數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題

1、數(shù)理統(tǒng)計考試試卷、填空題（本題 15分，每題3 分）1、總體X N（20,3）的容量分別為10, 15的兩獨立樣本均值差 X Y 2、設(shè)XX2,，X!6為取自總體XN（0,0.52）的一個樣本，若已知2.01( 16)32.0 ,則16PXi28=i 13、設(shè)總體X N（ ,2），若和2均未知，n為樣本容量，總體均值的置信水平為1 的置信區(qū)間為（X ,X），則的值為4、設(shè)X-X2,Xn為取自總體X N（ , 2）的一個樣本，對于給定的顯著性水平，已知關(guān)于 2檢驗的拒絕域為212 （n 1），則相應(yīng)的備擇假設(shè)H1為5、設(shè)總體 X N( , 2),2已知，在顯著性水平0.05下，檢驗假設(shè)H。：拒絕

2、域是1、 N(0,1);2、0.01;3、t (n 1)2- n4、220 ；5、 Z Z0.05 o二、選擇題（本題 15分,每題3 分）1、設(shè)Xi,X2,X3是取自總體 X的一個樣本,是未知參數(shù)，以下函數(shù)是統(tǒng)計量的為（(A) (X1 X2 X3)(B) X1 X2X3(C) - X1X2X3(D)3 (Xi3 i 1)22、設(shè) X1,X2,.,Xn 為取自總體 X N(,2）的樣本，X為樣本均值,X)2,則服從自由度為n 1的t分布的統(tǒng)計量為（Tn(X)(B) S（廠 n 1（X）(D)Sn3、設(shè) Xi,X2,Xn是來自總體的樣本,D(X)2存在，S2(Xi X)2,則（(A) S2 是2

3、的矩估計(B)S2是2的極大似然估計(C) S2 是2的無偏估計和相合估計(D)S2作為2的估計其優(yōu)良性與分布有關(guān)4、設(shè)總體XN（ i, j）,YN（ 2,；）相互獨立，樣本容量分別為n i, n2，樣本方差分別為s；,s2，在顯著性水平下，檢驗H。： 22,Hi： i22的拒絕域為（）。(A)2S22F(n21, n11)(B)2S22F (n 1, n11)1 2S1S1(C)S；2F(m1,n21)(D)2S22F (n11, n2 1)1 _2S1S15、設(shè)總體XN(27），2已知，未知，X1 , X2,Xn是來自總體的樣本觀察值，已知的置信水平為 0.95的置信區(qū)間為（4.71，5.

4、69），則取顯著性水平0.05時，檢驗假設(shè) H0：5.0,H,：5.0 的結(jié)果是（ ）。（A ）不能確定（B）接受Ho（C）拒絕Ho （ D）條件不足無法檢驗1、B； 2、D; 3、C； 4、A；5、B.2x甘仙，其中未知其他三、（本題14分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：f(x)2 ,0,參數(shù)0，X1,X n疋來自X的樣本，求（1） 的矩估計；（2） 的極大似然估計。解:(1) E(X)xf (x)dx2x20 2dX 3，令E（於）X 3，3 得？ X為參數(shù)2的矩估計量。似然函數(shù)為：L(Xi,)n 2Xi2n n x22nXii 1i 1,0 Xi, (i1,2,n),而L（）是 的單調(diào)減少函

5、數(shù)，所以的極大似然估計量為? maxX,X2, ,Xn。四、（本題14分）設(shè)總體X N（0,2)，且 NXXg是樣本觀察值，樣本方差s2（1 ）求 2的置信水平為 0.95的置信區(qū)間;（2）已知YX222（1），求D務(wù)的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間；（0.975（9） 2.70，0.025 （9） 19.023）。解：（1）2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為180.025 (9)180.975 (9)，即為（0.9462，6.6667 ）；(2) DX2312由于X232的單調(diào)減少函數(shù)，置信區(qū)間為即為(0.3000,2.1137)。五、(本題10分)設(shè)總體X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其中0未

6、知，X1, ,Xn為取自總體X的樣本，若已知(1)的置信水平為12 n 2UXi 2(2n)，求：i 1的單側(cè)置信下限；(2)某種元件的壽命(單位：h)服從上述指數(shù)分布，現(xiàn)從中抽得容量為16的樣本，測得5010 ( h)，試求元件的平均壽命的置信水平為0.90的單側(cè)置信下限。樣本均值為(0.05(31)44.985,爲(wèi)0(32)42.585)。解：P 2nX2(2n)1洱12 (2 n)即的單側(cè)置信下限為2nX2 16 501042.5853764.706。六、(本題14分)某工廠正常生產(chǎn)時，排出的污水中動植物油的濃度 性抽取10個水樣，測得平均濃度為 10.8 ( mg/L),標(biāo)準(zhǔn)差為1.2

7、XN(10,1)，今階段(mg/L)，問該工廠生產(chǎn)是否正常？(2 20.05,t.25(9)2.2622, 0.025(9)19.023, 0.975(9)2.700)解:(1 )檢驗假設(shè)H0:2=1 , H1:2工1 ； 取統(tǒng)計量:(n1)s220拒絕域為:2(n21)20.025 =19.023 ,經(jīng)計算:(n1)s220竺12.96，由于212.96(2.700,19.023) 2,故接受H。，即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差為2=1。(2)檢驗假設(shè)H0:10, H1:10;X取統(tǒng)計量：tS/ 1010 t_(9)；210 8 10拒絕域為 tt 025(9) 2.2622 ；

8、t 10.8 2 2.10282.2622 ,所以接受 H。，1.2/J10即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是10 (mg/L)。綜上，認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。七、（本題10分）設(shè)X!,X2,X3,X4為取自總體 XN（ ,42）的樣本，對假設(shè)檢驗問題Ho：5, Hi :5 , （ 1）在顯著性水平 0.05下求拒絕域；（2 ）若=6，求上述檢驗所犯的第二類錯誤的概率。解: （1）拒絕域為z 丄黑 口Z0025 1.96；|4/百|(zhì) 2（2）由（1）解得接受域為（1.08，8.92）,當(dāng)=6時，接受H0的概率為P1.08 X 8.928.92621.08 620.921 oi 1i 1八、（

9、本題8分）設(shè)隨機(jī)變量 X服從自由度為（m,n）的F分布，證明：隨機(jī)變量 丄服從X自由度為（n,m）的F分布；若m n,且PX 0.05，求PX -的值。證明：因為X F（m,n）,由F分布的定義可令 X U/m，其中U 2（m）,V 2（n）, UV/n與V相互獨立，所以丄也巴尸（n,m） oX U /m當(dāng)m n時，X與服從自由度為（n, n）的F分布，故有PX PX -,X從而 PX - P1P1 PX 10.05 0.95 oXX數(shù)理統(tǒng)計試卷參考答案、填空題（本題15分，每題3 分）Nep ; 2、0.01;3、t (n21) Sn ;4、;5、z z0.05。二、選擇題（本題15分，每題

10、3 分）1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B.三、（本題14分）解:(1) E(X)2x2xf (x)dx 0 才dx似然函數(shù)為：n 2xi2n nL(Xj, )22nXj ,0 Xi, (i 1,2,n),令 E(X? 23 X 3，得？ 2X為參數(shù)的矩估計量。而L（）是的單調(diào)減少函數(shù)，所以的極大似然估計量為maxX1，X2，, Xn。四、（本題14分）解:（1 ）2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為1820.025 (9)18-，即為(0.9462 , 6.6667 );0.975 (9)(2)DX23X2-21 2 yD由于2的單調(diào)減少函數(shù),置信區(qū)間為即為(0.3000, 2.1

11、137)。五、（本題10分）解：P 2nX2(2n)浮1(2n)即的單側(cè)置信下限為2nX；（2）2 16 501042.5853764.706。六、（本題14分）解:（1 ）檢驗假設(shè)H0:2=1 , H1:2工1; 取統(tǒng)計量:(n1)s220拒絕域為:2：(n21)20.025 =19.023,經(jīng)計算:(n1)s29021竺12.96，由于212.96(2.700,19.023) 2,故接受H。，即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油濃度的方差為2=1。(2)檢驗假設(shè)H0:10, H1:10 ；X取統(tǒng)計量：t拒絕域為 t t.025(9)2.2622 ；10.8 101.2/ 102.10282.2622，所以接受 H。，即可以認(rèn)為排出的污水中動植物油的平均濃度是 綜上，認(rèn)為工廠生產(chǎn)正常。10（ mg/L）。七、（本題10分）解：（1）拒絕域為zx 54/ 4Z0.0251 .96 ;（2）由（1）解得接受域為（1.08, 8.92）,當(dāng) =6時，接受H0的