【高考必備】備戰(zhàn)2017高考技巧大全之高中數(shù)學(xué)黃金解題模板專題34簡單幾何體表面積和體積求法Word版含解析[原創(chuàng)精品]

1、【高考地位】空間幾何體的表面積和體積是立體幾何的重要內(nèi)容之一，空間幾何體的表面積、體積的計算是高考?？嫉臒狳c解決這類問題的方法主要有：基本幾何體的求積公式法、分形割補法、等體積法等. 在高考中多以選擇題、填空題出現(xiàn)，其難度屬中檔題.【方法點評】方法一 公式法使用情景：幾何體是規(guī)則的幾何體解題模板：第一步 先求出幾何體表面積和體積公式中的基本量；第二步 再代入幾何體的表面積和體積公式即可得出結(jié)論.例1 三棱錐的外接球為球，球的直徑是，且都是邊長為的等邊三角形，則三棱錐的體積是 （ ）a b c. d【答案】b【解析】考點：三棱錐體積【點評】（1）對于表面積的公式不要死記硬

2、背，多面體的表面積就是表面的幾個面的面積直接相加，旋轉(zhuǎn)體的就是展開再求；（2）直接求解該題的關(guān)鍵是正確求出三棱錐底面的垂線.例2 已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是邊長為1的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為（ ）a b c d【答案】b【解析】試題分析：因為是邊長為的正三角形，所以外接圓的半徑為，點到面的距離是，又因為是圓的直徑，所以到面的距離是，因此三棱錐的體積是，故選b.考點：1、外接球的性質(zhì)及圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)；2、棱錐的體積公式. 【方法點晴】本題主要考查外接球的性質(zhì)及圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)、棱錐的體積公式，屬于難題.圓內(nèi)接多面體問題是將多面體和旋轉(zhuǎn)體相結(jié)合的題型，既能考查旋

3、轉(zhuǎn)體的對稱形又能考查多面體的各種位置關(guān)系，做題過程中主要注意以下兩點：多面體每個面都分別在一個圓面上，圓心是多邊形外接圓圓心；注意運用性質(zhì).【變式演練1】在三棱錐中，側(cè)面、側(cè)面、側(cè)兩兩互相垂直，且，設(shè)三棱錐的體積為，三棱錐的外接球的體積為，則（ ）a b c d【答案】a【解析】考點：1、三棱錐的外接球；2、三棱錐與球的體積【變式演練2】已知一個圓柱的底面半徑和高分別為和，側(cè)面展開圖是一個長方形，這個長方形的長是寬的2倍，則該圓柱的表面積與側(cè)面積的比是（ ）a b c d【答案】a【解析】試題分析：由題意可知，側(cè)面積為，底面積為，所以圓柱的表面積與側(cè)面積的比是.考點：圓柱表面積側(cè)面積.方法二

4、割補法使用情景：幾何體是不規(guī)則的幾何體或者直接求比較困難解題模板：第一步 先分割或補形；第二步 再求分割的各部分的面積和體積或求補形后的幾何體的體積；第三步 最后求出所求的幾何體的體積.例2 如圖1，已知三棱錐中，試求三棱錐的體積.【答案】詳見解析. 【點評】（1）補形法是立體幾何中最為常用的輔助工具，它能將一般幾何體的有關(guān)問題通過補形成特殊的幾何體再求解。如本題將三棱錐補成特殊的長方體便可輕松求解。當(dāng)然補形前后的兩種圖形的內(nèi)在聯(lián)系應(yīng)該非常熟悉是求解關(guān)鍵。（2）若按常規(guī)方法利用體積公式求解，底面積可以設(shè)法求出，但頂點到底面的高無法作出，自然無法求出。若能換個角度來思考，注意到三棱錐有三對邊兩兩

5、相等，若能把它放在一個特定的長方體中，則問題不難解決?！咀兪窖菥?】四邊形abcd中，a(0,0),b(1,0),c(2,1),d(0,3)，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】詳見解析.考點：空間立體幾何的體積、表面積；割補法；【變式演練4】如圖，已知四棱錐中，底面為菱形，且是邊長為的正三角形，且平面平面,已知點是的中點.（1） 證明:平面;（2） 求三棱錐的體積. 【答案】(1)見解析；（2）.【解析】試題分析：(1) 連結(jié)交于，連結(jié),由三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定定理可得平面.(2) 取中點,連接,則，由平面平面，可知平面,利用求之即可. 考點：1.線面平行的判定與性質(zhì)

6、；2.線面垂直的判定與性質(zhì)；3.多面體體積.【名師點睛】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、多面體體積，屬中檔題；線面平行是空間位置關(guān)系中一種重要的關(guān)系，也是高考?？贾R點之一，高考對線面平行的考查常有以下兩個命題角度：1.以多面體為載體，證明線面平行；2.以多面體為載體，考查與線面平行有關(guān)的探索性問題.方法三 等體積法使用情景：一般三棱錐解題模板：第一步 先變換三棱錐的頂點；第二步 運用等體積法求出幾何體的體積.例3 在四棱錐中，底面為梯形，為的中點，設(shè)的體積為v，那么三棱錐的體積為（）.（）（）（）（）【答案】詳見解析. 【變式演練5】在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平

7、面，、分別為、的中點.（）證明：；（）求三棱錐的體積.【答案】（）詳見解析（）【解析】試題分析：（1）取ac 中點d，連接sd，db，證明ac平面sdb，由線面垂直的性質(zhì)可得acsb；（2）由vb-cmn=vn-cmb，即可求得三棱錐b-cmn的體積試題解析：（）證明：如圖，取中點，連結(jié)，.， . 又是正三角形， . ，平面 又在平面內(nèi)，. 考點：直線與平面垂直的性質(zhì)及棱錐體積.【變式演練6】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形， ,為與的交點，為棱上一點（）證明：平面平面； ()若平面,求三棱錐的體積.【答案】（i）證明見解析；（ii）.【解析】試題分析：（）由已知得，由此能證明平面平面；（）

8、由已知得，取中點，連結(jié)，由此利用即可求得三棱錐的體積. . . 考點：1.平面與平面垂直的判定；2.棱柱，棱錐，棱臺的體積.【高考再現(xiàn)】1. 【2016高考浙江理數(shù)】如圖，在abc中，ab=bc=2，abc=120.若平面abc外的點p和線段ac上的點d，滿足pd=da，pb=ba，則四面體pbcd的體積的最大值是 .【答案】故.在中，.由余弦定理可得，所以.過作直線的垂線，垂足為.設(shè)則，即，解得.而的面積.設(shè)與平面所成角為，則點到平面的距離.故四面體的體積.設(shè)，因為，所以.則.（2）當(dāng)時，有，故.此時，.由（1）可知，函數(shù)在單調(diào)遞減，故.綜上，四面體的體積的最大值為.考點：1、空間幾何體的體

9、積；2、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【思路點睛】先根據(jù)已知條件求出四面體的體積，再對的取值范圍討論，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得四面體的體積的最大值2.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】（本題滿分12分）如圖,在已知正三棱錐p-abc的側(cè)面是直角三角形,pa=6,頂點p在平面abc內(nèi)的正投影為點e,連接pe并延長交ab于點g.（i）證明g是ab的中點；（ii）在答題卡第（18）題圖中作出點e在平面pac內(nèi)的正投影f（說明作法及理由）,并求四面體pdef的體積【答案】（i）見解析（ii）作圖見解析,體積為【解析】所以平面,故又由已知可得,從而是的中點. 在等腰直角三角形中,可得所以四面體的體積考點：線面位

10、置關(guān)系及幾何體體積的計算【名師點睛】文科立體幾何解答題主要考查線面位置關(guān)系的證明及幾何體體積的計算,空間中線面位置關(guān)系的證明主要包括線線、線面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.3. 2016高考新課標(biāo)文數(shù)如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點，為的中點（i）證明平面；（ii）求四面體的體積.【答案】（）見解析；（）【解析】（）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為. 取的中點，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故，所以四面體的體積. 考點：1、直線與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、三棱錐的體積【技

11、巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求三棱錐的體積關(guān)鍵是確定其高，而高的確定關(guān)鍵又推出頂點在底面上的射影位置，當(dāng)然有時也采取割補法、體積轉(zhuǎn)換法求解4. 【2016高考上海理數(shù)】將邊長為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長為，長為，其中與在平面的同側(cè)。（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線與所成的角的大小?！敬鸢浮浚?）（2）試題解析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑由的長為，可知，（2）設(shè)過點的母線與下底面交于點，則，所以或其補角為直線與所成的角由長為，可知，又，所以，從

12、而為等邊三角形，得因為平面，所以在中，因為，所以，從而直線與所成的角的大小為考點：1.幾何體的體積；2.空間的角.【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題.立體幾何中的角與距離的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等.5.【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )（a） （b） （）

13、2 （）4 【答案】【考點定位】1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積. 【名師點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計算，解答本題的關(guān)鍵，是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何量.本題屬于基礎(chǔ)題，在考查旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計算方法的同時，考查了考生的空間想象能力及運算能力，是“無圖考圖”的一道好題.6.【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱長均為，且其體積為，則 .【答案】4【考點定位】等邊三角形的性質(zhì)，正三棱柱的性質(zhì).【名師點睛】正三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面.柱體的體積等于底面積乘以高.邊長為的正三角形的面積為.7.【2015高考四川，

14、文14】在三棱住abca1b1c1中，bac90，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點m，n，p分別是ab，bc，b1c1的中點，則三棱錐pa1mn的體積是_.【答案】【考點定位】本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及空間線面關(guān)系、三棱柱與三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、圖形分割與轉(zhuǎn)換的能力，考查基本運算能力.【名師點睛】解決本題，首先要正確畫出三棱柱的直觀圖，包括各個點的對應(yīng)字母所在位置，結(jié)合條件，三棱錐pa1mn的體積可以直接計算，但轉(zhuǎn)換為三棱錐pamn的體積，使得計算更為簡便，基本上可以根據(jù)條件直接得出結(jié)論.屬于中檔偏難題.8.【2

15、015高考新課標(biāo)2，理9】已知a,b是球o的球面上兩點，aob=90,c為該球面上的動點，若三棱錐o-abc體積的最大值為36，則球o的表面積為( )a36 b.64 c.144 d.256【答案】c考點：外接球表面積和椎體的體積【名師點睛】本題以球為背景考查空間幾何體的體積和表面積計算，要明確球的截面性質(zhì)，正確理解四面體體積最大時的情形，屬于中檔題9.【2015高考山東，理7】在梯形中， .將梯形繞所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（ ）（a） （b） （c） （d） 【答案】c【考點定位】1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.【名師點睛】本題考查了空間幾何體的結(jié)

16、構(gòu)特征及空間幾何體的體積的計算，重點考查了圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積的計算，體現(xiàn)了對學(xué)生空間想象能力以及基本運算能力的考查，此題屬中檔題.【反饋練習(xí)】1. 【2016屆廣東汕頭市普通高考高三第二次模擬數(shù)學(xué)試卷，文18】已知四棱錐中, 垂直于直角梯形所在的平面,是的中點, 且.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】 （2）,.考點：（1）直線與平面平行的判定；（2）棱柱、棱錐、棱臺的體積.2. 【2016-2017學(xué)年四川成都經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗高二10月考數(shù)學(xué)卷，理18】如圖（1）所示，在直角梯形abcp中，bcap，abbc，cdap，addcpd2

17、，e、f、g分別為線段pc、pd、bc的中點，現(xiàn)將pdc折起，使平面pdc平面abcd（圖（2）（1）求證：ap平面efg；（2）若點q是線段pb的中點，求證：pc平面adq；（3）求三棱錐cefg的體積【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）【解析】試題解析：（1）證明：e、f分別是pc，pd的中點，efcdab又ef平面pab，ab平面pab，ef平面pab同理，eg平面pab，平面efg平面pab又ap平面pab，ap平面efg（2）解：連接de，eq，e、q分別是pc、pb的中點，eqbcad平面pdc平面abcd，pddc，pd平面abcdpdad，又addc，ad平面pdc，ad

18、pc在pdc中，pdcd，e是pc的中點，depc，pc平面adeq，即pc平面adq（3）vcefgvgcefscefgc1=.考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定3. 【2016-2017學(xué)年四川成都經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗高二10月考數(shù)學(xué)卷，理18】如圖，四邊形是平行四邊形，平面，為的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求多面體的體積【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（3）【解析】試題解析：（1）證明：如圖，取的中點，連接，在中，是的中點，且，又，且，即四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面（3）解：連，并延長交于，連分別為的中點，是中點，多

19、面體為三棱柱，體積為，且四邊形為平行四邊形，平面，平面，四棱錐的體積為，多面體的體積為考點：線面平行的判定；線面垂直的判定；多面體體積4. 【2016-2017學(xué)年河北冀州中學(xué)高二上期中考試數(shù)學(xué)卷，文18】已知長方形中，為中點，將沿折起到，所得四棱錐，如圖所示（1）若點為中點，求證：平面；（2）求的體積；（3）求證：【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)中位線定理可證，進(jìn)而可證是平行四邊形，所以，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）由平面平面可得平面，算出的值進(jìn)而可得的體積；（3）先證，再根據(jù)四棱錐中，然后根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得結(jié)論

20、. 試題解析：（1）證明：取中點，連接，在中，計算可得，（3）在矩形中，連接交于，因為，所以，所以，所以在四棱錐中，又，所以平面，因為平面，所以考點：1、線面平行的判定定理；2、線面垂直的判定定理.5. 【2017屆甘肅高臺縣一中高三上第三次檢測試卷，文18】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，已知，為線段的中點.（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】(1)見解析；(2).【解析】試題解析： （1）連結(jié)和交于，連結(jié)，為正方形，為中點，為中點，.平面，平面，平面.四棱錐的體積.考點：1.線面平行的判定與性質(zhì)；2.線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)；3.多面體的體積.6. 【2017屆湖南長沙長郡中學(xué)高三上第三次月考模擬試卷，文17】如圖，直三棱柱中，點在線段上.（1）若是的中點，證明：平面；（2）當(dāng)長是多少時，三棱錐的體積是三棱柱的體積的.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】（2）解：，設(shè)，則.故，即.故當(dāng)時，三棱錐的體積是三棱柱的體積的.考點：1.線面平行的判定；2.柱錐體的體積.7. 【2017屆廣東省實