導(dǎo)數(shù)的隱極值點(diǎn)代換

1、導(dǎo)數(shù)的隱極值點(diǎn)代換 導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題最終都會(huì)歸于函數(shù)單調(diào)性的判斷，而函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的零 點(diǎn)有著緊密的聯(lián)系，可以說是導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的判斷、數(shù)值上的精確求解或者估計(jì)是導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng) 用中最核心的問題。導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)其數(shù)值計(jì)算上的差異，可以分為兩類： 1、數(shù)值上能夠精確求解的，稱為顯零點(diǎn) 2、能夠判斷其存在但是無法直接表示的，稱為隱零點(diǎn) 對(duì)于隱零點(diǎn)問題，由于涉及靈活的代數(shù)變形技巧、抽象縝密的邏輯判斷和巧妙的不等式應(yīng)用， 對(duì)學(xué)生的綜合能力要求比較高，往往稱為考察的難點(diǎn) 題型一：隱極值點(diǎn)代換 例題設(shè)函數(shù)f (x) =ex -ax -2 . (I)求f (x)的單調(diào)區(qū)間； (H)若a =1 ,

2、k為整數(shù)，且當(dāng)x 0時(shí)，(k)f (x) x 10，求k的最大值. 【解答】 解：(I)函數(shù)f(x) =e ax2的定義域是R , f (x) =e a , 若a, 0 ,則f (x) =ex，所以函數(shù)f (x) =ex - ax -2在(-：，：)上單調(diào)遞增. 若 a 0，則當(dāng) x(一：,1 na)時(shí)，f (x) =ex -a .0 ； 當(dāng) x (Ina,：)時(shí)，f (x) =ex -a 0 ; 所以，f (x)在(一二,1 na)單調(diào)遞減，在(In a,；)上單調(diào)遞增. (II)由于 a =1，所以，(x - k) f (x) x 1 = (x -k) (ex -1) x1 x +1 故當(dāng)

3、 x 0 時(shí)，(x -k) f (x) x 10等價(jià)于 kx(x 0) e -1 令 g(x)x, e -1 x / 則g (皿 x / xc e (e x 2) x2 (e -1) 由(I)知，當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)h(x)=ex_x_2在(0, ：)上單調(diào)遞增, 而 h (1)0 , h (2)0 , 所以h(x) =e -x -2在(0, ：)上存在唯一的零點(diǎn)， 故g(x)在(0,;)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為：，則有很三(1,2) 當(dāng) x：=(0,:)時(shí)，g (x) :：:0 ;當(dāng) x：=(:,：:)時(shí)，g(x) .0 ； 所以g(x)在(0,;)上的最小值為go . 又由 g (:) =

4、0，可得 e：丄:-2 所以 g(:J = : 4 (2 , 3) 由于式等價(jià)于k：g()，故整數(shù)k的最大值為2. 設(shè)函數(shù) f(x) =e -alnx . (I)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)； (n)證明：當(dāng) a . 0 時(shí)，f(x)2a 亠 al n2 . a 【解答】 解：(I) f (x) =e2x -al nx的定義域?yàn)?0,=), .f (x) =2e2x _a . x 當(dāng)a, 0時(shí)，f(x) .0恒成立，故f (x)沒有零點(diǎn)， 當(dāng)a 0時(shí)，：y二e“為單調(diào)遞增，y二-旦單調(diào)遞增， x f (x)在(0,；)單調(diào)遞增， 又 f (a)0 , 假設(shè)存在b滿足0 : b 0)

5、. x (I)當(dāng)a=1時(shí)，求f (x)在點(diǎn)(1, f (1)處的切線方程； (n)若對(duì)于任意的 x( 0, +8)，恒有f (x)成立，求a的取值范圍. 例題 2設(shè)函數(shù) f(x)=(x-a)2lnx,a R (1)若x=e為函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值 2 若對(duì)任意的X，(0,3e,恒有f(x)詔e，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 題型三：隱極值的值域問題 x _2 例題(I)討論函數(shù)f(x)=ex的單調(diào)性，并證明當(dāng)x = 0時(shí)，(x2)ex+x+2 a0; x 2 x (II)證明：當(dāng)a 0,1)時(shí)，函數(shù)g x = e _ax _a (x 0)有最小值.設(shè)g x的最小值為h(a)， 求函數(shù)h(a)的值域 【解析】證明: x f x =e x242 x 2- (x+2)丿(x+2) 當(dāng) x 三 i , -刎 2 ,亠時(shí)，f x 0 f x在n 2和-2, 二上單調(diào)遞增 x 0時(shí)，x-2ex . x+2 f 0 = -1 (ex _a k2 2x(ex _ax a ) gx = x xex -2ex ax 2a x -2 x e a x 2 3 x x 2 由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)= ex的值域?yàn)?T, +),只有一解. x 2 使得F2e-a，円o,2】 當(dāng)x三(0,t)時(shí)g (x) ：0