【高考必備】高考技巧大全之高中數(shù)學(xué)黃金解題模板專題27數(shù)列求和方法Word版含解析

1、【高考地位】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點,其涉及的基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想與方法,在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中起著重要作用,因而成為歷年高考久考不衰的熱點題型,在歷年的高考中都占有重要地位。數(shù)列求和的常用方法是我們在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必須掌握的基本方法，是高考的必考熱點之一。此類問題中除了利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式外，大部分數(shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，就近幾年高考數(shù)學(xué)中的幾個例子來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧?！痉椒c評】方法一 公式法解題模板：第一步 結(jié)合所求結(jié)論，尋找已知與未知的關(guān)系； 第二步 根據(jù)已知條件列方程求出未知量； 第三步 利用前項和

2、公式求和結(jié)果例1.設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，已知，為數(shù)列的前n項和，求【評析】直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進行討論常用的數(shù)列求和公式有：等差數(shù)列前項和公式： 等比數(shù)列前項和公式： 自然數(shù)方冪和公式： 【變式演練1】已知an是等差數(shù)列，a1+a2=4，a7+a8=28，則該數(shù)列前10項和s10等于（ ）a.64 b.100 c.110 d.120【答案】b【解析】試題分析：a1+a2=4，a7+a8=28，解方程組可得 考點：等差數(shù)列通項公式及求和方法二 分組法解題模板：第一步 定通項公式：即根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項公式；

3、 第二步 巧拆分：即根據(jù)通項公式特征，將其分解為幾個可以直接求和的數(shù)列； 第三步 分別求和：即分別求出各個數(shù)列的和； 第四步 組合：即把拆分后每個數(shù)列的求和進行組合，可求得原數(shù)列的和.例2. 已知數(shù)列an是321,6221,9231,12241，寫出數(shù)列an的通項公式并求其前n項sn.【變式演練2】在等差數(shù)列中，.設(shè)，則數(shù)列的前100項之和為（ ）a-200 b-100 c.200 d100【答案】d【解析】考點：等差數(shù)列通項，分組求和【方法點睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項和；(2)通項公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列b

4、n，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.【變式演練3】已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）易得，；（2）由（1）知， 試題解析：（1）等比數(shù)列的公比，所以， 設(shè)等差數(shù)列的公差為因為，所以，即 所以 （2）由（1）知，因此從而數(shù)列的前項和考點：1、等差數(shù)列；2、等比數(shù)列方法三 裂項相消法解題模板：第一步 定通項公式：即根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項公式； 第二步 巧裂項：即根據(jù)通項公式特征準確裂項，將其表示為兩項之差的形式； 第三步 消項求和：即把握消項的規(guī)律，準確求和.例3. 已知數(shù)列:, ,若，那么

5、數(shù)列的前項和為（ ）a b c. d【答案】b【解析】考點：數(shù)列的求和.【方法點晴】本題主要考查了數(shù)列的求和問題，其中解答中涉及到等差數(shù)列的前項和公式、數(shù)列的裂項求和的方法的知識點的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題，本題的解答中，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得到，進而得到的通項公式是解答的關(guān)鍵.【變式演練4】已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，a5=5，s5=15，則數(shù)列的前100項和為（ ）a b c d【答案】a【解析】考點：數(shù)列求和。方法四 錯位相減法解題模板：第一步 巧拆分：即根據(jù)通項公式分解為等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的形式； 第二步 確定等差、

6、等比數(shù)列的通項公式； 第三步 構(gòu)差式：即寫出的表達式，然后兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比得到另外一個式子，兩式作差； 第四步 求和：根據(jù)差式的特征準確求和.例4. 已知數(shù)列，滿足，,， . （）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； （）令求數(shù)列的前項和.（）由（）知,， 兩式相減得：，故. 【評注】利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等在應(yīng)用錯位相減法時，注意觀察未合并項的正負號【變式演練5】已知數(shù)列的前項和為，且（）.() 求數(shù)列的通項公式

7、； () 令，求數(shù)列的前項和.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）根據(jù)結(jié)合已知條件等式即可求得數(shù)列的通項公式；（）首先根據(jù)()求得的通項公式，然后利用錯位相減法求解即可.試題解析：()由，當(dāng)時，當(dāng)，則，當(dāng)時，滿足上式，所以考點：1、數(shù)列的通項公式；2、數(shù)列求和.【方法點睛】對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列問題，有時也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列，此法稱為輔助數(shù)列法.常用轉(zhuǎn)化方法：變換法、待定系數(shù)法、加減法、累加法、迭代法等.【變式演練6】已知等差數(shù)列的前項和為，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的公差不為，數(shù)列滿足，求數(shù)

8、列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）由題意可知，利用，成等比數(shù)列，從而可求出數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項公式可通過聯(lián)立方程組求解；（2）可利用錯位相減法對前項和進行處理進而求解.試題解析：（1），即，化簡得或.當(dāng)時，得或，即；當(dāng)時，由，得，即有.（2）由題意可知，-得：，.考點：1.等差數(shù)列的綜合；2.等比數(shù)列的綜合；3.錯位相減法的運用.方法五 倒序相加法例5.設(shè)( )a4 b 5 c 6 d 10【答案】b【解析】考點：倒序相加法求和.【變式演練7】已知函數(shù)（1）求的值；（2）已知數(shù)列,求證數(shù)列是等差數(shù)列；（3）已知，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1) s=. (2)見

9、解析；（3）= 。 (2)由兩邊同減去1,得. 所以,所以,是以2為公差以為首項的等差數(shù)列. 分（3）因為.因為，所以 = （3）= （4）由（3）-（4）得=所以=。 【高考再現(xiàn)】1.【2015高考安徽，理14】已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項和等于 .【答案】【考點定位】1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.等比數(shù)列的前項和公式.【名師點睛】對于等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合考查的問題，要做到：熟練掌握等差或等比數(shù)列的性質(zhì)，尤其是，則（等差數(shù)列），（等比數(shù)列）；注意題目給定的限制條件，如本題中“遞增”，說明；要熟練掌握數(shù)列中相關(guān)的通項公式，前項和公式等.2.【2015高考新課標2，理16】設(shè)是數(shù)列的前n項

10、和，且，則_【答案】【考點定位】等差數(shù)列和遞推關(guān)系【名師點睛】本題考查數(shù)列遞推式和等差數(shù)列通項公式，要搞清楚項與的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為與的遞推式，并根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷是等差數(shù)列，屬于中檔題3.【2015江蘇高考，11】數(shù)列滿足，且（），則數(shù)列的前10項和為 【答案】【考點定位】數(shù)列通項，裂項求和【名師點晴】由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為an1anf(n)或an1f(n)an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項公式，另外，通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項公式，注意：有的問題也可利用構(gòu)造法，即通過對遞推式的等價變形，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列求通項數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯位相減法，

11、裂項相消法，分組求和法，并項求和法等，可根據(jù)通項特點進行選用.4.【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知【考點定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞推公式作等價變形，即可得到，再結(jié)合已知條件即可得證，第二小問具有較強的技巧性，首先根據(jù)遞推公式將轉(zhuǎn)化為只與有關(guān)的表達式，再結(jié)合已知條件得到的取值范圍即可得證，此次數(shù)列自2008年之后作為解答

12、題壓軸題重出江湖，算是一個不大不小的冷門（之前浙江各地的?？冀獯痤}壓軸題基本都是以二次函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題），由于數(shù)列綜合題常與不等式，函數(shù)的最值，歸納猜想，分類討論等數(shù)學(xué)思想相結(jié)合，技巧性比較強，需要平時一定量的訓(xùn)練與積累，在后續(xù)復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.5.【2015高考山東，理18】設(shè)數(shù)列的前n項和為.已知. （i）求的通項公式； （ii）若數(shù)列滿足，求的前n項和.【答案】（i）; （ii）.所以 當(dāng) 時， 所以兩式相減，得 所以經(jīng)檢驗， 時也適合，綜上可得： 【考點定位】1、數(shù)列前項和 與通項 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題.【名師點睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運算，意在考查學(xué)生的邏輯思維

13、能力與運算求解能力，思維的嚴密性和運算的準確性，在利用與通項的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運算能力提出了較高的要求. 6.【2015高考天津，理18】已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.(i)求的值和的通項公式；(ii)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(i) ; (ii) .(ii) 由(i)得，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，兩式相減得，整理得 所以數(shù)列的前項和為.【考點定位】等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項和公式、錯位相減法求和.【名師點睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列定義與性質(zhì)，求和公式以及錯位相減法求和的問題，通過等差數(shù)列定義、等比數(shù)列性質(zhì)，分為奇偶數(shù)討論求通項公式，并

14、用錯位相減法基本思想求和.是中檔題.7.【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）記數(shù)列的前n項和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因為，所以.于是，使成立的n的最小值為10.【考點定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項公式與前n項和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.【名師點睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬

15、容易題，考生應(yīng)立足得滿分. 8.【2015高考湖北，理18】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項和為，等比數(shù)列的公比為已知，（）求數(shù)列，的通項公式；（）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和 【答案】（）或；（）. -可得，故. 【考點定位】等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前項和.【名師點睛】錯位相減法適合于一個由等差數(shù)列及一個等比數(shù)列對應(yīng)項之積組成的數(shù)列考生在解決這類問題時，都知道利用錯位相減法求解，也都能寫出此題的解題過程，但由于步驟繁瑣、計算量大導(dǎo)致了漏項或添項以及符號出錯等兩邊乘公比后，對應(yīng)項的冪指數(shù)會發(fā)生變化，應(yīng)將相同冪指數(shù)的項對齊，這樣有一個式子前面空出一項，另外一個式子后面就會多了一項，兩

16、項相減，除第一項和最后一項外，剩下的項是一個等比數(shù)列9.【2015高考新課標1，理17】為數(shù)列的前項和.已知0，=.（）求的通項公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項和.【答案】（）（）所以=；（）由（）知，=，所以數(shù)列前n項和為= =.【考點定位】數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法【名師點睛】已知數(shù)列前n項和與第n項關(guān)系，求數(shù)列通項公式，常用將所給條件化為關(guān)于前n項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式.10.【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足， (1) 求

17、的值； (2) 求數(shù)列前項和； (3) 令，證明：數(shù)列的前項和滿足【答案】（1）；（2）；（3）見解析（3）依題由知，【考點定位】前項和關(guān)系求項值及通項公式，等比數(shù)列前項和，不等式放縮【名師點睛】本題主要考查前項和關(guān)系求項值及通項公式，等比數(shù)列前項和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應(yīng)能求得，并由得到，再用構(gòu)造函數(shù)（）結(jié)合不等（）放縮方法或用數(shù)學(xué)歸納法證明【反饋練習(xí)】1【2016-2017年河南西平縣高級中學(xué)高二十月月考數(shù)學(xué)試卷，文5】數(shù)列的前項和為，若，則等于（ ）a b c d【答案】b【解析】考點：數(shù)列的

18、求和.2.【2017屆河北武邑中學(xué)高三文上期中數(shù)學(xué)試卷，文18】已知數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有成立（1）記，求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）【解析】（2），所以考點：等比數(shù)列裂項相消求和等有關(guān)知識的綜合運用3. 【2017屆海南省海南中學(xué)高三上月考三數(shù)學(xué)試卷，文18】設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知=24，=0.（）求數(shù)列的前n項和；（）設(shè)，求數(shù)列前n項和的最大值.【答案】（i）；（ii）.【解析】試題分析：（i）根據(jù)已知條件求得，再求等差數(shù)列前項和；（ii）先求，并判斷為等差數(shù)列，再求和及最值.試題解析：（i）依題意有，解之得，考點：等差數(shù)列的判定及前項

19、和.4. 【2017屆湖南長沙長郡中學(xué)高三上第三次月考模擬文數(shù)試卷，文19】設(shè)為各項不相等的等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，求的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：(1)由等差數(shù)列的基本量計算,可以得通項公式；(2)由裂項相消法求出前項和,代入,成為關(guān)于的函數(shù)形式,用基本不等式放縮求出最值.試題解析：解：（1）設(shè)的公差為，則由題意知解得（舍去）或，. （2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”成立，即當(dāng)時，取得最大值.考點：1.等差數(shù)列；2.裂項相消求和；3.基本不等式.5. 【2016-2017學(xué)年河南鄭州一中網(wǎng)校高二上期中聯(lián)考卷，理21】已知等差數(shù)列

20、中，公差；數(shù)列中，為其前項和，滿足（1）記，求數(shù)列的前項和；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)數(shù)列滿足數(shù)列的前項積，若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的最大值【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）最大值為【解析】試題解析：（1），3分（2），時， ，符合上式，故數(shù)列是等比數(shù)列7分考點：數(shù)列的綜合應(yīng)用6. 【2016-2017學(xué)年遼寧鞍山一中高二上期中考試文數(shù)卷，文16】設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且 （1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1）利用數(shù)列的與的關(guān)系，即可求解數(shù)列的通項公式，再利用等比數(shù)列的通項公式，求解數(shù)列的通項公式；（2）由（

21、1）知，即可利用乘公比錯位相減法求解數(shù)列的和試題解析：（1）時，當(dāng)時，設(shè)公比為，；（2）由錯位相減得（略解）考點：數(shù)列的通項公式；數(shù)列的求和7. 【2017屆福建連城縣三中高三理上期中數(shù)學(xué)試卷，理21】已知數(shù)列的前項和和通項滿足（是常數(shù)且，）.（i）求數(shù)列的通項公式；（）當(dāng)時，試證明； （）設(shè)函數(shù)，是否存在正整數(shù)，使對都成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(i)；(ii)證明見解析；(iii)存在，.【解析】當(dāng)時， 數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列， （）由（）知當(dāng)時，即 （*）對都成立 是正整數(shù)，的值為1,2,3.使對都成立的正整數(shù)存在，其值為：1,2,3. 考點：數(shù)列的前項和

22、與通項的關(guān)系及裂項法放縮法等有關(guān)知識的綜合運用.8. 【2016-2017學(xué)年河北冀州中學(xué)高二上期中考試數(shù)學(xué)卷，文17】已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知列出關(guān)于首項和公比的方程組，解出首項和公比的值即可求得的通項公式；（2）由（1）可知，分三組分別求和即可.試題解析：（1）設(shè)公比為，則，由已知有，化簡得又，故，所以考點：1、等比數(shù)列的通項及求和公式；2、“分組求和”的應(yīng)用.9. 【2016-2017學(xué)年河北冀州中學(xué)高二理上期中考試數(shù)學(xué)卷，理19】已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，（1）求的通項

23、公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知列出關(guān)于首項和公比的方程組，解出首項和公比的值即可求得的通項公式；（2）由（1）可知，分三組分別求和即可.（2）由（1）可知，因此考點：1、等比數(shù)列的通項及求和公式；2、 “分組求和”的應(yīng)用.10. 【2016-2017學(xué)年廣東湛江一中高二上大考一數(shù)學(xué)（理）試卷，理19】已知數(shù)列的前項和是,.（i）求數(shù)列的通項公式；（ii）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；（iii）若數(shù)列滿足（為非零常數(shù)），確定的取值范圍,使時，都有.【答案】（i）；（ii）；（iii）且【解析】試題分析：（i）由當(dāng)=1時，得到，當(dāng)時，即可求解數(shù)

24、列的通項公式；（ii）由（i）得，利用乘公比錯位相減法，即可求解數(shù)列的前項和；（iii）由（i）得，根據(jù)，整理得，即分為奇數(shù)和偶數(shù)，分類討論，即可確定實數(shù)的取值范圍試題解析：（i）當(dāng)=1時， 當(dāng)時，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列 。（iii） 即即即即 即 當(dāng)為偶數(shù)時 當(dāng)為奇數(shù)時 即 又 且 考點：數(shù)列求和；數(shù)列與不等式的綜合問題11. 【2016-2017學(xué)年遼寧大連第二十高級中學(xué)高二10月月考數(shù)學(xué)試卷，理16】已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為且，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】（2）由（1）可知，又，所以.又數(shù)列是公比為正數(shù)等比數(shù)列，所以，又，所以所以數(shù)列的前項和考點：數(shù)列求通項公式及等比數(shù)列求和12. 【2016-2017年河南西平縣高級中學(xué)高二文十月月考數(shù)學(xué)試卷，文16】設(shè)數(shù)列的前項和為，若對于任意的正整數(shù)都有.（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答