全等三角形中輔助線的添加

1、全等三角形中輔助線的添加一.教學(xué)內(nèi)容：全等三角形的常見輔助線的添加方法、基本圖形的性質(zhì)的掌握及熟練應(yīng)用。二知識(shí)要點(diǎn)：1、添加輔助線的方法和語言表述(1) 作線段：連接；(2) 作平行線：過點(diǎn) 作 Il ;(3) 作垂線(作高)：過點(diǎn)作丄，垂足為；(4) 作中線：取中點(diǎn)，連接；(5) 延長(zhǎng)并截取線段：延長(zhǎng)使等于；(6) 截取等長(zhǎng)線段：在上截取，使等于；(7) 作角平分線：作平分；作角等于已知角；(8) 作一個(gè)角等于已知角：作角等于。2、全等三角形中的基本圖形的構(gòu)造與運(yùn)用常用的輔助線的添加方法：(1) 倍長(zhǎng)中線(或類中線)法：若遇到三角形的中線或類中線(與中點(diǎn)有關(guān)的線段)，通常考慮倍長(zhǎng)中線或 類中

2、線，構(gòu)造全等三角形。(2) 截長(zhǎng)補(bǔ)短法：若遇到證明線段的和差倍分關(guān)系時(shí)，通?？紤]截長(zhǎng)補(bǔ)短法，構(gòu)造全等三角形。截長(zhǎng)：在 較長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條較短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段，然后證明新線段等于較長(zhǎng)線段；或延長(zhǎng)一條較短線段等于較長(zhǎng)線段，然后證 明延長(zhǎng)部分等于另一條較短線段。(3) 一線三等角問題(“ K”字圖、弦圖、三垂圖)：兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊恰好是一個(gè)等腰直角三 角形的直角邊。(4) 角平分線、中垂線法：以角平分線、中垂線為對(duì)稱軸利用”軸對(duì)稱性“構(gòu)造全等三角形。(5) 角含半角、等腰三角形的(繞頂點(diǎn)、繞斜邊中點(diǎn))旋轉(zhuǎn)重合法

3、：用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造三角形全等。(6) 構(gòu)造特殊三角形：主要是 30 、60 、90 、等腰直角三角形(用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造)和等 邊三角形的特殊三角形來構(gòu)造全等三角形。三、基本模型：(1) ABC中AD是BC邊中線方式1： 延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD連接BE方式2:間接倍長(zhǎng)，作 CFAD于F,作BEAD的延長(zhǎng)線于E,連接BE方式3： 延長(zhǎng) MD到N,使DN=MD連接 CD(2)由厶ABE BCD導(dǎo)岀由厶ABE BCD導(dǎo)岀由厶ABE BCD導(dǎo)岀BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD(3) 角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全 角分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)(三線合一)(4)旋轉(zhuǎn)

4、：方法：延長(zhǎng)其中一個(gè)補(bǔ)角的線段(延長(zhǎng)CD到 E,使ED=BM)連AE或延長(zhǎng)CB到 F,使FB=DN，連AF )結(jié)論： MN=BM+DNC CMN 2 AB AM AN分別平分 BMNn DNM翻折：思路：分別將 ABMm ADN以AM和AN為對(duì)稱軸翻折，但一定要證明M P N三點(diǎn)共線.( B+ D=180且AB=AD(5)手拉手模型 厶ABEn ACF均為等邊三角形結(jié)論：(ABF AEC; ( 2) B0E= BAE=60 (“八字型模型證明)；(3) OA平分 EOF拓展：條件： ABCm CDE均為等邊三角形結(jié)論：(1)、AD=BE (2)、/ ACB=/ AOB ( 3)、 PCC為等邊

5、三角形(4)、PQ/ AE ( 5)、AP=BQ (6)、CO平分 AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD ( 7),( 8)需構(gòu)造等邊三角形證明) 厶ABDrn ACE均為等腰直角三角形結(jié)論：(1)、BE=CD (2) BEL CDABEFrn ACHD為正方形當(dāng)以AB AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有:180 1 = 2=360n四、典型例題:考點(diǎn)一：倍長(zhǎng)中線(或類中線)法:核心母題 已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3,貝忡線 AD的取值范圍是 練習(xí)：1、如圖， ABC中，E、F分別在 AB AC上，DEI DF，D是中點(diǎn)，試比較2、 如圖， ABC中，BD=DC=A

6、C E是DC的中點(diǎn)，求證： AD平分 BAE.3、 如圖，CE、CB分別是 ABC與厶ADC的中線，且 ACBN ABC,求證:4、已知：如圖，在正方形 ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD 上，Z FAE= Z BAE.求證：AF=BC+FC .5、如圖，D是AB的中點(diǎn)，Z ACB=90 ,求證：2CD=AB.6、已知在厶ABC中,AB=AC D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線上， DE交BC于F, 且 DF=EIF求證：BD=CE7、已知在厶ABC中,AD是BC邊上的中線， E是AD上一點(diǎn)，且 BE=AC延長(zhǎng) BE交AC于F,求證：AF=EFO8、已知：如圖，在ABC 中，AB AC ,D E

7、在 BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BA交 AE于點(diǎn) F, DF=AC.求證：AE平分 BAC第1題圖結(jié)論：(1)、BDL CF (2)、BD=CF變形一：ABEFrn ACHD勻?yàn)檎叫危珹S丄BC交FD于T,求證：T為FD的中點(diǎn).S ABCS ADF .方法一：方法二：方法三：變形二：ABEFrn ACHD勻?yàn)檎叫?，M為FD的中點(diǎn)，求證：ANLBC9、以ABG的兩邊AB AG為腰分別向外作等腰Rt ABD和等腰Rt AGE , BAD GAE 90 ,連接DE M N分別是BG DEi勺中點(diǎn)探究：AM與 DEi勺位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.,線段AM與 DEl勺數(shù)量關(guān)系(1)如圖 當(dāng)

8、 ABC為直角三角形時(shí)，AMDEi勺位置關(guān)系是(2)將圖中的等腰 Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0 AC,求 證：BE-AC=AE練習(xí)1、 如圖所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn) A的任意一點(diǎn)，試比較PB PC 與AB AC的大小，并說明理由.2、如圖所示： ABC的平分線BF與 ABC中 ACB的相鄰?fù)饨?ACG的平分線CF相交于點(diǎn)F , 過F作DF /I BC,交AB于D,交AC于E.問：3、( 1 )寫岀圖中的等腰三角形并說明理由.4、( 2)若 BD=8cm , DE=3cm,求 CE 的長(zhǎng).3、 在 ABC中，AB 2AC, AD平分 BAC ,

9、E是AD中點(diǎn)，連結(jié) CE ,求證：BD 2CE4、 如圖， ABC 中, ABC=2 C, BE 平分 ABC 交 AC 于 E、ADL BE 于 D,求證：(1) AC-BE=AE ;(2) AC=2BD.5、如圖，在 ABC中，AB AC, E為BC邊的中點(diǎn)，AD為 BAC的平分線，過 E作AD的平行線， 交AB于F,交CA的延長(zhǎng)線于G.6、求證：BF=CG.變式一：如圖，在 ABC中，AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，EF / AD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F ,交AB 于點(diǎn)G ,若BG CF ,求證：AD為 BAC的角平分線.變式二：已知： ABC中，AD是厶ABC的角平分線，M為BC的中

10、點(diǎn)，過點(diǎn) M作MN/ AD,交AC于點(diǎn)N ,求證： AN+AB=NC.變式三：在 ABC中, AD ABC的角平分線.(1)如圖1 ,過C作CE/AD交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若F為CE的中點(diǎn)，連結(jié)AF,求證：AFL AD(2)如圖2 ,M為BC的中點(diǎn)，過M作MN/AD交AC于點(diǎn)N,若AB=4,AC=7,NC的長(zhǎng).如圖，已知 ABC中，AB= AC, Z A= 100, B的平分線交 AC于D,J 求證：AD+ BD= BC如圖，在 ABC中，AD丄BC于D, CD= AB+ BD, Z B的平分線交 AC于點(diǎn)E,平分線上。中， ACB= B, BAC的平分線2),證明：BN=CD)D MHBBO1

11、當(dāng)M是BC中點(diǎn)時(shí)，寫出 請(qǐng)直接寫出8、如圖1，直線I丄AO于H，分別交直線 AB AG BC于點(diǎn)N (1)當(dāng)直線I經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)(OAD圖2CA恰好在BC的垂直D上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C H作E(2)(3)9、如圖所示，在 變式：如圖，已知在10、如圖所示，在OCE和CD之間的等量關(guān)系，并加以證明； BN CE、CD之間的等量關(guān)系.ABC中，Z ABC=3Z C,ABC 中， ABCABC中，AD平分AD是Z BAC的平分線，3 C ,12, BEBAC , AD AB, CMBEAD于 F，AE 求證：AD于M ,求證求證:AC2BE=AC-AB變式一：如圖 1 = 2 , B為AC中點(diǎn)，CML FB于

12、M, ANI FB于N,求證：EF=2BMAB 2BEAB AC 2AM 1 FB=- ( FM+FN2CE ,過點(diǎn)E作變式二：如圖，在 ODC中 D 90, EC是DCO的角平分線，且OEEF OC交OC于點(diǎn)F.猜想：線段EF與OD之間的關(guān)系，并證明.變式三：如圖所示，在 ABC中，ACAB, M為BC的中點(diǎn)，AD是Z BAe的平分線，若 CF AD且交AD的延長(zhǎng)1線于 F,求證：MF=- (AC AB)O2考點(diǎn)五：角含半角、等腰三角形的(繞頂點(diǎn))旋轉(zhuǎn)重合法 核心母題 如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別是 Be CD邊上的點(diǎn)，Z EAF=45,求證：EF=BE+DF.變式一：如圖，E、F

13、分別是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD勺邊Be CD上的點(diǎn)，若厶ECF的周長(zhǎng)是2,求Z EAF的度變式二：如圖，在正方形 ABCD中，E、F分別是Be CD邊上的點(diǎn)，Z EAQ=45 , AHX EF,求證：AH=AB.綜合：在正方形 ABCDK 若 M N分別在邊 BC CD上移動(dòng)，且滿足 MN=BM+ DN求證：.Z MAN=45 .C CMN 2AB .AM AN 分別平分 Z BMN和 Z DNM.練習(xí)1、如圖，在四邊形 ABCD中，AB=BC,Z A=Z C=90,Z B=135, K、N 分別是 AB BC上的點(diǎn)，若 BKN的周長(zhǎng)是AB的2倍，求Z KDN的度數(shù)?2、已知：正方形ABCD中

14、， MAN=45, MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它 的兩邊分別交CB、DC (或它 們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn) M N.當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)(如圖1),易證BM+DN=MN 3、 ( 1 )當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM DN時(shí)(如圖2 ),線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān) 系？寫岀猜想，并加以證明；4、( 2 )當(dāng) MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請(qǐng)直接寫出你的猜想.3、如圖，在四邊形 ABCD中, AB=AD， B+ D=180, E、F 分別是邊 BC CD上的點(diǎn)，且 2 EAF= BAD(1) 求證：EF=BE+FD(2) 如果E、F分

15、別是邊BC CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論是否仍然成立？說明理由。5、 如圖所示，在五邊形 ABCDE中, AB=AE BC+DE=Cp ABC+ AED=180 求證：AD平分 CDE.6、女口圖，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 , ABC= AED=90 , 求 五邊形 ABCDE 的 面積.7、如圖1 .在四邊形 ABCD中.AB=AD, B+ D=180 o , E、F分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，且 BAD=2 EAF.8、( 1 )求證：EF=BE+DF ;9、( 2)在(1 )問中，若將 AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上 時(shí)，如圖2所示，

16、10、試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系.8、如圖，在 ABC 中， ACB=90 , AC=BC, P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 PA=3 , PC=2 , PB=1 .求 BPC的度數(shù)考點(diǎn)六：構(gòu)造特殊三角形核心母題如圖，在厶ABC中，AD交邊BC于點(diǎn) D, BAD=15 , ADC=4 BAD, DC=2BD.(1) 求 B的度數(shù)；(2) 求證： CAD= B.練習(xí)1、 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2 , 0)、B(0 , 4),以AB為斜邊作等腰直角 ABC則點(diǎn)C的坐標(biāo)為？2、 如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，求1+ 2 + 3的度數(shù)和。3、 已知：平面直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)，A (1,0 )、B ( 2 ,1 )、C ( 0,3 ),求/ OCA OCB勺度數(shù).6、已知AD 2 , BP 4 ,以AB為一邊作等邊三角形 ABC使C、D兩點(diǎn)落在直線 AB的兩側(cè).(1)如圖，當(dāng) ADB=60時(shí)，求 AB及CP的長(zhǎng);(2)當(dāng) ADB變化，且其它條件不變時(shí)，求CP的 最大值，及相應(yīng) ADB勺大小.7、已知：PA 2 , PB 4 ,以 AB為一邊作正方形 ABCP,使 P、P兩點(diǎn) 的兩側(cè).(1) 如圖，當(dāng) APB=5時(shí)，求 AB及PP的長(zhǎng)；(2) 當(dāng) APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PP的 最大值，及相