小學數(shù)學教師業(yè)務學習材料11個內(nèi)容

1、小學數(shù)學教師業(yè)務學習材料聚焦小學數(shù)學系列一：小學數(shù)學要注重長遠與長效 從整體上把握小學數(shù)學，著眼點很多。要想理出頭緒、抓住重點，“放眼長遠、注重長效”最重要。放眼長遠是核心長遠是就目標而言。無論一個人長大以后在不在數(shù)學領(lǐng)域內(nèi)學習或工作，通過數(shù)學學習習得的解決問題策略、思維方式、思想方法及運用工具的能力都將發(fā)揮重要作用。小學數(shù)學課程雖然與高考、就業(yè)一類的目標相距尚遠，但卻是整個基礎(chǔ)教育數(shù)學課程最重要的部分。因此，小學數(shù)學教育應當具有立足長遠、放眼長遠的功能。然而，現(xiàn)實情況不容樂觀。應試教育的負面作用揮之不去，以缺少節(jié)制的“又對、又快、又準”為標志的評價體系，仍在壓抑著學生本應生機勃勃的活力。數(shù)學

2、多半只在考試中露崢嶸，生活里看不到，工作中用不上，一旦不用考了便會就此再見。這樣的數(shù)學談何長遠？毫無疑問，數(shù)學大有用場。但數(shù)學教育有沒有長遠眼光將取決于：我們是不是為孩子提供了培育興趣、應用、應變、自信、求實、責任、想象和創(chuàng)造的環(huán)境。我們是不是擺脫了題型教育、考試教育的束縛，是不是給過孩子自己足夠的空間，讓他們能夠獨立地去想一想、試一試，而不是完全按照老師的理解，或是書本上的某個模式去照抄照搬。這些都關(guān)乎學生“終身學習的愿望和能力”。數(shù)學教育是數(shù)學的教育，離不開作為科學的數(shù)學。不少前輩一再強調(diào)，學數(shù)學就要坐得住冷板凳，就要經(jīng)得起枯燥和抽象的考驗。這對專業(yè)數(shù)學工作者毋庸置疑，但將這樣的主張貫之于

3、小學則基本是謬誤。板著面孔、與枯燥寂寞相伴的數(shù)學難以走進孩子的心靈。注重長效是關(guān)鍵小學數(shù)學的長遠目標能否落實，關(guān)鍵是要為長效提供支撐。有效教學是小學數(shù)學教育研究特別熱衷的課題。有效教學指教學的結(jié)果與預期的教學目標匹配程度高。需要注意的是，“有效”有長、短之分。簡單地說，管長遠、能一生受用的效果就是長效；管眼前、管特殊技能形成的就是短效。依時間考量，長效要長期積累，難于一蹴而就；短效可立竿見影，易在一節(jié)課內(nèi)形成。同時，眼前和長遠相互依托，缺一不可。那短效與長效之間的關(guān)系是怎樣的呢？一方面，沒有一次次短效的磨煉和積累，長效難以形成；另一方面，某些需要通過高強度、高密度訓練才能記住并掌握的定義、定理

4、、公式、算法，注定在人們心里留存的時間不會太久。白天學過的內(nèi)容，晚上沒帶書可能就想不起來。然而，探索、發(fā)現(xiàn)這些定義、定理、公式和算法的過程中形成的積淀，運用這些定義、定理、公式和算法解決實際問題的經(jīng)驗和體會倒可能會長遠留存。這樣的經(jīng)歷多了，積累也就多了，不經(jīng)意間，往往形成了一些相對穩(wěn)定的與數(shù)學有關(guān)的見解，或者說是思路。這些都能長久地駐留在學生心中，并能在一生的學習、生活和職業(yè)生涯中派上用場，成為個人發(fā)展的重要支撐點。因此，漠視“探索發(fā)現(xiàn)那些定義、定理、公式和算法的過程”的數(shù)學教學，收獲的多半是短效，而得來得快、忘得也快的教學大體上是無效的。因此，短效雖然易得，但長效更是關(guān)鍵，短效要為長效服務，

5、要以長效為目標。一方面把“過程與方法”、“情感、態(tài)度與價值觀”實實在在地納入有效教學的視野。同時，對以密集型、機械性、速率式、硬指標為特征的教學策略要有個清醒的認識。練就注重長效的“獨門功夫”舉“測量”為例。當學生認識了角之后，面對形形色色、五花八門的角，比較大小的問題隨之浮出水面，測量成為定量認識角的主題，包括單位和實測兩層含義。一是“單位”，也就是大家都認可的度量單位。小學階段“單位”的重心在理解和具體感受單位的實際意義，像掂一掂500克一袋的鹽、摸一摸0.4平方米的桌面有多大，量量自己有多高，等等。這些看上去沒什么“數(shù)學味兒”的舉動，都是感受和理解單位時不可或缺的嘗試。更重要的是，單位本

6、身是規(guī)定的結(jié)果。公度的必要性和規(guī)定性源自人類通過不同途徑，長期摸索之后形成的共識，是人類的共同語言。對學生來說，這里有很大的討論、活動和探索空間。在教學上下點功夫，能幫助學生認識單位的標準作用和平臺作用，懂得個別和一般的關(guān)系，知道如何在估計與精確之間作出選擇，逐步認識到數(shù)學為什么需要抽象，等等，而這些都有助于學生接近和發(fā)現(xiàn)數(shù)學的本質(zhì)，都與長效聯(lián)系在一起。二是“量”，即如何實測的問題。教學的重心應當從學生自己的經(jīng)驗出發(fā)，從“真刀真槍”的問題開始，通過鼓勵學生使用自創(chuàng)的工具和單位，逐步導向規(guī)范的工具和單位，引導學生多角度摸索測量的方法，逐步從不那么正規(guī)的測量單位和方法一步步接近直至能夠達到科學的測

7、量。測量課應當是用一連串的“為什么”串起來的“發(fā)現(xiàn)”課，每個結(jié)論的得出都應當伴隨著學生自己的發(fā)現(xiàn)、歸納與整理。學生不僅要知道如何量，還要知道量的方法從哪里來，知道書本上的測量對象和生活中的測量對象的關(guān)系，知道測量的意義。如果小學階段僅僅把測量處理成照本宣科的技能教學，只是采取多快好省、照抄照搬、紙上談兵的方式灌輸和訓練，就可能浪費了這一題材的教育價值。如果因為測量不是考試中的重頭戲而在教學上敷衍了事，結(jié)果就更可怕。學生對數(shù)學越來越明顯地敬而遠之，學習數(shù)學的目的越來越趨于實際，多半與此有關(guān)。小學階段的測量，不是單純的技能培養(yǎng)與訓練，而是一塊為學生探索與發(fā)現(xiàn)準備的沃土。它提供給學生通過自己的眼和手

8、去發(fā)現(xiàn)與認識世界的機會，它能自然地溝通過程與結(jié)果之間的聯(lián)系，能把學生探索的目光從書本、教室引向生活、社會，能為學生提供實實在在的動手機會，讓他們“真刀真槍”地解決幾個真正的問題。不僅是測量，小學數(shù)學課程中的許多技能，多半會隨著兒童的成長淡淡隱去，而伴隨著一連串“為什么”發(fā)現(xiàn)的規(guī)律、道理和方法倒有可能長久留存，成為伴隨學生一生的本領(lǐng)。放眼長遠、注重長效能否在教學中得到體現(xiàn)，關(guān)系到新課程推進的質(zhì)量。當前數(shù)學教學中哪些是要改的，哪些是值得留的，哪些是該適可而止的，哪些是該著力推進的，這一切都將建基于教師的見識和視野，決定著新課程的主張能否踐行。原文載中國教育報2009年2月13日第5版聚焦小學數(shù)學系

9、列二：別讓數(shù)學教學淪為解題教學 實際教學中，數(shù)學教學目標常常被簡單地理解為數(shù)學知識的掌握。以知識掌握的數(shù)量和牢固程度作為唯一標準的教學評價，引導著師生對知識的單一追求。為了便于學生理解和接受，抽象、嚴謹且具有廣泛應用性的數(shù)學知識經(jīng)常被教師們分解為一道道數(shù)學題，解題成了數(shù)學教學活動的重要組成部分，引導學生解題成了數(shù)學教學的一種重要形式和手段。理論上，所有人都知道數(shù)學的教學目標是多元的，遠不只是掌握知識和解題那么簡單。然而，具體到教學一線，教師們總希望能抓住一些有形的、易于測量的東西來操作。于是，解題成了一線教師教學評價的抓手。的確，面對一道數(shù)學題，學生能否調(diào)用相關(guān)的數(shù)學知識來解決，可以折射出學生

10、相關(guān)數(shù)學知識的掌握情況。學生能靈活調(diào)用數(shù)學知識來解決相關(guān)的問題，也表現(xiàn)為數(shù)學能力。于是，解題就成了教師衡量學生學習水平的重要標尺，學校也通過編寫試卷，讓學生解答批量的數(shù)學題來呈現(xiàn)學生的學習狀況，了解、檢驗教師的教學。說到底，還是評價的導向在起決定作用。如果高考的影響力及其指揮棒的作用、考試評價的方式一天不改變，教師和學生們追逐成績、把解題能力當作數(shù)學教學最高目標的現(xiàn)狀也將很難改變。華羅庚說過：“學數(shù)學不做題目，等于入寶山而空返?！边@說明，數(shù)學教學離不開解題，但是解題只能作為數(shù)學學習的重要途徑，而不是數(shù)學學習活動的全部。數(shù)學教學對解題的依存關(guān)系表現(xiàn)為：數(shù)學學習過程需要解題這一重要的手段。解題作為

11、數(shù)學學習過程的重要手段，其作用可以歸結(jié)為以下幾點：首先，解題過程引導學生邏輯思考。許多數(shù)學知識之間的關(guān)系非常嚴謹，知識的起源、認識、理解和掌握蘊含著嚴謹?shù)耐评?、推斷過程。這一過程往往是通過解決一個個數(shù)學問題來完成的。數(shù)學解題過程是若干數(shù)學知識的綜合調(diào)用和一系列邏輯推理的組合，是一項重要的數(shù)學思維活動。所以數(shù)學解題過程成了數(shù)學學習活動的重要組成，成了一次次邏輯推證的過程。其次，解題是引導學生有步驟地走進數(shù)學的過程。數(shù)學知識本身是一個邏輯鏈，數(shù)學知識被分解為一系列相關(guān)聯(lián)的問題，數(shù)學教學就是通過這些問題串，以舊引新，層層深入，引導學生逐漸走進數(shù)學的內(nèi)核。再其次，數(shù)學問題直接挑戰(zhàn)學生的智慧。數(shù)學知識以

12、問題的形式呈現(xiàn)，在解題過程中學生首先要直面問題，有價值的數(shù)學問題能很好地挑戰(zhàn)學生的智慧、激活學生的思維，更大限度地激發(fā)學生的創(chuàng)造潛能。解題不能準確地反映學生的全部學習狀況。解題的過程受各種因素的影響，學生在解題過程中的表現(xiàn)也可能是片面的，只能反映學生數(shù)學學習的部分情況。人們對知識調(diào)用的速度和思維的靈活度與心情好壞、注意力集中程度等都有密切的關(guān)系。解題也會受題目質(zhì)量的影響，如問題的呈現(xiàn)方式、表達習慣、定位的明顯程度。個人的經(jīng)驗和成長歷程以及對問題及其情境的熟悉程度，也決定個人對問題的適應性和感受性。許多老師要求學生“多做題”，認為多做題目就增長了見識。正是這種“一回生，二回熟”的信念，造成了對解

13、題結(jié)果的過分追求，對提高解題能力手段的過度研究，使得解題成了操練的工具，解題也因此失去了呈現(xiàn)學生真實學習水平的意義。準確把握數(shù)學教學的目標與價值。數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。學習數(shù)學的重要目的是接受數(shù)學思想、數(shù)學精神的熏陶，提高自身的思維品質(zhì)和科學素養(yǎng)。這需要每一位教師準確地把握數(shù)學教學的目標與價值，讓數(shù)學課堂教學成為學習者思維活動交流的過程。充分發(fā)揮解題教學在數(shù)學教學中的功能。要想讓數(shù)學教學不淪為解題的教學，就要幫助教師正確定位解題在數(shù)學教學中的意義和作用。一是要選擇有教學價值的典型問題。二是要把問題的教學價值發(fā)

14、揮到極致。充分挖掘問題的教學價值，適當安排時機發(fā)揮題目資源的效用，盡可能一題多用。三是在評價解題時，把通法（一般的普通方法）放在第一位，不一味追求速度或技巧。四是要關(guān)注解題過程反饋的價值信息。在關(guān)注解題結(jié)果的同時，考慮給過程分，關(guān)注解題過程中的各種表現(xiàn)，收集有效信息，幫助診斷教學，發(fā)現(xiàn)、利用有價值的教學資源。一方面引導學生重視解題過程，另一方面提醒教師從過程中收獲信息的教學價值更甚于結(jié)果。教師應允許學生采用不同的思路，鼓勵學生大膽發(fā)表見解，教師在理解的基礎(chǔ)上應尊重各種合理的解題思路，并給出中肯的評價。五是要重視解題后的反思。解題過程中的試誤過程和成功經(jīng)驗都值得反思?；仡欁约喝绾谓?jīng)歷“山窮水盡疑

15、無路”，又如何達到“柳暗花明又一村”的境地，分析解題過程給帶來的認識上的得與失。這些收獲不亞于題目本身帶給我們的價值。在數(shù)學學習中，我們既要扎扎實實地學好數(shù)學知識和技能，又要牢固地掌握數(shù)學思想和方法，而且要能靈活應用數(shù)學知識和技能解決實際問題。學習數(shù)學需要解題，但不取決于解題的多少，而在于解題前的分析、探索和解題后的反思。我們要讓學生要成為解題的主人，要從解題中吸取解題的方法、思想，鍛煉思維。中國教育報2009年2月13日第6版聚焦小學數(shù)學系列三：什么是真正“用教材教”“用教材教”時下已成為教師們經(jīng)常掛在嘴邊的一句話?！敖探滩摹迸c“用教材教”在語意上并無多大差別，但“用教材教”反映了教材觀的轉(zhuǎn)

16、變，即視教材為主要的課程資源、教學線索，激活了教師的專業(yè)自主性，讓教師以教材開發(fā)者的姿態(tài)，將個人特質(zhì)、教學經(jīng)驗、教學才能融入到對教材的加工、改造之中。歷史地看，過去我們也反對照本宣科，追求用活教材，現(xiàn)在提倡“用教材教”，似乎是舊話重提，但其中的必要性卻不容小視。社會與教育的發(fā)展在為教學提供新條件的同時，也對教學提出了更高的要求。要求教學更加關(guān)注學生的個性發(fā)展，要求教材多樣化，要求教學手段不再只是一張嘴巴、一支粉筆。因此，傳統(tǒng)的話題勢必會在新的歷史條件下，尋求新的詮釋與表達。目前，有種觀點認為，“教教材”與“用教材教”是教師教學水平提高的兩個階段。論據(jù)一是目前尚有不少教師的教學連忠實執(zhí)行教材還沒

17、做到，論據(jù)二是“教教材”要作為“用教材教”的基礎(chǔ)。這樣的看法有一定的道理。但需要明確的是，它只是舉出了特定背景下的真實個案，不能據(jù)此認為它就概括出了教師提升教學水平的一般規(guī)律。同時，我們也確實應當先深入教材，再跳出教材，否則難免會出現(xiàn)對教材的誤讀和背離。事實上，要有效地用教材教，除了正確理解、準確把握教材之外，還必須深入分析學生的學習特點，了解他們的真實情況。教材再好，通常也只能根據(jù)一般情況為教與學提供一個思路和一種設計方案，不可能完全適應每個學校、每個班級、每個學生的具體情況。用教材教，要求教師具備解讀教材、解讀學生的智慧。解讀教材、解讀學生與加工教材，都可以在備課過程中，即在課前一次完成，

18、實際的備課過程，也常常是將三者結(jié)合起來進行的。不能因為它們需要分別展開研究，就聽任目前的教學停留在“教教材”的水平上。同時，對三者的鉆研應該是教師永無止境的追求，都有待深化，需要經(jīng)驗的逐漸累積，不必人為地限定先熟悉教材、教教材，再加工教材、用教材教這樣的階段。任何時候，調(diào)整、加工教材都是教師的權(quán)利，也是教師備課的內(nèi)容之一。如何“用教材教”？需要探討和解決的問題很多。這里筆者僅就使用新教材以來教師在課前預設環(huán)節(jié)遇到的一些問題進行討論。復習鋪墊的設計?，F(xiàn)在新編的教材，基本上不再出現(xiàn)新知識前的復習、準備或過渡內(nèi)容。以致有教師問：是不是數(shù)學課堂上不要需要復習環(huán)節(jié)了？教材直接以問題開始，有利于擴大思維和

19、探索空間，有利于學生問題意識的培養(yǎng)。在這個過程中，學生在新問題的基礎(chǔ)上聯(lián)想回憶出已學知識。當然，如果學生自己聯(lián)想有關(guān)知識有困難，或者出現(xiàn)夾生、遺忘現(xiàn)象，教師先行組織復習也是可取的。新授前設置復習、準備環(huán)節(jié)的初衷，一是為了通過再現(xiàn)激活學生頭腦中已有的相關(guān)知識；二是為探究鋪設臺階，分散新授的難點。第一點無可厚非，問題在于第二點。以往的課堂教學實踐中，教師常常鋪墊暗示過度，或者人為地設置了一條狹窄的思維通道，學生無須探究，或稍加嘗試，結(jié)論就出來了。這顯然不利于學生主動學習能力的發(fā)展。但我們也不必就此因噎廢食。應當承認，這類教學鋪墊有很多合理的成分。比如，教循環(huán)小數(shù)前，很多教師喜歡先以學生熟知的一年四

20、季周而復始的實例，讓學生感知“依次不斷重復出現(xiàn)”的周期現(xiàn)象，以此作為同化新知識的認知框架。有了這一鋪墊，原本很抽象的循環(huán)小數(shù)，通過學生自發(fā)的類比，大大降低了理解的難度。教學手段的選擇。一般認為，選擇教學手段的依據(jù)是教學內(nèi)容、學生以及教師自身的特點。除此之外，還應考慮什么？以教學長方體的認識為例?，F(xiàn)在多數(shù)教材提供的現(xiàn)實模型是城市建筑、冰箱、紙盒等圖片，人民教育出版社的教材考慮到農(nóng)村和邊遠地區(qū)，給出的素材里還有長城的圖片和其中一塊放大了的磚。教師可以選擇一個或幾個實物抽象出長方體的圖形，并進一步介紹長方體的面、棱和頂點等。目前在有條件的學校，教師大多采用多媒體課件演示長方體的形狀。此外，還能選擇什

21、么教學手段呢？30年前筆者在江西教學時，曾用當?shù)氐陌滋}卜作為教具。在東北，教師的創(chuàng)意是讓學生用小刀削土豆。在上海，老師們讓學生用小刀削橡皮泥。這不正是因地制宜選擇教學手段最生動的詮釋嗎？鞏固練習的補充。經(jīng)常聽到教師抱怨新教材配備的練習偏少。不可否認，教材需要修改、完善，但教材不是題庫，面對減輕學習負擔的社會訴求，教材中的習題必須嚴格精選。因此，即便改進之后，還會眾口難調(diào)。比如20以內(nèi)退位減法，可以用“破十法”，也可以用“連減法”。諸如此類的針對性練習，教材難以一一提供，只能由教師為學生“量身定制”，自行補充，當然教學參考書可以也應該給予提示。此外，學生的學習有缺漏必須彌補，同時要滿足學有余力的

22、學生興趣拓展和提高的需求，教師適當?shù)脑鲅a練習，也是因材施教的內(nèi)涵之一。另外，一些鄉(xiāng)土素材、社會時事、學校正在開展的活動，等等，都可以用來編成數(shù)學的實際問題，使數(shù)學應用練習更貼近學生的生活和時代的脈搏。中國教育報2009年2月20日5版聚焦小學數(shù)學系列四：什么才是有效的開放新一輪課程改革提出了自主、探究、合作、生活數(shù)學、信息技術(shù)、算法多樣化等一系列新名詞，這些都體現(xiàn)出開放的教學內(nèi)容、教學方式和教學理念。在過去的探索中，我們既出現(xiàn)了小組圍坐其樂融融、合作交流熱熱鬧鬧、動手操作紅紅火火的景象，也出現(xiàn)了因交流擠掉學生獨立思考的時間，因空間開放未能完成當堂練習的現(xiàn)象。于是，有人開始懷疑開放的教學是否影響

23、學習效率，甚至開始懷念傳統(tǒng)教學中環(huán)環(huán)相扣的高效率、高質(zhì)量。開放的教學過程改變了傳統(tǒng)封閉式教學中“把信息從一個地方傳遞到另一個地方”的單向過程，使教學交流更加多元、立體，更能促進學生充分、全面地發(fā)展。封閉式教學追求的是讓學生在有限的時間內(nèi)掌握更多的知識，而開放式教學的價值取向則在于追求自主與創(chuàng)新。應該說，開放與封閉、有效與無效是不同維度的對立面，如果我們將這兩組矛盾各為橫軸、縱軸的話，會出現(xiàn)“有效的開放”、“無效的開放”、“有效的封閉”、“無效的封閉”這四個象限，以自主學習、合作學習為主要方式的開放式教學和以講授式為主要方式的封閉式教學都存在著有效和無效的問題。值得思考的是：何謂有效的開放？特級

24、教師魏潔談到她在美國聽的一節(jié)小學六年級的方程課：上課開始，教師在黑板上寫出：x，未作任何暗示，只給學生們提供一些方格紙、小方塊和白紙，讓孩子們解答。有的孩子左邊擺3個方塊、右邊擺5個方塊，然后從5個方塊中挪出3個，找到了答案“”。有的孩子借助方格紙，先畫5個方格，再圈掉其中的3個，找到了答案。有的孩子直接在等式的“5”上寫了“3”并做了一個刪除的記號，雖然沒有規(guī)范的格式，但是他也愉快地找到了答案。還有一類孩子，想不到任何方法，就伸長了脖子看周圍的同伴在忙什么，看看用方格的，好像不能理解，于是就選擇了一個用方塊的作為學習對象。人家怎么做，他就怎么做。等到孩子們?nèi)客瓿珊?，老師組織全班學生進行了交

25、流。接著，沒有任何的解釋和總結(jié)，寫出第二題：-，讓孩子們自己做。有意思的是，第四類孩子這時也跟著他的學習對象改用方格來幫助解決問題了。更有意思的是，課后魏老師采訪了這個孩子，問他：“會了嗎？”孩子高興地回答：“會了！”再問：“過兩天還記得嗎？”孩子回答：“肯定忘了?！弊穯枺骸澳悄阍趺崔k？”孩子很爽快地指指小組的伙伴：“有他！”這是典型的美國課堂，也許正是不少人認為低效的課堂。折騰了一節(jié)課，學生連基本的解方程格式都不會。但這類“低效”課堂何以受到美國教師的青睞？國際相關(guān)的比較研究提醒我們，我們的孩子在解決封閉性問題時，往往強于美國學生，而在解決開放性的實際問題時，美國學生卻表現(xiàn)出較明顯的優(yōu)勢。教

26、育家波蘭尼有個觀點說,顯性知識只是冰山的一角，而緘默知識則是隱藏在冰山底部的大部分。緘默知識只有通過個體的實踐與體悟才能獲得。如此說來，看似松散的學生探求解決辦法的過程，也正是他們進行底部積累的過程。站在關(guān)注每一個個體學習歷程的角度看，以上案例中孩子們對不同方法的選擇與改變，讓我們看到了孩子們的思維由具體到抽象的變化過程，看到了孩子們積累數(shù)學活動經(jīng)驗逐步形式化的過程，看到了不同的孩子在自己最近發(fā)展區(qū)的成長，看到了孩子遇到困難時尋求幫助的“智慧”之舉這樣看來，關(guān)注學生在教學中是否成長和發(fā)展是我們評價現(xiàn)代課堂有效性的核心。除了知識的掌握，學生數(shù)學學習經(jīng)驗的積累、數(shù)學思想方法的感悟、數(shù)學基本技能的訓

27、練，數(shù)學學習情感的豐富，這些都應該成為考量課堂有效性的重要維度。評價開放性的課堂除了必須保持開放的心態(tài)，還必須采用開放的評價指標和評價方法。這方面的工作，無疑已成為擺在我們眼前的重要任務。近年來，我們的教育教學工作者在追求有效開放的探索中積累了很多寶貴經(jīng)驗。有的老師注重小組建設，從評價入手，努力營造組內(nèi)合作、組間競爭的學習氛圍，為建立有效合作提供了一種范式。有的老師注重同伴交流的實效，從“如何聽、如何說”的指導入手，甚至為每個小組配備錄音筆，即時記錄交流情況，從而實現(xiàn)有針對性的指導工作。還有不少教師認為開放式教學要因“材”而為，結(jié)合教學內(nèi)容，在適于探究、適于合作之處予以放手，把“挖掘教材、吃透

28、教材，做一名能夠整合教材、個性化實施課程的教師”作為自己追求的理想。有的教師背下12本教材上的所有例題和習題，以自己對小學知識的通透把握，達成課堂上充分探索、思辨練習、課外不留作業(yè)的高效教學。這些都顯示出教師們?yōu)榉e極探索有效開放教學策略所做的不懈努力。這些理論與實踐相結(jié)合的鮮活研究，為我們從模仿開放之形到把握開放之神提供了堅實的基礎(chǔ)。我們有理由相信，隨著我們視界的敞亮、理論的完善和探索的深入，開放而有效的課堂必將越來越成熟。中國教育報2009年2月20日6版聚焦小學數(shù)學系列五：有過程的教學促進高水平的理解常聽一線老師訴苦說：現(xiàn)在的學生真難教，水平參差不齊。的確，在學習新知識前，學生早已不是一張

29、“白紙”。作為教師，該怎么辦？知道事實不等于真理解面對學生已經(jīng)知道“答案”時，我們需要追問：有多少學生知道答案？有多少學生真正理解要學習的內(nèi)容？例如，對于“長方體的體積=長寬高”，如果學生通過背誦記住這一公式，那么他獲得的知識僅僅是“事實性知識”。如果學生通過拼擺單位小正方體而得到“大長方體”的體積就是單位小正方體的個數(shù)，即數(shù)小正方體的個數(shù)就能求出長方體的體積，但是“數(shù)”比較麻煩，再進一步發(fā)現(xiàn)大長方體的體積是“長寬高”，這時他對長方體體積公式的理解就達到“概念性水平”。如果學生能進一步深入分析，就會發(fā)現(xiàn)長方體的體積與長方體的一個面的面積以及對應這個面的高有關(guān)。在教師的引導下，學生綜合應用所學知

30、識，得出長方體的體積還可以通過“一個面的面積乘以這個面所對應的高”來求出，這時學生對該公式的理解就達到了“方法性水平”，因為這個公式不僅僅適用于長方體而且適用于一切柱體。學生不但了解了公式產(chǎn)生的來龍去脈，并且能在所涉及的概念與概念之間，以及概念與已有的經(jīng)驗之間建立起聯(lián)系，并能根據(jù)不同的條件靈活選擇公式解決問題。在此基礎(chǔ)上，學生還能進一步解釋“長方體的體積等于一個面的面積乘以這個面上的高”嗎？在教學中，有個學生這樣回答：我把長方體看成是“底面”這樣的小薄片一片一片壘起來的，那么長方體的體積不就是這個“小薄片”的面積乘以壘的“高度”嗎？這名學生所獲得的知識就已經(jīng)達到了“主體性水平”，他所獲得的這一

31、知識，是通過反思“創(chuàng)造”出來的。學生學習數(shù)學時，往往停留在“事實性水平”的理解上。在教學中，我們必須辨別出學生的理解所達到的程度，設計恰當活動促進學生對知識的高水平理解。有過程的教學促進學生高水平的理解“數(shù)學是系統(tǒng)化了的常識?！毙W數(shù)學中的很多概念都蘊含了樸素的數(shù)學思想，基本上都來源于學生的生活經(jīng)驗。從理論上說，學生認識這些樸素的思想應該很容易，但為什么學生學習“課本上的數(shù)學”就有很多困難呢？原因主要在于數(shù)學的學科定義高度概括、抽象，教材不易呈現(xiàn)其形成與發(fā)展的過程，直接學習現(xiàn)成的結(jié)論不符合小學生的思維水平與認知特點。因此，弗羅登塔爾認為“教材是教學法的顛倒”。如果教師的教學沒有過程，而只是簡單

32、的模仿、記憶、背誦、訓練，則容易使學生的理解僅僅處于事實性水平。教師無過程教學的根源主要有兩點：一是缺少追問學科概念的本質(zhì)，二是沒有真正了解學生的思維特點與已有的知識經(jīng)驗儲備。對于前者，我們強調(diào)教師追問為什么學習這些內(nèi)容、所學習內(nèi)容的核心是什么、如何建立聯(lián)系；后者主要包括學生的生活概念、學生的思維水平與認知特點及學生已有的知識儲備。當教師對這兩個根源有深入的思考后就能設計出有過程的教學。設計有過程的教學，需要教師關(guān)注數(shù)學概念、思想的本質(zhì)以及發(fā)展的歷史本源，關(guān)注其形成、發(fā)展的原始動力，關(guān)注學生樸素的問題與思維過程，關(guān)注學生的生活概念、經(jīng)驗與數(shù)學概念之間的本質(zhì)聯(lián)系與區(qū)別，關(guān)注學生的思維過程，利用思

33、維過程中的沖突、質(zhì)疑與障礙使學生獲得高水平理解力，激發(fā)學生學習的愿望與動機，體會到創(chuàng)造的樂趣。下面是一位教師教學“減法的初步認識”時發(fā)生的主要事件，該課就是一節(jié)過程充分的課：教師先利用電腦動畫設計了一個停車場的情境，學生很快發(fā)現(xiàn)了信息并提出了問題：停車場原來有5輛小汽車，開走了2輛，問停車場還剩幾輛小汽車？學生順利地列出算式并計算。教師請學生利用手中的學具，自己動手創(chuàng)造一個用減法解決的問題，并列式解決。這一環(huán)節(jié)的設計目的是讓每個學生都親歷減法意義的感知過程，并板書出學生所出現(xiàn)的各種不同的減法算式，為后續(xù)觀察、比較、總結(jié)減法的意義作素材準備。但在交流匯報時，一個小女孩到實物展臺前，一邊演示“小水

34、果”學具，一邊介紹自己剛才的操作過程：“我本來拿了5個小水果，送給同桌2個，問我還剩幾個水果？我列的算式是5-2=3?！痹捯魟偮?，另一位男孩喊到：“怎么還是5-2=3?。恐貜土?！不能寫到黑板上?！闭古_前的女孩不服氣地為自己辯解：“我沒重復，這次不是汽車，是水果?！弊谙旅娴哪泻⒕拐酒饋矸瘩g：“反正你的算式是5-2=3，還說不重復？”女孩一臉疑惑地看著教師。教師首先請學生發(fā)表自己的看法，大部分學生同意男孩的看法，但也覺得女孩說得有道理，辯論不出結(jié)果。這時教師問：“你還能想一件事情，也用5-2=3來表示嗎？”孩子們的思維活躍了起來，編出了很多的情境。例如：教室有5個小朋友，走了2個，還剩下3個。草

35、地上有5朵小花，被小朋友摘走了2朵，還剩下3朵。5支鉛筆，丟了2支，還剩3支這時剛剛發(fā)完言的一個學生不肯坐下：“我還能說這樣的好多事呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本領(lǐng)真大呀！”教師繼續(xù)捅破“窗戶紙”：“有的事情發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里。為什么完全不一樣的事，卻能用同一個算式來表示呢？”學生們終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但同一個算式所表示的意思都是一樣的。這時，教師趁熱打鐵，又問：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一個數(shù)8都可以表示什么？”學生脫口而出：“那太多了！”看到孩子們意猶未盡的樣子，教師又問：“你現(xiàn)在有什么想法？”其中一個學生說：“我覺得數(shù)和算式都太神奇了，能表

36、示那么多不同的事物。”小學生對所學知識不能都達到高水平理解由于數(shù)學的學科特點及小學生的思維特點、生活經(jīng)驗，學生對所學習的內(nèi)容不能都達到高水平的理解。我們應該允許學生先處于事實性水平的理解，隨著經(jīng)驗的增加、思維水平的提高，逐步對所學內(nèi)容達到高水平理解。小學階段所學習的數(shù)學概念有一些是“高通達力”的概念，即不是教師能教會的，理解這些概念需要學生認知水平的提高。例如，分數(shù)、字母表示數(shù)、正反比例關(guān)系、方程、極限、平均數(shù)等概念和思想。學習這些概念時，我們應當適當允許學生在理解上的反復，因為要達到高水平的理解既需要教師設計有過程的教學，也有待學生年齡的增長。教師能做的，就是提供有價值的問題或任務，促進學生

37、的思維投入，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生。（作者為北京教育學院數(shù)學系副教授）聚焦小學數(shù)學系列六：訓練也是學習 豎式除法是學生學習運算中的一個難點。余數(shù)問題、商的數(shù)位問題、單位問題等類似錯誤常常出現(xiàn)在學生的作業(yè)中。表面看這些錯誤各不相同，細細分析會發(fā)現(xiàn)，這些錯誤的根源在于不理解豎式算法的意義。有研究發(fā)現(xiàn)，學生雖然會用豎式計算，但的學生不明白豎式除法為什么從高位算起，的學生不清楚豎式除法的算理。這種情況下，提高學生的運算能力，就不能只是讓學生反復操練。訓練是提高計算能力的技術(shù)手段，但并不一定是科學手段。教師應當改進教學，關(guān)注學生的已有經(jīng)驗，關(guān)注學生的困惑，在此基礎(chǔ)上設計教學。尋“根”究“理”，讓學

38、生真正參與到知識的探索中。情境設計，讓學生鐘情練習將學習中的模仿、訓練轉(zhuǎn)化為學生的內(nèi)在需要，是我們教學設計的追求。有這樣一道題：“地球赤道周長萬千米，設想用鐵絲沿赤道扎緊，然后把鐵絲接長米，問鐵絲和地面之間能出現(xiàn)多大空隙？”這道題對學生來說是很有趣的。但怎樣讓學生對題目“一見鐘情”呢？有位教師作了如下改進：地球的環(huán)境日益惡化。地球大吼：“我受不了啦，我快要爆裂啦！”玉皇大帝聽到后很著急，心想：要是地球真的爆裂了，那全部生靈就會被毀滅。于是他決定沿地球的赤道加一道鐵箍，以防地球爆裂?？墒堑厍騾s直喊：“太緊了，我喘不過氣?！庇窕蚀蟮壑缓冒谚F箍松了一下，使得它處處離地球米?？墒撬梢幌拢F絲不夠長了，

39、需要再加一段，請你幫玉皇大帝算一下需要加多長的一段鐵箍？這樣的題目有故事情境，符合小學生的心理，能很好地調(diào)動學生的參與愿望。研究發(fā)現(xiàn)，進行情境問題測試的學生，其成績和個體情感的投入都優(yōu)于進行傳統(tǒng)題目測試的學生。在之后的問卷調(diào)查中，進行情境問題測試的學生有選擇“以后還希望再做這樣的測試”。而進行傳統(tǒng)題目測試的學生選擇該項的只有。這就要求教師改進學習內(nèi)容和形式，盡量避免重復，多讓學生主動創(chuàng)造而減少灌輸?！胺彩悄軅鹘o他人的，一定是可以重復的，而可以被他人重復的則一定不具有創(chuàng)造性?！边@啟發(fā)我們，為了增加學生的主動性，除了教學方式、教學方法方面的改進外，還需要結(jié)合學生的現(xiàn)實背景，設計現(xiàn)實的、有意義的、富

40、有挑戰(zhàn)性的情境性問題，避免訓練中的簡單重復。適時點撥，增強練習實效性練習要讓學生明了目的，不能盲目。練習中，需要教師及時分析學生的錯誤成因，適時介入，并根據(jù)學生的不同情況安排有針對性的練習。有一道找規(guī)律題目如下： ，（）。有個學生說：“前面的數(shù)除以，就得到后面的數(shù)，所以就可以得到答案?！绷硪粋€學生說：“老師，我算出的答案也是?？墒牵艺业囊?guī)律跟他們的不一樣。我是這樣算的：，去掉一個，就是。，去掉一個就是。，去掉一個就是。所以，最后一個數(shù)是。”這個學生的規(guī)律，其他學生是不是聽懂了？他與別人的規(guī)律是不是真的不一樣？如果不一樣，有什么聯(lián)系和不同？教師在這兒引導其他學生探討這個學生的算法，是非常自然而

41、必要的。這個學生用到的“加法”是第一級運算，運算程度最低，也最簡易，在說到除時，用到的是動作“去掉”，而不是“除以”，表達很通俗，且形象、生動。而其他同學運用的是第二級運算“除法”，方法相對抽象。對這兩種思路的對比分析在這一節(jié)課中非常重要。跟上時代，不做超標練習在計算教學的問題上，一直有人批評課改過了頭。誠然，素質(zhì)教育并不排斥計算上的高技能，但是，計算技能需要高到哪種程度，則是需要畫個問號的。兩位數(shù)的除法在教學中是重點，而瑞典教材是不作要求的。像，他們只要求學生能估算就可以了，不要求筆算。年，我們與瑞典教育代表團交流時，瑞典教育代表團團長多麗絲教授反問我們：“時間很寶貴，長大以后這些題目都可以

42、用計算器去解決，你們?yōu)槭裁匆ㄙM這么多的時間用于計算？”這個問題促使我們不得不思考：我們讓孩子花費這么多的時間，究竟有什么價值？為什么我們讓學生做超出課標要求的大量練習？而我們的課標本來就遠超出國際一般要求。有位教師說：“有一道題：桃樹棵，楊樹是它的倍少，桃樹、楊樹一共多少棵？我講解了好幾回，學生都是。你說如何講學生才會接受？他們都不知道要再加上桃樹的數(shù)目?！痹蚝卧冢坑伞吧罱?jīng)驗解決”到“數(shù)學符號表征”是一大跨越，學生不會用一個式子把“桃樹、楊樹一共多少棵”表示出來，這不能怪學生。列綜合算式對于四年級的學生來說，還是太難了。我們的課標和教材是不要求學生列綜合算式的，而我們平時的教學還在遠超“

43、英美”的高度上再次拔高。訓練是學習的過程，而非學習中的某個環(huán)節(jié)，從這個意義上說，訓練即學習，而不是重復。學習不是傳輸?shù)倪^程，也不是接受的過程，學習是個需要建立聯(lián)系、需要自覺建構(gòu)實踐的過程，離開學生的參與，訓練就成為復制的過程。由此，我們需要加強教師在學生練習中的指導作用，使練習走向科學。（作者為山東省茌平縣杜郎口中學教師）中國教育報年月日聚焦小學數(shù)學系列七：開啟從錯誤中學習的新視角錯誤在學習中普遍存在錯誤并不僅僅出現(xiàn)在學習活動中。一般而言，人們是在認識論的范疇中討論“錯誤”，把它與“真理”作為相對的概念提出的，認為“錯誤”就是與客觀實際不相符合的認識。但是，當人們討論學校學習活動中的“錯誤”時

44、，錯誤的概念發(fā)生了變化。人們認為錯誤是學生在學習過程中所產(chǎn)生的各種不同于“標準觀念”或“標準答案”的想法或做法。與認識論的“錯誤”概念比較，變化如下：其一，錯誤往往被教師理解為學習活動的結(jié)果不符合教學要求。如在一堂“分數(shù)、小數(shù)加減混合運算的簡便計算”課中，教師要求學生在算式“0.38+（）-7/5”的括號中填上合適的數(shù)，使得計算比較簡便，并計算出算式的結(jié)果。學生提出填上1.62，使得加法運算的結(jié)果為2，但教師卻認為這一填法不正確。在這一練習中，教師簡便計算的“標準觀念”并不只是一級運算，無論學生填寫1.62或7/5都不符合教師的“標準觀念”。教師希望學生考慮簡便的二級運算，最佳的運算結(jié)果是0。

45、且不論教師對簡便計算的“標準觀念”是否真的標準，從這一教學現(xiàn)象中我們不難發(fā)現(xiàn)，學生學習結(jié)果的錯誤往往是指不符合教師預設的教學要求。衡量的標準從“客觀實際”變?yōu)椤敖虒W要求”，被賦予了更強的人為色彩。其二，這種學習結(jié)果不僅包括認識（觀念），也包括行為（做法）。數(shù)學學習過程中的“做法”通常指的是技能，包括計算技能與解決問題的技能。因為它不會直接對現(xiàn)實生活造成傷害，因此，學習過程中的錯誤既被理解為“觀念”，又被理解為“做法”。這兩者在學習過程中是緊密聯(lián)系在一起的。教師可以通過學習過程中錯誤的“做法”去折射學習者錯誤的“觀念”。在數(shù)學學習中，學生的錯誤是普遍的。我們可以毫不夸張地說，每一位數(shù)學學習者在數(shù)

46、學學習活動中都發(fā)生過錯誤。個體正是通過對抗數(shù)學學習中的錯誤，豐富了自身的認識經(jīng)驗，從而獲得發(fā)展的。數(shù)學學習中的錯誤更是必然的。首先，數(shù)學活動是一種包含有猜測、錯誤與嘗試，證明與反駁，檢驗與改進的復雜過程。因此，學生在經(jīng)歷這一數(shù)學活動過程時產(chǎn)生錯誤在所難免。其次，數(shù)學研究的對象是對現(xiàn)實生活理想化的抽象，許多在現(xiàn)實生活中有原型的數(shù)學概念，學生很難區(qū)分其與生活概念的差異，因為處于具體形象思維階段的學生會出現(xiàn)認知不足，進而產(chǎn)生錯誤觀念。例如，學生在理解三角形高的概念時，由于在日常用語中“垂線”只指鉛垂位置，所以學生很難理解其他位置的高，更難把握三角形的外高。正是由于這些學習錯誤具有普遍性與必然性，它們

47、的產(chǎn)生也是有理由、有規(guī)律可循的。因此，在建構(gòu)主義看來，錯誤的產(chǎn)生具有合理性。有學者認為，從學習者身上觀察到的一系列錯誤表明，錯誤不是教給的，而是學習者構(gòu)造了自己特有的概念與程式造成的。錯誤的價值與有價值的錯誤在學生的學習過程中，正確有可能是一種模仿，而錯誤卻大凡是一種經(jīng)歷。因為許多錯誤是學習者在主動構(gòu)建知識時形成的。在教育活動中，錯誤是重要的教育資源。首先，錯誤的教育價值在于它展現(xiàn)了學生的思維歷程?！霸跀?shù)學學習活動中，錯誤表征著學生思想的航行，活動的展開。錯誤可能意味著學生一次觀念的冒險、體驗的豐富、超越的契機?！庇幸粋€學生提出了這樣的疑惑：認識三角形內(nèi)角和時，我們是通過把長方形沿著對角線一分

48、為二，已知長方形的內(nèi)角和是360度，一分為二得出直角三角形的內(nèi)角和就是180度。那么把一個等腰三角形沿著高一分為二，小的直角三角形的內(nèi)角和為什么不能是90度呢？盡管學生通過類比推演得出小三角形內(nèi)角和的結(jié)論是錯誤的，但是，學生在錯誤經(jīng)歷中的思考與質(zhì)疑卻是難能可貴的。其次，錯誤可以使理解和記憶更加深刻。學生經(jīng)歷錯誤后，如果教師通過展示學生的錯誤，辯論錯誤觀點，糾正錯誤過程，那么，學生會對自身的錯誤理解得更深刻、記憶得更牢固。因為在錯誤經(jīng)歷中，學生獲得了在平坦的大路上難以見到的景致，也許正是學生經(jīng)歷了一次次錯誤的探險，感受到心理的挫折、驚喜與頓悟，才從中獲得了質(zhì)疑、反思與多向思維的創(chuàng)新品質(zhì)。再其次，

49、它折射了學生數(shù)學學習的難點問題。學生在數(shù)學學習活動中難以理解、難以把握的內(nèi)容往往成為教學的難點。學生在學習中的錯誤正是學習難點的折射。當然，并不是學生所有的錯誤都折射了數(shù)學學習的難點，在教師的教學設計中也無法關(guān)注每一個學生的錯誤，這必然引發(fā)對有價值錯誤的思考。我們認為，那些具有規(guī)律性的、合理的錯誤具有教育價值，因為它們具有普遍性，多數(shù)學生會遭遇。那些經(jīng)過思維運演的錯誤有教育價值，因為它們可以促進學生的理解，強化學生的記憶，并能產(chǎn)生許多非認知的教育價值。教師對待錯誤的三重境界“從錯誤中學習”并不是每一位教師都認同的教學原則，錯誤資源在不同教師的課堂上發(fā)揮的教育價值，也因教師對待錯誤的態(tài)度不同而存

50、在差異。我們把教師對待錯誤的態(tài)度分成三重境界。第一重境界是教師害怕、拒絕錯誤。他們認為學生的學習錯誤是自身教學缺失的標志，尤其在公開課上，不符合標準答案的觀點會被教師們漠視，他們或?qū)W生的錯誤采取“失聰”、“失明”的做法，或用優(yōu)生的學習成果掩蓋其他學生的學習錯誤，因為他們對標準答案已經(jīng)產(chǎn)生了思維定式與心理期待，對課堂中生成的非預設的學習成果缺乏評價能力。第二重境界是教師把學生的學習錯誤作為有價值的教學資源加以利用?；蛲ㄟ^展示錯誤過程，辯論錯誤觀點提升認識；或故布陷阱，讓學生深陷其中而得出顯而易見的錯誤，從中恍然大悟地得出正確結(jié)論。第三重境界是教師不僅讓學生經(jīng)歷糾錯的過程，形成正確的觀念與做法，更重要的是讓學生反思自身的錯誤，進而升華為錯誤觀的教育。浙江省特級教師俞正強老師就曾有一堂經(jīng)典的進行錯誤觀教育的“小數(shù)四則運算”練習課。整節(jié)課一氣呵成，讓學生經(jīng)歷了“感受研究錯誤的必要性小數(shù)四則運算的錯誤類型小數(shù)四則運算錯誤的歸因分析小數(shù)四則運算的干預策略對錯誤觀的認識”這一完整的反思錯誤的過程。首先，他在課前讓學生計算了20道小數(shù)四則混合運算題，然后在課堂上讓學生們評價自己的作業(yè)，并公布了全班學生的錯誤率，從而讓學生了解小數(shù)四則混合運算錯誤的普遍性，體會到研究