所以,線性無(wú)關(guān)做試題,沒(méi)答案?上自考365,網(wǎng)校名師為你詳細(xì)解答!

13、全國(guó)2008年1月自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)a為三階方陣且則（d）a.-108b.-12c.12d.1082.如果方程組有非零解,則k=（b ）a.-2b.-1c.1d.23.設(shè)a、b為同階方陣，下列等式中恒正確的是（d）a.ab=bab.c.d.4.設(shè)a為四階矩陣，且則（c）a.2b.4c.8d.125.設(shè)可由向量1 =（1，0，0）2 =（0，0，1）線性表示，則下列向量中只能是( b )a.（2

14、，1，1）b.（-3，0，2）c.（1，1，0）d.（0,-1,0）6.向量組1 ，2 ，s 的秩不為s(s)的充分必要條件是（c ）a. 1 ，2 ，s 全是非零向量b. 1 ，2， ，s 全是零向量c. 1 ，2， ，s中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表出d. 1 ，2， ，s 中至少有一個(gè)零向量7.設(shè)a為m矩陣，方程ax=0僅有零解的充分必要條件是（c）a.a的行向量組線性無(wú)關(guān)b.a的行向量組線性相關(guān)c.a的列向量組線性無(wú)關(guān)d.a的列向量組線性相關(guān)8.設(shè)a與b是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（d）a.b.秩（a）=秩（b）c.存在可逆陣p，使p-1ap=bd.e-a=e-b9.與矩

15、陣a=相似的是（ a ）a.b.c.d.10.設(shè)有二次型則（ c ）a.正定b.負(fù)定c.不定d.半正定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.若則k=_1/2_.12.設(shè)a=,b=則ab=_.13.設(shè)a=, 則a-1= 14.設(shè)a為3矩陣,且方程組ax=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量,則秩(a)= _1_.15.已知a有一個(gè)特征值-2,則b=a+2e必有一個(gè)特征值_6_.16.方程組的通解是_ _ c 1 _+_ c 2 _. 17.向量組1 =(1,0,0) 2 =(1,1,0), 3 =(-5,2,0)的秩是_2_.18.矩陣

16、a=的全部特征向量是.19.設(shè)三階方陣a的特征值分別為-2,1,1,且b與a相似,則=_-16_.20.矩陣a=所對(duì)應(yīng)的二次型是.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算四階行列式的值. = 22.設(shè)a=,求a.a = 23.設(shè)a=,b=,且a,b,x滿足(e-ba)求x,x(e-ba) x= =x=24.求向量組1 =(1,-1,2,4)2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.1 2 4 為極大無(wú)關(guān)組。25.求非齊次方程組的通解 通解 26. 設(shè)a=,求p使為對(duì)角矩陣.= p=

17、=四、證明題（本大題共1小題,6分）27.設(shè)1，2，3 是齊次方程組a x =0的基礎(chǔ)解系.證明1，1+2， 1 +2 +3也是ax =0的基礎(chǔ)解系略。全國(guó)2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)行列式d=3，d1=，則d1的值為（c）a-15b-6c6d15d1=2設(shè)矩陣=，則（c）abcd3設(shè)3階方陣a的秩為2，則與a等價(jià)的矩陣為（b）abcd4設(shè)a為n階方陣，則（a）abcd5設(shè)a=，則（b）a-4b-2c2d46向量組（）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（d）a均不為零向量b中任意兩個(gè)向量不成比例c

18、中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)d中任意一個(gè)向量均不能由其余個(gè)向量線性表示7設(shè)3元線性方程組，a的秩為2，,為方程組的解，則對(duì)任意常數(shù)k，方程組的通解為（d）abcd取的特解：；的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量：8設(shè)3階方陣a的特征值為，則下列矩陣中為可逆矩陣的是（d）abcd不是a的特征值，所以，可逆9設(shè)=2是可逆矩陣a的一個(gè)特征值，則矩陣必有一個(gè)特征值等于（a）abc2d4是a的特征值，則是的特征值10二次型的秩為（c）a1b2c3d4，秩為3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11行列式=_0_行成比例值為零12設(shè)矩陣a=，p=，則=13設(shè)矩陣a=，則14設(shè)矩陣a=，若齊次線性方程組ax=0有

19、非零解，則數(shù)t=_2_，15已知向量組，的秩為2，則數(shù)t=_-2_，秩為2，則16已知向量，與的內(nèi)積為2，則數(shù)k=，即，17設(shè)向量為單位向量，則數(shù)b=_0_，18已知=0為矩陣a=的2重特征值，則a的另一特征值為_4_，所以19二次型的矩陣為20已知二次型正定，則數(shù)k的取值范圍為，三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式d=的值解：22已知矩陣a=，b=，（1）求a的逆矩陣；（2）解矩陣方程解：（1），=；（2）=23設(shè)向量，求（1）矩陣；（2）解：（1）=；（2）=24設(shè)向量組，求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示解：，向量組的秩為

20、3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，25已知線性方程組，（1）求當(dāng)為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有解；（2）當(dāng)方程組有解時(shí)，求出其全部解（要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）解：（1）時(shí)，方程組無(wú)解，時(shí)，方程組有解；（2）時(shí)，全部解為26設(shè)矩陣a=，（1）求矩陣a的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量；（2）判定a是否可以與對(duì)角陣相似，若可以，求可逆陣p和對(duì)角陣，使得解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）令，則p是可逆矩陣，使得四、證明題（本題6分）27設(shè)n階矩陣a滿足，證明可逆，且證

21、：由，得，所以可逆，且全國(guó)2008年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)3階方陣，其中（）為a的列向量，且，則（c）a-2b0c2d6，2若方程組有非零解，則k=（a）a-1b0c1d2，3設(shè)a，b為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是（c）abcd反例：，4設(shè)a為三階矩陣，且，則（a）ab1c2d45已知向量組a：中線性相關(guān)，那么（b）a線性無(wú)關(guān)b線性相關(guān)c可由線性表示d線性無(wú)關(guān)部分相關(guān)全體相關(guān)6向量組的秩為，且，則（c）a線性無(wú)關(guān)b中任意個(gè)向量線性無(wú)關(guān)c中任意+1個(gè)向量線性相關(guān)d中任意-1個(gè)向量線性無(wú)關(guān)

22、7若與相似，則（d）a,都和同一對(duì)角矩陣相似b,有相同的特征向量cd8設(shè)是的解，是對(duì)應(yīng)齊次方程組的解，則（b）a是的解b是的解c是的解d是的解9下列向量中與正交的向量是（d）abcd10設(shè)，則二次型是（b）a正定b負(fù)定c半正定d不定，對(duì)應(yīng)的，正定，負(fù)定二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)a為三階方陣且，則_24_12已知，則_0_，13設(shè)，則，14設(shè)a為45的矩陣，且秩(a)=2，則齊次方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是_3_基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)是15設(shè)有向量，則的秩是_2_，秩是216方程組的通解是，通解是17設(shè)a滿足，則，18設(shè)三階方陣a的三個(gè)特征值為，則_24_a的

23、特征值為，則的特征值為，19設(shè)與的內(nèi)積，則內(nèi)積_-8_20矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型是三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算6階行列式解：22已知，滿足，求解：，=，=23求向量組，的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組解：，秩為2，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組24當(dāng)為何值時(shí)，方程組有無(wú)窮多解？并求出其通解解：，時(shí)，有無(wú)窮多解此時(shí)，通解為25已知，求其特征值與特征向量解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為（是任意非零常數(shù)）26設(shè)，求解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ；對(duì)于，解

24、齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 令，則，四、證明題（本大題6分）27設(shè)為的非零解，為（）的解，證明與線性無(wú)關(guān)證：設(shè)，則，由此可得，從而，又，可得，所以與線性無(wú)關(guān)全國(guó)2008年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)a為3階方陣，且，則（a）a-9b-3c-1d9，2設(shè)a、b為n階方陣，滿足，則必有（d）abcd3已知矩陣a=，b=，則（a）abcd=4設(shè)a是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與a等價(jià)的矩陣是（d）abcd5設(shè)向量，下列命題中正確的是（b）a若線性相關(guān)，則必有線性相關(guān)b若線性無(wú)關(guān)，則必有線性無(wú)關(guān)c若線性

25、相關(guān)，則必有線性無(wú)關(guān)d若線性無(wú)關(guān)，則必有線性相關(guān)6已知是齊次線性方程組ax=0的兩個(gè)解，則矩陣a可為（a）abcd，7設(shè)mn矩陣a的秩r(a)=n-3（n3），是齊次線性方程組ax=0的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組ax=0的基礎(chǔ)解系為（d）abcd其中只有線性無(wú)關(guān)8已知矩陣a與對(duì)角矩陣d=相似，則（c）aabdced存在，使，9設(shè)矩陣a=，則a的特征值為（d）a1，1，0b-1，1，1c1，1，1d1，-1，-110設(shè)a為n（）階矩陣，且，則必有（c）aa的行列式等于1ba的逆矩陣等于eca的秩等于nda的特征值均為1，a的秩等于n二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11已知

26、行列式，則數(shù)a =_3_，12設(shè)方程組有非零解，則數(shù)k = _4_，13設(shè)矩陣a=，b=，則=14已知向量組的秩為2，則數(shù)t=_3_，秩為2，則15設(shè)向量，則的長(zhǎng)度為_5/2_16設(shè)向量組，與向量組等價(jià)，則向量組的秩為_2_，秩為217已知3階矩陣a的3個(gè)特征值為，則_36_18設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣a的特征值為，則r(a)= _2_a相似于，r(a)=219矩陣a=對(duì)應(yīng)的二次型f =20設(shè)矩陣a=，則二次型的規(guī)范形是，其中，三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式d=的值解：22已知a=，b=，c=，矩陣x滿足axb=c，求解x解：，；，=23求向量在基，下的坐標(biāo)，并將用此

27、基線性表示解：設(shè)，即，得，在基下的坐標(biāo)是，24設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，令，試確定向量組的線性相關(guān)性解：設(shè)，即，由線性無(wú)關(guān)，得，有非零解，線性相關(guān)25已知線性方程組，（1）討論為何值時(shí)，方程組無(wú)解、有惟一解、有無(wú)窮多個(gè)解（2）在方程組有無(wú)窮多個(gè)解時(shí)，求出方程組的通解（用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）解：（1）時(shí)無(wú)解，且時(shí)惟一解，時(shí)有無(wú)窮多個(gè)解（2）時(shí)，通解為26已知矩陣a=，求正交矩陣p和對(duì)角矩陣，使解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為，正交化：令，單位化：令，；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為，單位化：令令，則p是正交矩陣，使四、證明題（本題6分）27設(shè)為非齊次線性方程組ax=b

28、的一個(gè)解，是其導(dǎo)出組ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系證明線性無(wú)關(guān)證：設(shè)，則，由，得-（1）從而，由線性無(wú)關(guān)，得-（2）由（1）（2）可知線性無(wú)關(guān)全國(guó)2009年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案課程代碼：04184一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1線性方程組的解為（a）abcd2設(shè)矩陣，則矩陣的伴隨矩陣（b）abcd3設(shè)為矩陣，若秩（）=4，則秩（）為（c）a2b3c4d54設(shè)分別為和矩陣，向量組（i）是由的列向量構(gòu)成的向量組，向量組（）是由的列向量構(gòu)成的向量組，則必有（c）a若（i）線性無(wú)關(guān)，則（）線性無(wú)關(guān)b若（i）線性無(wú)關(guān)，則（）線性相關(guān)c若（）線性無(wú)關(guān)，則（i）線

29、性無(wú)關(guān)d若（）線性無(wú)關(guān)，則（i）線性相關(guān)（i）是（）的部分組，整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)5設(shè)為5階方陣，若秩（）=3，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)是（a）a2b3c4d5未知量個(gè)數(shù)，的秩，基礎(chǔ)解系包含個(gè)解向量6設(shè)矩陣的秩為，且是齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解，則的通解為（d）a，b，c，d，的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解向量是不同的解，是非零解，可以作為基礎(chǔ)解系，通解為，7對(duì)非齊次線性方程組，設(shè)秩（）=r，則（）ar=m時(shí)，方程組有解br=n時(shí)，方程組有唯一解cm=n時(shí)，方程組有唯一解drn時(shí)，方程組有無(wú)窮多解r=m時(shí)，有解8設(shè)矩陣，則的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（c）a1b2c3d4特征值為，和

30、各有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；對(duì)于，解：，有1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量9設(shè)向量，則下列向量是單位向量的是（b）abcd，10二次型的規(guī)范形是（d）abcd二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）113階行列式_12設(shè)，則_13設(shè)為3階方陣，若，則_14已知向量，如果，則_15設(shè)為3階非奇異矩陣，則齊次方程組的解為_，只有零解：16設(shè)方程組的增廣矩陣為，則其通解為_，通解為17已知3階方陣的特征值為，則_18已知向量與向量正交，則_，19二次型的正慣性指數(shù)為_正慣性指數(shù)為320若為正定二次型，則的取值應(yīng)滿足_，；，三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計(jì)算行列式解：22設(shè)，

31、又，求矩陣解：，23設(shè)矩陣，求矩陣的秩解：，可逆，而的秩為3，所以的秩為324求向量組，的秩解：，的秩為225求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：，基礎(chǔ)解系為，26設(shè)矩陣，求可逆矩陣，使為對(duì)角矩陣解：a的特征多項(xiàng)式為，特征值為，對(duì)于，解齊次方程組：，取，對(duì)于，解齊次方程組：，取令，則是可逆矩陣，使四、證明題（本大題共1小題，6分）27設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，證明：向量組線性無(wú)關(guān)證：設(shè)，即，因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，必有，方程組只有零解：，所以線性無(wú)關(guān)全國(guó)2009年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）13階行列式中元素的代數(shù)余子式（ c ）abc1d

32、22設(shè)，則（ a ）abcd3設(shè)階可逆矩陣、滿足，則（ d ）a bcd由，得，4設(shè)3階矩陣，則的秩為（ b ）a0b1c2d3，的秩為15設(shè)是一個(gè)4維向量組，若已知可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為（ c ）a1b2c3d4是的極大無(wú)關(guān)組，的秩為36設(shè)向量組線性相關(guān)，則向量組中（ a ）a必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合b必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合c必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合d每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合7設(shè)是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（ b ）abcd只有線性無(wú)關(guān)，可以作為基礎(chǔ)解系8若2

33、階矩陣相似于，為2階單位矩陣，則與相似的是（ c ）abcd與相似，則，即與相似9設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣，則3元二次型的規(guī)范形為（ d ）abcd，規(guī)范形為10若3階實(shí)對(duì)稱矩陣是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為（ d ）a0b1c2d3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11已知3階行列式，則_，12設(shè)3階行列式的第2列元素分別為，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為，則_13設(shè)，則_14設(shè)為2階矩陣，將的第2列的（）倍加到第1列得到，則_將的第2列的2倍加到第1列可得15設(shè)3階矩陣，則_，16設(shè)向量組，線性相關(guān)，則數(shù)_，17已知，是3元非齊次線性方程組的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組有一個(gè)非零解向量_（

34、或它的非零倍數(shù)）18設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，則數(shù)_和屬于不同的特征值，所以它們是正交的，即，即，19已知3階矩陣的特征值為，且矩陣與相似，則_的特征值為，20二次型的矩陣_，三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21已知3階行列式中元素的代數(shù)余子式，求元素的代數(shù)余子式的值解：由，得，所以22已知矩陣，矩陣滿足，求解：由，得，于是23求向量組，的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表出解：，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，24設(shè)3元齊次線性方程組，（1）確定當(dāng)為何值時(shí)，方程組有非零解；（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解解：（1）

35、，或時(shí)，方程組有非零解；（2）時(shí)，基礎(chǔ)解系為，全部解為，為任意實(shí)數(shù)；時(shí)，基礎(chǔ)解系為，全部解為，為任意實(shí)數(shù)25設(shè)矩陣，（1）判定是否可與對(duì)角矩陣相似，說(shuō)明理由；（2）若可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣和可逆矩陣，使解：（1），特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為，；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為3階矩陣有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以相似于對(duì)角陣；（2）令，則是可逆矩陣，使得26設(shè)3元二次型，求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形解：二次型的矩陣為，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，單位化為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，單位化為；對(duì)于，解齊次線性方程組：，單位化為令，則p是正交矩陣，使得，經(jīng)正交變

36、換后，原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形四、證明題（本題6分）27已知是階矩陣，且滿足方程，證明的特征值只能是0或證：設(shè)是的特征值，則滿足方程，只能是或全國(guó)2009年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1設(shè)，為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立的是（ c ）abc d，未必等于2已知，那么（ b ）abcd123若矩陣可逆，則下列等式成立的是（ c ）abcd，所以4若，則下列為矩陣的是（ d ）abcd與都是矩陣，由此可以將前三個(gè)選項(xiàng)排除5設(shè)有向量組：，其中線性無(wú)關(guān)，則（ a ）a線性無(wú)關(guān)b線性無(wú)關(guān)c線性相關(guān)d線性相關(guān)整體無(wú)關(guān)部分無(wú)關(guān)6若四階方

37、陣的秩為3，則（ b ）a為可逆陣b齊次方程組有非零解c齊次方程組只有零解d非齊次方程組必有解，有非零解7設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程存在非零解的充要條件是（ b ）a的行向量組線性相關(guān)b的列向量組線性相關(guān)c的行向量組線性無(wú)關(guān)d的列向量組線性無(wú)關(guān)存在非零解的充要條件是，即的列向量組線性相關(guān)8下列矩陣是正交矩陣的是（ a ）abcd9二次型（為實(shí)對(duì)稱陣）正定的充要條件是（ d ）a可逆bc的特征值之和大于0d的特征值全部大于010設(shè)矩陣正定，則（ c ）abcd，二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11設(shè)，則_12若，則_，13設(shè)，則_，14已知，則_由，得，所以15向量組的秩為_

38、，秩為216設(shè)齊次線性方程組有解，而非齊次線性方程組有解，則是方程組_的解由，可得，即是的解17方程組的基礎(chǔ)解系為_，基礎(chǔ)解系為18向量正交，則_由，即，19若矩陣與矩陣相似，則 _相似矩陣有相同的跡，所以，220二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是_三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21求行列式的值解：22已知，矩陣滿足方程，求解：由，得，于是23設(shè)向量組為，求向量組的秩，并給出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組解：，向量組的秩為2，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組24取何值時(shí)，方程組有非零解？有非零解時(shí)求出方程組的通解解：，或時(shí)，方程組有非零解；時(shí)，通解為，為任意實(shí)數(shù)；時(shí)，通解為，為任意實(shí)數(shù)25設(shè)矩陣，求矩陣的全部

39、特征值和特征向量解：，特征值，對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，全部特征向量為，是任意非零常數(shù)；對(duì)于，解齊次線性方程組：，基礎(chǔ)解系為 ，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，是任意不全為零的常數(shù)26用配方法求二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換解：作可逆線性變換，得標(biāo)準(zhǔn)形四、證明題（本大題共1小題，6分）27證明：若向量組線性無(wú)關(guān)，而，則向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是為奇數(shù)證：設(shè)，即，由線性無(wú)關(guān)，可得齊次方程組，其系數(shù)行列式，當(dāng)且僅當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，齊次方程組只有零解，線性無(wú)關(guān)全國(guó)2009年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1行列式第二行第一列

40、元素的代數(shù)余子式（b）abc1d22設(shè)為2階矩陣，若，則（c）ab1cd2，3設(shè)階矩陣、滿足，則（a）abcd由，得4已知2階矩陣的行列式，則（a）abcd因?yàn)?，所以?向量組（）的秩不為零的充分必要條件是（b）a中沒(méi)有線性相關(guān)的部分組b中至少有一個(gè)非零向量c全是非零向量d全是零向量6設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是（c）abcd7已知3階矩陣的特征值為，則下列矩陣中可逆的是（d）ab cd的特征值為，可逆8下列矩陣中不是初等矩陣的為（d）abcd第1行加到第3行得a，第1行的（）倍加到第3行得b，第2行乘以2得c，以上都是初等矩陣而的第1行分別加到第2、3兩行得d，d不是

41、初等矩陣94元二次型的秩為（b）a1b2c3d4二次型的矩陣，秩為210設(shè)矩陣，則二次型的規(guī)范形為（d）abcd令，則解法二：，存在正交矩陣，使得，即的規(guī)范形為二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11已知行列式，則_，12已知矩陣，且，則_，所以解法二：注意到，所以13設(shè)矩陣，則_，14已知矩陣方程，其中，則_，15已知向量組線性相關(guān)，則數(shù)_由，得116設(shè)，且，則的秩為_線性無(wú)關(guān)，秩為217設(shè)3元方程組增廣矩陣為，若方程組無(wú)解，則的取值為_當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解18已知3階矩陣的特征值分別為，則_特征值分別為，19已知向量與正交，則數(shù)_由，即，得20已知正定，則數(shù)的取值范圍是_

42、，三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)21計(jì)算行列式的值解：22設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，求解：由，得，其中，23已知線性方程組，（1）討論常數(shù)滿足什么條件時(shí)，方程組有解（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）解：（1），時(shí)，方程組有解（2），通解為24設(shè)向量組，求該向量組的秩及一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大無(wú)關(guān)組線性表示解：，向量組的秩為3，是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，25設(shè)矩陣，存在，使得；存在，使得試求可逆矩陣，使得解：由題意，的特征值為，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量為；的特征值為，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量為令，則是可逆矩陣，使得；令，則是可逆矩陣，使得由上可得，從而，即，令，則是可逆矩陣，使得26已知，求正交變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形解：原二次型的矩陣為，的特征值為，對(duì)于，解齊次方程組： ，取，先正交化：，再單位化：，對(duì)于，解齊次方程組：