股票收益的分形特征的實證分析

1、維普資訊 Vo125(2005)數(shù) 學 雜 志NO5JofMath(PRC)股票收益的分形特征的實證分析彭 靜 ，劉劍鋒。，王曉天(1武漢科技大學理學院，湖北武漢 430081)(2武漢大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北武漢 430072)(3中國地質(zhì)大學數(shù)學與物理學院，湖北武漢 430074)(4天津大學管理學院，天津 300072)摘要：本文以具體股價指數(shù)為例研究股票市場的分形特征，結果發(fā)現(xiàn)股票的收益具有長期記憶性、收益分布具有尖峰、細尾等特點，這對預測及管理證券的風險是有極重要的意義的關鍵詞：分形；長期記憶；L6vy穩(wěn)定分布；風險的度量MR(2000)主題分類

2、號：91B84中圖分類號：029；F224文獻標識碼：A文章編號：02557797(2005)050579041 引言近年來，分形幾何已經(jīng)廣泛地應用于數(shù)學金融、網(wǎng)絡交通分析、地球物理學、流體力學、生物學等領域，特別是股票收益率分布的統(tǒng)計自相似性及長期記憶性，更是激起了人們應用分形研究金融時間序列及進行金融市場管理與預測的濃厚興趣早在 2O世紀 6O年代 ，分形的創(chuàng)始人 Mandelbrot就發(fā)現(xiàn)棉花的股票價格收益率分布具有統(tǒng)計 白相似性，并且可用特征指數(shù)為 (O，2)的 L6vy穩(wěn)定分布加以描述但此時收益方差不存在，這一直使 經(jīng)濟學家感到困惑應用經(jīng)典的 RS分析，Mandelbrot及 Gre

3、enz婦等人發(fā)現(xiàn)股票收益序列 自相關具有長期記憶性1991年 Lo提出修正的 RS分析，并將其用于美 國股票收益序列，發(fā)現(xiàn)證券的長期記憶性并不顯著，因而得出在大多數(shù)場合金融市場并不存在長期記憶性。在 1999年，Willinger糾等人發(fā)現(xiàn)修正的 RS分析低估了金融時間序列存在長期記憶性的可能，因而用修正的 RS分析進行判斷并不可靠1994年 ，Peter。系統(tǒng)的研究了美國證券市場，發(fā)現(xiàn)證券收益具有長期記憶性，并提出用分形市場分析代替有效市場假設1995年，Mantegna與StanleyL4發(fā)現(xiàn) S&P500(標準普爾 500家)指數(shù)收益率的分布在中間部分與 L6vy穩(wěn)定分布相吻和，但在尾部

4、完全不同，主要表現(xiàn)為尾部指數(shù) a2為此他們提出用截尾的(trunated) L6vy穩(wěn)定分布來描述這一現(xiàn)象，現(xiàn)在國外有大量這方面的研究工作 (參見GopikrishnanL5)在國內(nèi)戴國強L6、鄭維英L7、樊智 、林勇Lg等用經(jīng)典 RS分析發(fā)現(xiàn)市深股市指數(shù)收益在不同的時間標度下具有長期記憶性陳夢根1叩基于修正的 RS分析得 出許多股票指數(shù)不存在長期記憶性本文以上證指數(shù)、深證成指、成分 A指、成分 B指為例，基于經(jīng)典 RS分析得出股票收益具有長期記憶性 ，因而該股票價格并不滿足有效市場假設，由估計我們得出股票收益的尾部指數(shù) a 2，這 顯然超出了 L6vy穩(wěn) 定分布的范圍，與收稿日期：20040

5、504接收日期：20041101作者簡介：彭 靜 (1978一)，女，湖北襄樊，碩士，主要從事分形幾何研究維普資訊 580數(shù)學雜志MantegnaE 等人結果一致2 RS分析RS分析是由著名的英國水文學家 Hurst在 1951年研究尼羅河水位漲落問題時提出的，他發(fā)現(xiàn)大多數(shù)自然現(xiàn)象，包括水位、溫度、降雨、太陽黑子等不服從 Brown運動及 Gauss 分布的特征，而是一種隨機游走Hurst給出關系：RS ( ) ， 一。其中，RS分析為重標極差，f為常數(shù)， 為觀察次數(shù)，H 是 Hurst指數(shù)nS分析的計算具體步驟如下：(1)把一列時間序列 X()，一1，2

6、，N分成 A組，每組 個數(shù)據(jù)，各組按順序分別取為 ， ， ，每一組中的數(shù)據(jù)分別記為X ()，七一1，2， ， ；一1，2， ，A)；(2)計算1每組數(shù)的平均值：X 一一1x ；(3)計算極差：R =max(X缸一x )一min(X缸一xJd)；，f一1(4)計算樣本方差：S 一 (x 一Xk)；(5)計算重標極差：(Rs) 一4n =1A一去( )；(6)由此，得log(RS)=logf+HlogN3 L6vy穩(wěn)定分布與截尾 L6vy穩(wěn)定分布Mandelbrot(1964)提出棉花的股票價格的收益率是服從一族 L6vy穩(wěn)定分布，其分布在均值處有尖峰，也有胖尾，在這類分布中方差是無限的，一般來說

7、，很難寫出分布的顯式分布函數(shù)，但可以給出特征函數(shù)定義 1 隨機變量 X是穩(wěn)定的(Stable)，當且僅當它的特征函數(shù)形如：lexp- I I-iifl(tan-K sign)+雌 口1E(P扭)一l) 。exp- 7I I1+ ( )signin I I+a=1記為 XS。(7，盧， )其 中，a(0o表示左偏，po表示右偏； 是位置參數(shù)(和均值對應 )；7是標度參數(shù)(廣義的標準差)值得 注意的是，a2時，穩(wěn)定分布有限絕對值矩，但沒有有限 2階矩；當 a一2，盧一0，y一1， ：1時分布為標準正態(tài)分布因為 L6vy穩(wěn)定分布 的胖尾衰退的比指數(shù)分布衰退的慢，又有無窮大的方差，然而實際情況要求系統(tǒng)

8、有有窮性為了實現(xiàn)這種事實，Mantegna與 Stanley介紹 了截尾 L6vy穩(wěn)定 過程的概念定 義 2 隨機過程 X()，一1，2，)是對稱 a穩(wěn)定 L6vy過程如果滿足：(1)X(0)一o，as(2)X()有獨立增量(3)X()一X(s)S (It-sI，0，0)，口(0，2)事實上，對稱口_穩(wěn)定 Lavy過程有 自相似性，因為 X( )一X(cs) ( It 言，0，0)ieX(ct)一 X(cs)一 i(X()一X(s)其分布的數(shù)學表達式為：)一ooexp(一 rq口)c。s(qx)dq其 中，a是穩(wěn)定指數(shù)(00)，風險最低時 y一1定義 3 隨機過程是截尾 L6vy穩(wěn)定過程，當且

9、僅 當分布函數(shù)為：維普資訊 No5彭 靜等 股票收益的分形特征的實證分析58lf0 z ZT(z)一 【cL(z) 一zzz其中，c是正規(guī)化常數(shù)，z是所截的長度0 z 一VaRT) 1 a其 中X 表示資產(chǎn)在第起的收益；a表示置信度；VaR 表示時刻a水平下的 VaR，VaR的取值為正，即取損失的絕對值需要說明的是 a與分布的尾部指數(shù)有一定 的關系，由此我們可以判斷風險高低，若發(fā)現(xiàn)細尾，如果用正態(tài)分布進行風險估計，此時會高估風險；反之，若發(fā)現(xiàn)胖尾，則低估風險例如，對某項 1O億元的資產(chǎn)組合，根據(jù) 95 的置信度，求得 VaR為 600萬元則由上述定義可得，

10、該資產(chǎn)組合在下一交易日內(nèi)損失 600萬元的概率為 5 ，這樣的事件在平均 2O 個交易日才可能出現(xiàn)一次或者說我們有 95 的把握判斷該資產(chǎn)組合在下一個交易日內(nèi)的損失在 600萬元以下5 實證分析我們選取上證指數(shù)、深證成指、成分 A指、成分 B指 自開盤之 let起到 2003年 4月 4日的數(shù)據(jù)為研究對象設 X()為該股票的開盤價，則股票以天為單位的收益率為r()一lnX(t)一lnX(一1)，其中一1，2，尾部指數(shù)是用來刻畫極端事件發(fā)生的概率的，相對高的尾部指數(shù)和相對低的極端事件相對應，在這里我們用 Hill估計首先 ，根據(jù)樣本r-，r2，r 定義順序統(tǒng)計量為r五 ，r ”，r ，r五r r

11、 選取最大的 M，尾部指數(shù)可估計為IHil=；Mlnr丁一+,-Inr腫一這里的樣本即為股票的收益率，根據(jù)Lux(2000)的建議 M 的值選取不超過 5 T實際數(shù)據(jù)計算結果如以下兩表：表 1 四種股票日數(shù)據(jù)統(tǒng)計表6 對實證結果的分析由上表我們知rl的Hurst指數(shù)H丟，因而該股票收益具有長期記憶性及非線性特征，在傳統(tǒng)的有效市場假設下，經(jīng)無風險利率貼現(xiàn)是一個鞅過程，因而市場不具有長期記憶效應，Hurst指數(shù)H丟與分形市場假設是一致的，而且我們知道在不同的標度下的H值并不同，因而就該股票而言并不具有標度不變性，其經(jīng)濟含義短期(以日為標度)與中期(以周維普資訊 http:/www.cqvip.co

12、m582數(shù)學雜志為標度)面臨的風險并不相同，應采用不同的交易策略中國證券市場是一個新興的市場，投資1者還沒有達到弱有效市場的理性條件H寺說明市場中存在著正反饋交易者(噪聲交易者)厶及“羊群效益”，其特點為投資者對價格反應過度，盲目跟風，追漲殺跌，導致市場的異常波動，同時莊家利用散戶對價格反應過度的特點，人為地制造虛假信息 (如銀廣廈事件)使其淪為莊1家套利的工具H去意味著昨天的價格會影響今天的價格，股票具有一定的可預測性厶同時我們也得到收益率分布顯著異于 L芭vy穩(wěn)定分布當分布 為 Lvy穩(wěn)定分布時已有了一套較為成熟的計算風險的方法當分布的特征是尖峰胖尾(a2)且 z充分大時 ，P( z) c

13、z(其中 C為常數(shù))需要建立新的估計風險的算法，這是我們需進一步要做的工作，但是我們知道當 a(O，1)時收益的一階矩不存在，此時證券組合的風險不能分散，若增加證券必然會升高風險；當 a(1，2)時收益的二階矩不存在，證券組合的風險能分散，若增加證券可以降低證券組合的風險；當 a2時 ，收益的二階矩存在，即方差有界，并且導致收益突增的小概率事件相對來說并不重要，此時證券組合的風險為最低但在粗尾場合 (a2)，這類事件極其重要，是不可忽略的例如，如果正式的收益率是 Cauchy分布生成 的(Oa1)，如果用正態(tài)分布計算所得的 VaR會 大大低估實際的 VaR，給投資者 一種虛假的安全感本文以具體

14、的股價指數(shù)為例研究市場的分形特征，結果發(fā)現(xiàn)股票收益具有長期記憶性，收益分布具有尖峰、細尾等特點，這對預測及管理證券風險有極其重要的理論與現(xiàn)實意義參考文獻：E1 GreenM，T，F(xiàn)ielitzBDLongterm DependenceinCommonStockReturnsJFinancialEcon，1977，4：33934923 WillihgerW，Taqqu MS，VTeverovskyStock MarketPrices and Long-rangeDependenceJFinance Stochast，1991，3：1133 PetersEEFractalMarketAnalysi

15、sMJohnWiley& Sons，Lnc，199441 MantegnaR，StanleyESealingBehaviorintheDaynamicsofanEconomicIndexJNature，1995，37651 GopikrishnanPeta1ScalingoftheDistributionsofFluctuationsofFinanceMarketIndicesJPhysRev E，l999，6063 戴國強，吳林祥金融市場微觀結構理論M上海：上海財經(jīng)大學出版社，199973 鄭維敏正反饋 M北京：清華大學出版社，199883 樊 智，張世英金融市場的效率與分形市場理論 J系統(tǒng)

16、工程理論與實踐，2003，3：131991 林 勇，郭林軍有效市場假設與分形市場假設J預測，2002，21(2)：34381O陳夢根中國股市長期記憶效應的實證研究J經(jīng)濟研究，2003，3：7078EM PIRICAL ANALYSIS OF FRACTAL CHARACTERITICIN SToCK RETURNPENG Jing(彭 靜)“。，LIU Jianfeng(劉劍鋒 )。，WANG Xiao-tian(王曉天)(1Collegeof Science，Wuhan University of Sci& Technology；Wuhan 430081，China)(2Schoolof M

17、athand Statistics，Wuhan University，Wuhan 430072，China)(3Schoolof Mathand Physics，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China)(4Schoolof Management，TianjinUniversity，Tianjin 300072，China)Abstract：In this paper，we analyzethe fractalcharactetistic ofstock marketby using the specificstock priceIt is found that stock return po