股票收益的分形特征的實(shí)證分析

1、維普資訊 Vo125(2005)數(shù) 學(xué) 雜 志NO5JofMath(PRC)股票收益的分形特征的實(shí)證分析彭 靜 ，劉劍鋒。，王曉天(1武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢 430081)(2武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢 430072)(3中國(guó)地質(zhì)大學(xué)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，湖北武漢 430074)(4天津大學(xué)管理學(xué)院，天津 300072)摘要：本文以具體股價(jià)指數(shù)為例研究股票市場(chǎng)的分形特征，結(jié)果發(fā)現(xiàn)股票的收益具有長(zhǎng)期記憶性、收益分布具有尖峰、細(xì)尾等特點(diǎn)，這對(duì)預(yù)測(cè)及管理證券的風(fēng)險(xiǎn)是有極重要的意義的關(guān)鍵詞：分形；長(zhǎng)期記憶；L6vy穩(wěn)定分布；風(fēng)險(xiǎn)的度量MR(2000)主題分類(lèi)

2、號(hào)：91B84中圖分類(lèi)號(hào)：029；F224文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：02557797(2005)050579041 引言近年來(lái)，分形幾何已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)金融、網(wǎng)絡(luò)交通分析、地球物理學(xué)、流體力學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域，特別是股票收益率分布的統(tǒng)計(jì)自相似性及長(zhǎng)期記憶性，更是激起了人們應(yīng)用分形研究金融時(shí)間序列及進(jìn)行金融市場(chǎng)管理與預(yù)測(cè)的濃厚興趣早在 2O世紀(jì) 6O年代 ，分形的創(chuàng)始人 Mandelbrot就發(fā)現(xiàn)棉花的股票價(jià)格收益率分布具有統(tǒng)計(jì) 白相似性，并且可用特征指數(shù)為 (O，2)的 L6vy穩(wěn)定分布加以描述但此時(shí)收益方差不存在，這一直使 經(jīng)濟(jì)學(xué)家感到困惑應(yīng)用經(jīng)典的 RS分析，Mandelbrot及 Gre

3、enz婦等人發(fā)現(xiàn)股票收益序列 自相關(guān)具有長(zhǎng)期記憶性1991年 Lo提出修正的 RS分析，并將其用于美 國(guó)股票收益序列，發(fā)現(xiàn)證券的長(zhǎng)期記憶性并不顯著，因而得出在大多數(shù)場(chǎng)合金融市場(chǎng)并不存在長(zhǎng)期記憶性。在 1999年，Willinger糾等人發(fā)現(xiàn)修正的 RS分析低估了金融時(shí)間序列存在長(zhǎng)期記憶性的可能，因而用修正的 RS分析進(jìn)行判斷并不可靠1994年 ，Peter。系統(tǒng)的研究了美國(guó)證券市場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)證券收益具有長(zhǎng)期記憶性，并提出用分形市場(chǎng)分析代替有效市場(chǎng)假設(shè)1995年，Mantegna與StanleyL4發(fā)現(xiàn) S&P500(標(biāo)準(zhǔn)普爾 500家)指數(shù)收益率的分布在中間部分與 L6vy穩(wěn)定分布相吻和，但在尾部

4、完全不同，主要表現(xiàn)為尾部指數(shù) a2為此他們提出用截尾的(trunated) L6vy穩(wěn)定分布來(lái)描述這一現(xiàn)象，現(xiàn)在國(guó)外有大量這方面的研究工作 (參見(jiàn)GopikrishnanL5)在國(guó)內(nèi)戴國(guó)強(qiáng)L6、鄭維英L7、樊智 、林勇Lg等用經(jīng)典 RS分析發(fā)現(xiàn)市深股市指數(shù)收益在不同的時(shí)間標(biāo)度下具有長(zhǎng)期記憶性陳夢(mèng)根1叩基于修正的 RS分析得 出許多股票指數(shù)不存在長(zhǎng)期記憶性本文以上證指數(shù)、深證成指、成分 A指、成分 B指為例，基于經(jīng)典 RS分析得出股票收益具有長(zhǎng)期記憶性 ，因而該股票價(jià)格并不滿足有效市場(chǎng)假設(shè)，由估計(jì)我們得出股票收益的尾部指數(shù) a 2，這 顯然超出了 L6vy穩(wěn) 定分布的范圍，與收稿日期：20040

5、504接收日期：20041101作者簡(jiǎn)介：彭 靜 (1978一)，女，湖北襄樊，碩士，主要從事分形幾何研究維普資訊 580數(shù)學(xué)雜志MantegnaE 等人結(jié)果一致2 RS分析RS分析是由著名的英國(guó)水文學(xué)家 Hurst在 1951年研究尼羅河水位漲落問(wèn)題時(shí)提出的，他發(fā)現(xiàn)大多數(shù)自然現(xiàn)象，包括水位、溫度、降雨、太陽(yáng)黑子等不服從 Brown運(yùn)動(dòng)及 Gauss 分布的特征，而是一種隨機(jī)游走Hurst給出關(guān)系：RS ( ) ， 一。其中，RS分析為重標(biāo)極差，f為常數(shù)， 為觀察次數(shù)，H 是 Hurst指數(shù)nS分析的計(jì)算具體步驟如下：(1)把一列時(shí)間序列 X()，一1，2

6、，N分成 A組，每組 個(gè)數(shù)據(jù)，各組按順序分別取為 ， ， ，每一組中的數(shù)據(jù)分別記為X ()，七一1，2， ， ；一1，2， ，A)；(2)計(jì)算1每組數(shù)的平均值：X 一一1x ；(3)計(jì)算極差：R =max(X缸一x )一min(X缸一xJd)；，f一1(4)計(jì)算樣本方差：S 一 (x 一Xk)；(5)計(jì)算重標(biāo)極差：(Rs) 一4n =1A一去( )；(6)由此，得log(RS)=logf+HlogN3 L6vy穩(wěn)定分布與截尾 L6vy穩(wěn)定分布Mandelbrot(1964)提出棉花的股票價(jià)格的收益率是服從一族 L6vy穩(wěn)定分布，其分布在均值處有尖峰，也有胖尾，在這類(lèi)分布中方差是無(wú)限的，一般來(lái)說(shuō)

7、，很難寫(xiě)出分布的顯式分布函數(shù)，但可以給出特征函數(shù)定義 1 隨機(jī)變量 X是穩(wěn)定的(Stable)，當(dāng)且僅當(dāng)它的特征函數(shù)形如：lexp- I I-iifl(tan-K sign)+雌 口1E(P扭)一l) 。exp- 7I I1+ ( )signin I I+a=1記為 XS。(7，盧， )其 中，a(0o表示左偏，po表示右偏； 是位置參數(shù)(和均值對(duì)應(yīng) )；7是標(biāo)度參數(shù)(廣義的標(biāo)準(zhǔn)差)值得 注意的是，a2時(shí)，穩(wěn)定分布有限絕對(duì)值矩，但沒(méi)有有限 2階矩；當(dāng) a一2，盧一0，y一1， ：1時(shí)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布因?yàn)?L6vy穩(wěn)定分布 的胖尾衰退的比指數(shù)分布衰退的慢，又有無(wú)窮大的方差，然而實(shí)際情況要求系統(tǒng)

8、有有窮性為了實(shí)現(xiàn)這種事實(shí)，Mantegna與 Stanley介紹 了截尾 L6vy穩(wěn)定 過(guò)程的概念定 義 2 隨機(jī)過(guò)程 X()，一1，2，)是對(duì)稱(chēng) a穩(wěn)定 L6vy過(guò)程如果滿足：(1)X(0)一o，as(2)X()有獨(dú)立增量(3)X()一X(s)S (It-sI，0，0)，口(0，2)事實(shí)上，對(duì)稱(chēng)口_穩(wěn)定 Lavy過(guò)程有 自相似性，因?yàn)?X( )一X(cs) ( It 言，0，0)ieX(ct)一 X(cs)一 i(X()一X(s)其分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：)一ooexp(一 rq口)c。s(qx)dq其 中，a是穩(wěn)定指數(shù)(00)，風(fēng)險(xiǎn)最低時(shí) y一1定義 3 隨機(jī)過(guò)程是截尾 L6vy穩(wěn)定過(guò)程，當(dāng)且

9、僅 當(dāng)分布函數(shù)為：維普資訊 No5彭 靜等 股票收益的分形特征的實(shí)證分析58lf0 z ZT(z)一 【cL(z) 一zzz其中，c是正規(guī)化常數(shù)，z是所截的長(zhǎng)度0 z 一VaRT) 1 a其 中X 表示資產(chǎn)在第起的收益；a表示置信度；VaR 表示時(shí)刻a水平下的 VaR，VaR的取值為正，即取損失的絕對(duì)值需要說(shuō)明的是 a與分布的尾部指數(shù)有一定 的關(guān)系，由此我們可以判斷風(fēng)險(xiǎn)高低，若發(fā)現(xiàn)細(xì)尾，如果用正態(tài)分布進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，此時(shí)會(huì)高估風(fēng)險(xiǎn)；反之，若發(fā)現(xiàn)胖尾，則低估風(fēng)險(xiǎn)例如，對(duì)某項(xiàng) 1O億元的資產(chǎn)組合，根據(jù) 95 的置信度，求得 VaR為 600萬(wàn)元?jiǎng)t由上述定義可得，

10、該資產(chǎn)組合在下一交易日內(nèi)損失 600萬(wàn)元的概率為 5 ，這樣的事件在平均 2O 個(gè)交易日才可能出現(xiàn)一次或者說(shuō)我們有 95 的把握判斷該資產(chǎn)組合在下一個(gè)交易日內(nèi)的損失在 600萬(wàn)元以下5 實(shí)證分析我們選取上證指數(shù)、深證成指、成分 A指、成分 B指 自開(kāi)盤(pán)之 let起到 2003年 4月 4日的數(shù)據(jù)為研究對(duì)象設(shè) X()為該股票的開(kāi)盤(pán)價(jià)，則股票以天為單位的收益率為r()一lnX(t)一lnX(一1)，其中一1，2，尾部指數(shù)是用來(lái)刻畫(huà)極端事件發(fā)生的概率的，相對(duì)高的尾部指數(shù)和相對(duì)低的極端事件相對(duì)應(yīng)，在這里我們用 Hill估計(jì)首先 ，根據(jù)樣本r-，r2，r 定義順序統(tǒng)計(jì)量為r五 ，r ”，r ，r五r r

11、 選取最大的 M，尾部指數(shù)可估計(jì)為IHil=；Mlnr丁一+,-Inr腫一這里的樣本即為股票的收益率，根據(jù)Lux(2000)的建議 M 的值選取不超過(guò) 5 T實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果如以下兩表：表 1 四種股票日數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表6 對(duì)實(shí)證結(jié)果的分析由上表我們知rl的Hurst指數(shù)H丟，因而該股票收益具有長(zhǎng)期記憶性及非線性特征，在傳統(tǒng)的有效市場(chǎng)假設(shè)下，經(jīng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)是一個(gè)鞅過(guò)程，因而市場(chǎng)不具有長(zhǎng)期記憶效應(yīng)，Hurst指數(shù)H丟與分形市場(chǎng)假設(shè)是一致的，而且我們知道在不同的標(biāo)度下的H值并不同，因而就該股票而言并不具有標(biāo)度不變性，其經(jīng)濟(jì)含義短期(以日為標(biāo)度)與中期(以周維普資訊 http:/www.cqvip.co

12、m582數(shù)學(xué)雜志為標(biāo)度)面臨的風(fēng)險(xiǎn)并不相同，應(yīng)采用不同的交易策略中國(guó)證券市場(chǎng)是一個(gè)新興的市場(chǎng)，投資1者還沒(méi)有達(dá)到弱有效市場(chǎng)的理性條件H寺說(shuō)明市場(chǎng)中存在著正反饋交易者(噪聲交易者)厶及“羊群效益”，其特點(diǎn)為投資者對(duì)價(jià)格反應(yīng)過(guò)度，盲目跟風(fēng)，追漲殺跌，導(dǎo)致市場(chǎng)的異常波動(dòng)，同時(shí)莊家利用散戶對(duì)價(jià)格反應(yīng)過(guò)度的特點(diǎn)，人為地制造虛假信息 (如銀廣廈事件)使其淪為莊1家套利的工具H去意味著昨天的價(jià)格會(huì)影響今天的價(jià)格，股票具有一定的可預(yù)測(cè)性厶同時(shí)我們也得到收益率分布顯著異于 L芭vy穩(wěn)定分布當(dāng)分布 為 Lvy穩(wěn)定分布時(shí)已有了一套較為成熟的計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)的方法當(dāng)分布的特征是尖峰胖尾(a2)且 z充分大時(shí) ，P( z) c

13、z(其中 C為常數(shù))需要建立新的估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)的算法，這是我們需進(jìn)一步要做的工作，但是我們知道當(dāng) a(O，1)時(shí)收益的一階矩不存在，此時(shí)證券組合的風(fēng)險(xiǎn)不能分散，若增加證券必然會(huì)升高風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng) a(1，2)時(shí)收益的二階矩不存在，證券組合的風(fēng)險(xiǎn)能分散，若增加證券可以降低證券組合的風(fēng)險(xiǎn)；當(dāng) a2時(shí) ，收益的二階矩存在，即方差有界，并且導(dǎo)致收益突增的小概率事件相對(duì)來(lái)說(shuō)并不重要，此時(shí)證券組合的風(fēng)險(xiǎn)為最低但在粗尾場(chǎng)合 (a2)，這類(lèi)事件極其重要，是不可忽略的例如，如果正式的收益率是 Cauchy分布生成 的(Oa1)，如果用正態(tài)分布計(jì)算所得的 VaR會(huì) 大大低估實(shí)際的 VaR，給投資者 一種虛假的安全感本文以具體

14、的股價(jià)指數(shù)為例研究市場(chǎng)的分形特征，結(jié)果發(fā)現(xiàn)股票收益具有長(zhǎng)期記憶性，收益分布具有尖峰、細(xì)尾等特點(diǎn)，這對(duì)預(yù)測(cè)及管理證券風(fēng)險(xiǎn)有極其重要的理論與現(xiàn)實(shí)意義參考文獻(xiàn)：E1 GreenM，T，F(xiàn)ielitzBDLongterm DependenceinCommonStockReturnsJFinancialEcon，1977，4：33934923 WillihgerW，Taqqu MS，VTeverovskyStock MarketPrices and Long-rangeDependenceJFinance Stochast，1991，3：1133 PetersEEFractalMarketAnalysi

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16、工程理論與實(shí)踐，2003，3：131991 林 勇，郭林軍有效市場(chǎng)假設(shè)與分形市場(chǎng)假設(shè)J預(yù)測(cè)，2002，21(2)：34381O陳夢(mèng)根中國(guó)股市長(zhǎng)期記憶效應(yīng)的實(shí)證研究J經(jīng)濟(jì)研究，2003，3：7078EM PIRICAL ANALYSIS OF FRACTAL CHARACTERITICIN SToCK RETURNPENG Jing(彭 靜)“。，LIU Jianfeng(劉劍鋒 )。，WANG Xiao-tian(王曉天)(1Collegeof Science，Wuhan University of Sci& Technology；Wuhan 430081，China)(2Schoolof M

17、athand Statistics，Wuhan University，Wuhan 430072，China)(3Schoolof Mathand Physics，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China)(4Schoolof Management，TianjinUniversity，Tianjin 300072，China)Abstract：In this paper，we analyzethe fractalcharactetistic ofstock marketby using the specificstock priceIt is found that stock return po