法向量解立體幾何大題類型大題15頁(yè)

1、1. （2008福建18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面 ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC AD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大小；（）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（）證明 在PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.()解 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得

2、A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos，()解 假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=-或y=(舍去)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).2 （2007福建理18）如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)。（）求證：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大??；（）求點(diǎn)C到平面A1BD的距離；（）證明 取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，

3、在正三棱柱中，平面平面，平面取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，xzABCDOFy，平面（）解 設(shè)平面的法向量為，令得為平面的一個(gè)法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）解 由（），為平面法向量，點(diǎn)到平面的距離3.（2006廣東卷）如圖所示，AF、DE分別是O、O1的直徑.AD與兩圓所在的平面均垂直，AD8,BC是O的直徑，ABAC6，OE/AD.()求二面角BADF的大小；()求直線BD與EF所成的角.解 ()AD與兩圓所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BAD

4、F的大小為450.()以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，0）所以，.設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則直線BD與EF所成的角為4（2005江西）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).（1）證明：D1EA1D；（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；（3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x, y, z軸，建 立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，

5、0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）（1）證明 （2）解 因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為（3）解 設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時(shí)，二面角D1ECD的大小為.5. (陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考)如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M為BC的中點(diǎn)()證明：AMPM ；()求二面角PAMD的大??；zyxMPDCB()求點(diǎn)D到平面AMP的距離。() 證明 以

6、D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,依題意，可得 即,AMPM . ()解 設(shè)，且平面PAM，則 即 ， 取，得 取，顯然平面ABCD， 結(jié)合圖形可知，二面角PAMD為45； () 設(shè)點(diǎn)D到平面PAM的距離為，由()可知與平面PAM垂直，則=即點(diǎn)D到平面PAM的距離為 6.(廈門市第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校20082009學(xué)年高三數(shù)學(xué)第四次月考)已知點(diǎn)H在正方體的對(duì)角線上，HDA=ABCDxyzH（）求DH與所成角的大小；（）求DH與平面所成角的大小解：以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)則，連結(jié)，設(shè)，由已知，由可得解得，所以（）因?yàn)?，所以即DH與所成的角為（）平

7、面的一個(gè)法向量是因?yàn)椋?所以可得DH與平面所成的角為ACDOBEyzx7.(廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考)如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（1）求證：平面BCD；（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)E到平面ACD的距離 證明 連結(jié)OC， 在中，由已知可得 而， ACDOBEyzx即 平面 (2)解 以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， 異面直線AB與CD所成角的余弦值為解 設(shè)平面ACD的法向量為則，令得是平面ACD的一個(gè)法向量又點(diǎn)E到平面ACD的距離ABCDEF8.(廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，已知平面，平面，

8、為等邊三角形，為的中點(diǎn).(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；(3) 求直線和平面所成角的正弦值.設(shè)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則.為的中點(diǎn)，. (1) 證明 ， ，平面，平面. (2) 證明 ， ，. 平面，又平面，平面平面. (3) 解 設(shè)平面的法向量為，由可得： ，取. 又，設(shè)和平面所成的角為，則 .直線和平面所成角的正弦值為. 9. (安徽省皖南八校2008屆高三第一次聯(lián)考)已知斜三棱柱，在底面上的射影恰為的中點(diǎn)，又知。（I）求證：平面；（II）求到平面的距離；（III）求二面角的大小。（I）證明 如圖，取的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，又平面，以為軸建立空間坐標(biāo)系，則，由，知，又，從而平面

9、；（II）解 由，得。設(shè)平面的法向量為，所以，設(shè)，則所以點(diǎn)到平面的距離。（III）解 再設(shè)平面的法向量為，所以，設(shè)，則，故，根據(jù)法向量的方向，可知二面角的大小為。10. ( 四川省成都市2008一診) 如圖，四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，PAABBC2，E為PA的中點(diǎn)，過(guò)E作平行于底面的平面EFGH，分別與另外三條側(cè)棱相交于點(diǎn)F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，ADBC，ABAD，BCD=135.（1） 求異面直線AF與BG所成的角的大??；（2） 求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小.解 由題意可知：AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz由平面幾何知識(shí)

10、知：AD4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1) (1)(1,0,1),(1,1,1)0，AF與BG所成角為 . (2) 可證明AD平面APB，平面APB的法向量為n(0,1,0)設(shè)平面CPD的法向量為m(1，y，z)由 故m(1,1,2)cos平面APB與平面CPD所成的銳二面角的大小為arccos.11. (安徽省淮南市2008屆高三第一次模擬考試)如圖，正三棱柱ABC的底面邊長(zhǎng)是2，D是側(cè)棱C的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面所成的角為45.( 1

11、)求二面角A-BD-C的大?。唬?）求點(diǎn)C到平面ABD的距離.解 （1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)為平面的法向量由 得取 又平面的一個(gè)法向量 結(jié)合圖形可知，二面角的大小為 （）由（）知DA1D1C1B1E1BACPO點(diǎn)到平面的距離11. (北京市東城區(qū)2008年高三綜合練習(xí)二)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAB平面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PAB等邊三角形. （1）求二面角BACP的大?。唬?）求點(diǎn)A到平面PCD的距離.解 （1）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A（1，0，0），B（1，0，0），則P（0，0，），C（1，2，0）設(shè)為平面PAC的一個(gè)法向量，則又令z=

12、1，得得又是平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)二面角BACP的大小為，則（2）設(shè)為平面PCD的一個(gè)法向量.則 由D（1，2，0），可知），可得a=0，令，則c=2.得，設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，則點(diǎn)A到平面PCD的距離為12. (北京市十一學(xué)校2008屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題)如圖，在正四棱錐中，,點(diǎn)在棱上 ()問(wèn)點(diǎn)在何處時(shí)，并加以證明；()當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到平面的距離；()求二面角的大小.解 ()當(dāng)E為PC中點(diǎn)時(shí)，連接AC，且，由于四邊形ABCD為正方形，O為AC的中點(diǎn)，又E為中點(diǎn)，OE為ACP的中位線，又，.()作,依題意是正方形的中心,如圖建立空間坐標(biāo)系.則, , ， ， ，設(shè)面的法向量為 , 點(diǎn)到平面的

13、距離為. ()設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為. 設(shè)平面的法向量為, . 13. (北京市西城區(qū)2008年4月高三抽樣測(cè)試)如圖，在三棱錐中，平面平面. （）求證：； （）求二面角的大?。唬ǎ┣螽惷嬷本€和所成角的大小. 作于點(diǎn)， 平面平面，平面.過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn).如圖，以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 . . .，. （）證明 . 又. （）解 作于點(diǎn)，連結(jié).平面， 根據(jù)三垂線定理得 ，是二面角的平面角. 在中， ， 從而， 即二面角的大小是. （）解，EO1OD1C1B1DCBAA1 異面直線和所成角的大小為arccos.14.(廣東地區(qū)2008年01月份期末試題) 如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高為3，底面是邊長(zhǎng)為4且DAB=60的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中點(diǎn).（1）求二面角O1BCD的大小；（2）求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.解 (1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（如圖）底面ABCD是邊長(zhǎng)為4，