參數(shù)的最小二乘法估計(jì)講解

1、第四章 最小二乘法與組合測(cè)量 1 概述 最小二乘法是用于數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)中的一個(gè)很得力的數(shù)學(xué)工具。 對(duì)于從 事精密科學(xué)實(shí)驗(yàn)的人們來(lái)說(shuō)， 應(yīng)用最小乘法來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題， 仍是目前必不 可少的手段。 例如，取重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值作為測(cè)量的結(jié)果， 就是依據(jù)了 使殘差的平方和為最小的原則， 又如，在本章將要用最小二乘法來(lái)解決一類組合 測(cè)量的問(wèn)題。 另外，常遇到用實(shí)驗(yàn)方法來(lái)擬合經(jīng)驗(yàn)公式， 這是后面一章回歸分析 方法的內(nèi)容，它也是以最小二乘法原理為基礎(chǔ)。 最小二乘法的發(fā)展已經(jīng)經(jīng)歷了 200 多年的歷史，它最先起源于天文和大地測(cè) 量的需要， 其后在許多科學(xué)領(lǐng)域里獲得了廣泛應(yīng)用， 特別是近代矩陣?yán)碚撆c

2、電子 計(jì)算機(jī)相結(jié)合，使最小二乘法不斷地發(fā)展而久盛不衰。 本章只介紹經(jīng)典的最小二乘法及其在組合測(cè)量中的一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用， 一些深 入的內(nèi)容可參閱專門的書籍和文獻(xiàn)。 2 最小二乘法原理 最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測(cè)量值中尋求最可信賴值的問(wèn)題。 對(duì)某 量 x測(cè)量一組數(shù)據(jù) x1,x2, ,xn ，假設(shè)數(shù)據(jù)中不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú) 立，服從正態(tài)分布，它們的標(biāo)準(zhǔn)偏差依次為： 1, 2, n記最可信賴值為 x ，相 應(yīng)的殘差 vi xi x 。測(cè)值落入 (xi ,xi dx)的概率。 Pi 2 i 2 exp( 2vii2 )dx 根據(jù)概率乘法定理，測(cè)量 x1,x2, ,xn 同時(shí)出現(xiàn)的概率為

3、 1 1 v PPi1 n exp 1 ( i )2 (dx)n ii ( 2 )n2 i i 顯然，最可信賴值應(yīng)使出現(xiàn)的概率 P 為最大，即使上式中頁(yè)指數(shù)中的因子達(dá) 最小，即 2 vi i2 Min i i2 權(quán)因子： wi o2 即權(quán)因子 wi 12 ， 則 ii2 2 wvvwiv i Min 再用微分法，得最可信賴值 x n wi xi 即加權(quán)算術(shù)平均值 i1 xn wi i1 這里為了與概率符號(hào)區(qū)別，以 i 表示權(quán)因子。 特別是等權(quán)測(cè)量條件下，有： vvvi2Min 以上最可信賴值是在殘差平方和或加權(quán)殘差平方和為最小的意義下求得的， 稱之為最小二乘法原理。它是以最小二乘方而得名。 為

4、從一組測(cè)量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，還可使用其它原理 例如 (1) 最小絕對(duì)殘差和法：vi Min (2) 最小最大殘差法： max vi Min (3) 最小廣義權(quán)差法： maxvi min vi Min 以上方法隨著電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用才逐漸引起注意，但最小二乘法便于解析， 至今仍用得最廣泛 3. 線性參數(shù)最小二乘法 先舉一個(gè)實(shí)際遇到的測(cè)量問(wèn)題，為精密測(cè)定三個(gè)電容值 : x1,x2,x3 采用的測(cè) 量方案是，分別等權(quán)、獨(dú)立測(cè)得 x1,x2,x1 x3,x2 x3, 列出待解的數(shù)學(xué)模型。 x1=0.3 x2 =-0.4 x1 + x3 =0.5 x2 + x3 =-0.3 這是一個(gè)超定方程組，即方程個(gè)

5、數(shù)多于待求量個(gè)數(shù)，不存在唯一的確定解， 事實(shí)上，考慮到測(cè)量有誤差，記它們的測(cè)量誤差分別為 v1,v2,v3,v4 ，按最小二乘 法原理 vi2 Min 分別對(duì) x1,x2 ,x3 求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零， 得如下的確定性方程 組。 ( x1 -0.3)+( x1+x3 -0.5)=0 ( x2 +0.4)+( x2 +x3 +0.3)=0 ( x1+x3 -0.5)+( x2 +x3 +0.3)=0 可求出唯一解 x1=0.325, x2 =-0.425, x3 =0.150 這組解稱之為原超定方程組 的最小二乘解。 以下，一般地討論線性參數(shù)測(cè)量方程組的最小二乘解及其精度估計(jì)。 一、正規(guī)方程組

6、 設(shè)線性測(cè)量方程組的一般形式為： yiai1x1 ai2 x2 ait xt (i 1,2, ,n) y1 a11 x1 a12x2a1t xt y 2 a 21 x1 a22x2a2t xt yn an1x1 an2x2ant xt 式中，有 n個(gè)直接測(cè)得值 y1,y2, ,yn，t 個(gè)待求量 x1,x2, ,xt 。nt, 各 yi等 權(quán)，無(wú)系統(tǒng)誤差和粗大誤差 固 yi 含有測(cè)量誤差， 每個(gè)測(cè)量方程都不嚴(yán)格成立， 故有相應(yīng)的測(cè)量殘差方程 t vi yiaij xj (i 1,2, , n) j1 yi 實(shí)測(cè)值 x j 待估計(jì)量，最佳估計(jì)值，最可信賴值 t aij x j 最可信賴的“ y”

7、值。 j1 按最小二乘法原理，待求的 x j 應(yīng)滿足 n n t vvvi2 yiaij xj 2 Min i 1 i 1 j 1 上式分別對(duì) xj 求偏導(dǎo)數(shù)，且令其等于零，經(jīng)推導(dǎo)得 a1a1x1a1a2 x2a1at xta1 y a2a1x1a2a2x2a2 at xta2 y ata1x1ata2x2atat xtat y 式中， aj， y分別為如下列向量 aj a1 j a2 j y y1 y2 an j yn alak和aj y分別為如下兩列向量的內(nèi)積： al ak =a1l a1k a2la2kanl ank aj y=a1jy1 a2jy2anjyn 正規(guī)方程組有如下特點(diǎn)： （

8、1）主對(duì)角線系數(shù)是測(cè)量方程組各列系數(shù)的平方和，全為正數(shù)。 （2）其它系數(shù)關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱 3）方程個(gè)數(shù)等于待求量個(gè)數(shù)，有唯一解 由此可見(jiàn)，線性測(cè)量方程組的最小二乘解歸結(jié)為對(duì)線性正規(guī)方程組的求解。 為了便于進(jìn)一步討論問(wèn)題，下面借助矩陣工具給出正規(guī)方程組的矩陣形式。 記列向量 Y yy1 y2 X x1 x2 v1 L= ll12 2 V v2 yn xt vn ln 和 n t 階矩陣 a11a12a1t A a21a22a2 t an1an 2ant 則測(cè)量方程組可記為： AX = Y 般意義下的方程組 測(cè)量殘差方程組記為 當(dāng)估計(jì)出的 xj 已經(jīng)是最可信賴的值，則 AX 是 yi 的最佳結(jié)果

9、最小二乘原理記為 (L- AX)T(L- AX) Min 利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有 (V TV ) 2 V V xx 2( LxT(XTxAT)(L- AX) xx 2 AT ( L - AX ) 2ATL- 2ATAX 令 （V TV ） 0 ，得正規(guī)方程組的矩陣形式。 x AT AX = AL 展開(kāi)系數(shù)矩陣 AT A和列向量 ATL ，可得代數(shù)形式的正規(guī)方程組。 上述和矩陣的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，因此，我們來(lái)分析“矩陣最小二乘法” 、矩陣最小二乘法 1. 矩陣的導(dǎo)數(shù) 設(shè)n t 階矩陣 a11a12a1t Ai a21a22a2t ani an2ant (aij ) (A1A2 At) n 階列向量（

10、n+1 階矩陣） V 和 t 階列向量 X v1 x1 V v2 X x2 vn xt 定義如下幾個(gè)導(dǎo)數(shù) （1）矩陣對(duì)標(biāo)量 x 的導(dǎo)數(shù) 矩陣內(nèi)A元素aij是x的函數(shù)，對(duì)矩陣 AX的導(dǎo)數(shù)，定義為各元素對(duì) x的導(dǎo)數(shù)， 構(gòu)成新的導(dǎo)數(shù)矩陣。 若 aij 是變量 x 的函數(shù)，則定義 dAdaij dx ( dx ) (E-1) （2）標(biāo)量函數(shù)對(duì)向量的導(dǎo)數(shù) 標(biāo)量函數(shù) ，對(duì)列向量 X 的導(dǎo)數(shù)，等于標(biāo)量函數(shù) xi（i 1 t）的導(dǎo)數(shù)組成的列向量（行向量的轉(zhuǎn)置） 對(duì)向量 X 的組成元素 yx ( xy xyxy)T xx1 x2xt (E-2) 標(biāo)量函數(shù) ，對(duì)行向量 XT 的導(dǎo)數(shù)，等于標(biāo)量函數(shù) 對(duì)向量 X 的組

11、成元素 xi（i 1t） 的導(dǎo)數(shù)組成的行向量 y xT ( y yy x1 x2xt ) ( yx)T x (E-3) （3）行（列）向量對(duì)列（行）向量的導(dǎo)數(shù) V T （v1v2 vn） 行向量V T對(duì)列向量 X的導(dǎo)數(shù)等于行向量各組成元素，對(duì)列向量各組成元素 分別求得 Vv1 T(T xv2T x xvTn )T x vx11 v1 xt v2 xt V T T X v2 x1 X x vn vn xi xt (E-5) v1 x2 vn x1 vi v2 xx vn x vn x2 (E-4) vn 關(guān)于矩陣的導(dǎo)數(shù)有如下性質(zhì)： 1）矩陣 A和B乘積對(duì)標(biāo)量 x 的導(dǎo)數(shù) d(AB) AdB dA

12、 B dx dx dx (E-6) (E-7) (E-8) (VTV) x =2 VTV x (E-9) (VXTTV) 2VT V XT (E-10) 2）常數(shù)陣的導(dǎo)數(shù)為零矩陣。 dA 0 dx 3）向量關(guān)于自身轉(zhuǎn)置向量的導(dǎo)數(shù)為單位方陣 X T = dX X = dX T 4）向量與向量轉(zhuǎn)置乘積的導(dǎo)數(shù) 5）關(guān)于常數(shù)矩陣與向量乘積的導(dǎo)數(shù) T (X TA) A (E-11) X T (ATX)= AT (E-12) XT T (VTAV)= 2 V AV XX (E-13) T (V T AV ) = 2V T A T (E-14) XX 利用（E-1）、（E-4）、和（ E-5）三個(gè)定義式，容

13、易證明式（ E-6）、（E-7）、 E-8）、和（ E-11）、（E-11）成立。 以下證明式（ E-9） 注意到式（ E-2）和式（ E-4）即， 標(biāo)量對(duì)列向量求導(dǎo) x( x1 x2 T ) xt (E-2) 行向量對(duì)列向量求導(dǎo) V X v1 v2vn 1 2Xn ) (1 XX x2 x2 (E-4) xt 式( E-9) 左 ( vi2 ) x 2v1 vi2vn vn xt xt v1vn x1x1 v1vn v1 2 VT V x xtxt vn 類似地，可以證得式（ E-10）成立。 再證明式（ E-13） 注意到V T AV是關(guān)于x的標(biāo)量函數(shù)，由式（ E-2）知，只需證明 (VT

14、AV ) 2 V T AV xixi a11 v1 a12 v2a1n vn 由于 VT (AxVi ) (v1v2 vn) xixixi v ann vin xi an1 v1an2 v2 xixi v1vn a11v1a1nv1 xi an1 v1 vna xi xi vn nnvn axi ( vi v2v x1 xi v1 xi v1 an1vn xi vn a11v1a1nv1 xi vn annvn xn a11v1a1nv1 n) an1vnannvn xi VT AV xi 所以式（ E-13）左 V AV +V xi T (AV) 2 VT AV 右 xi xi 2. 正規(guī)方

15、程 設(shè)線性測(cè)量方程組與基殘差方程組分別為 AX = Y L - AX = V (E-15) (E-16) 式中A為n t階常數(shù)矩陣，X為t 階待求向量，L是已知的n階的測(cè)量向量， 注意 l1,l2, ln均是已測(cè)量所得），V 是 n階殘差向量。 由最小二乘原理 VTV = (L- AX)T(L- AX) Min (VTV ) 2 V V XX 矩陣性質(zhì) (E-9) 式) 2( L(X A )(L AX ) XX 注意到式( E-7)即常數(shù)陣的導(dǎo)數(shù)為零矩陣。 LT X 注意到式( E-11)即 (X TA) A，故 X (X XA ) AT 所以 TT (VTV) 2AT(L - A) X 2(

16、ATL- AT AX) 令(V TV ) 0得正規(guī)方程組的矩陣形式 X ATA X = ATL(E-18) 當(dāng) AT A 滿秩的情形，可求出 T 1 T X (ATA) 1ATL(E-19) 般地，可從式(E-15)出發(fā)，用穩(wěn)定的數(shù)值解法， 計(jì)算 A 的廣義逆陣 A 1得 (E-20) 要進(jìn)一步去研究此問(wèn)題，可參閱有關(guān)近代矩陣分析及其數(shù)值方法的專著 3待求量 X 的協(xié)方差矩陣 已知測(cè)量向量 L 協(xié)方差矩陣 DL E( L EL)( L EL)T = Dl 11Dl12 Dl1n Dl 21Dl 22 Dl 2n Dl n1Dl n2 Dl nn 式中， Dl ii為lii 的方差： 22 Dl

17、ii E(li E(li )2i2 Dlij 為li 與l j的協(xié)的方差： Dlij ij i j 這里，假設(shè) l1,l2, ,ln 為等精度、獨(dú)立測(cè)量的結(jié)果，有 DL2I 利用式( E-19)待求量 X的協(xié)方差 E(X EX )(X EX)T T 1 T T 1 T T 1 T T 1 T T E( AT A) 1ATL E(ATA)1ATL)(ATA)1ATL E(ATA) 1ATL)T T 1 T T T 1 T T (ATA) 1(ATE(L- EL)(L- EL)T(ATA) 1ATT T 1 T T 1 T (ATA) 1ATDLA(AT A) 1)T T1 T T1 (ATA)

18、1 AT DLA( AT A) 1 T1 T 2 T1 =(ATA) 1AT 2IA(ATA) 1 所以 T 1 2 DX (AT A) 1 2 (E-21) 對(duì) X 的估計(jì)式（ E-19 ）求數(shù)學(xué)期望。 E(ATA)-1ATY) (AT A) (ATA) 1 (AT A) 1ATGT GA( AT A) 1 GGT ) iT AT EY (ATA) 1ATAx x 3 . 有效性 設(shè)另有 X 的無(wú)偏估計(jì) X*= GY 則有 EX GE Y GAX X 故 G A I 又 DX* D(GY) GGTDY GGT I 2 GGT 2 而DX (AT A) 1 2 引入單位向量 0 i1 0 其中

19、第 i 行為 1，其它為 0 Xi* 與 Xi 的方差分別為 i*2iGGT iT 2 i*2i (AT A) iT 2 以下證 i* 2i2 T T 1 T i(GGT (AT A) 1) iT i (AT A) 1AT G)( A( AT A) 1 GT) iT CC T 0 其中第一等式利用了 GA I ， C i ( AT A) 1AT G) 是一常數(shù)，故 C CT C2 。最后得證 X 的方差最小，即 X 的有效性成立。 4 . 充分性 y 取到了測(cè)量樣本 y1, y2, ,yn 中的所有信息，故按( E-18)式求得 x的估計(jì) 量，顯然也是充分的。 正是由于最小二乘法的解具有最佳性

20、， 所以，最小二乘法在精密測(cè)量的各個(gè) 領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。 三、精度估計(jì) 對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可信賴 值，還要確定其可信賴程度，即估計(jì)其精度。具體內(nèi)容包含有兩方面：一是估計(jì) 直接測(cè)量結(jié)果 y1, y2, , yn 的精度；二是估計(jì)待求量 x1,x2, ,xt 的精度。 1直接測(cè)量結(jié)果的精度估計(jì) 對(duì) t 個(gè)未知量的線性測(cè)量方程組 AX Y 進(jìn)行 n 次獨(dú)立的等精度測(cè)量，得 l1,l2, ,ln其殘余誤差 v1,v2, ,vn標(biāo)準(zhǔn)偏差 。如果 vi服從正態(tài)分布，那么vv 2服 從 2分布，其自由度 n-t ，有 2變量的數(shù)學(xué)期望 E vv/ 2 n t，以 S代

21、 。 即有 令 t=1 ，由上式又導(dǎo)出了 Bessel 公式 2待求量的精度估計(jì) 按照誤差傳播的觀點(diǎn)，估計(jì)量 x1,x2, ,xt 的精度取決于直接測(cè)量數(shù)據(jù) l1,l2, ,ln 的精度以及建立它們之間聯(lián)系的測(cè)量方程組。 可求待求量的協(xié)方差（見(jiàn)二 3） DX (AT A) 1 2 矩陣 d11 d12 d1t T1 d21 d22 d2t ( AT A ) dt1 dt2 dtt 各元素 dij可由矩陣 ATA 求逆得，也可由下列各方程組分別解得。 a1a1d 11 a1a2d12a1atd1t 1 a2a1d11 a2a2d12a2atd1t 0 ata1d11 ata2d12atatd1t

22、 0 a1a1d 21 a1a2d22a1atd2t 1 a2a1d21 a2a2d22a2at d2t 0 at a1d21 ata2d22atat d2t 0 a1a1d t1 a1a2dt2a1at dtt 1 (5-51) (5-52) a2a1dt1 a2a2dt 2a2at dtt 0 ata1dt1 ata2dt2atat dtt 0 是直接測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按 S vv 估計(jì) nt 待求量 xj 的方差 22 x2j d jj 2 (j 1,2, ,t) 矩陣(AT A) 1中對(duì)角元素 d jj就是誤差傳播系數(shù)。 待求量 xi 與 xj 的相關(guān)系數(shù)。 dij ij (i, j

23、 1,2, ,t) diid jj 現(xiàn)在，可以解決本節(jié)開(kāi)始提出的測(cè)量問(wèn)題 例 5-1 為精密測(cè)定 1 號(hào)、2 號(hào)和 3 號(hào)電容器的電容 x1, x2, x3 ，進(jìn)行了等權(quán)獨(dú) 立、無(wú)系統(tǒng)誤差的測(cè)量。測(cè)得 1號(hào)電容值 C1 =0.3 ，2 號(hào)電容值 C2=-0.4 ，1 號(hào)和 3 號(hào)并聯(lián)電容值 C3 =0.5 ， 2 號(hào)和 3 號(hào)并聯(lián)電容值 C4 =-0.3 。試用最小二乘法求 x1, x2, x3及其標(biāo)準(zhǔn)差。 解： 列出殘差方程組 v1 0.3 x1 v2 0.4 x2 v3 0.5 (x1 x2) v4 0.3 (x2 x3) 為計(jì)算方便，將數(shù)據(jù)列表如下： i ai1 ai2 ai3 yi a

24、i1ai1 ai1ai 2 ai1ai3 ai1yi ai2ai2 ai2ai 3 ai2yi ai3ai3 ai3yi 1 1 0 0 0.3 1 0 0 0.3 0 0 0 0 0 2 0 1 0 -0.4 0 0 0 0 1 0 -0.4 0 0 3 1 0 1 0.5 1 0 1 0.5 0 0 0 1 0.5 4 0 1 1 -0.3 0 0 0 0 1 1 -0.3 1 -0.3 2 0 1 0.8 2 1 -0.7 2 0.2 按上表計(jì)算正規(guī)方程組各系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)后，列出正規(guī)方程組 2x1 0 x2 x3 0.8 0 x1 2x2 x3 0.7 x1 x2 2x3 0.2 解出 x

25、1 =0.325, x2 =-0.425, x3 =0.150 代入殘差方程組，計(jì)算 v1 v2v3 v40.025 vv v12 v22 v32 v42 0.0025 0.0025 0.05 按式( 5-51 )，求出 d11 =0.75, d22 =0.75, d33 =1 按式( 5-52 )，求出 xj d jj x1 0.0433， x2 0.0433 ， x3 0.050 最后得 1 號(hào)、2號(hào)和 3 號(hào)電容器的精密電容值 x1 0.325 3 x1, x20.425 3 x2 ， x30.150 3 x3 也可以用矩陣形式，這里顯然： A 10 01 0 0 1 1 0.3 0.4

26、 Y 0.5 0.3 這樣可求得 AT ,AT A,( AT A) 1求逆陣： 則X (ATA) 1ATY 由 Y AX V 求得V vi (i 14) 由D (ATA) 1，djj可得d11,d22,d33 xj d jj 寫出結(jié)果 4 非線性參數(shù)的最小二乘法 在例 5-1 中，除了進(jìn)行 4 次測(cè)量外，又對(duì) 1 號(hào)和 2 號(hào)電容器的串聯(lián)電容 x1x2 /(x1 x2) 進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得 y5 ，方差仍為 2 ，那么如何處理呢？簡(jiǎn)單的辦法 是把它線性化。所謂線性化，就是在未知量的附近，按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)取一次項(xiàng)，然后按線性參數(shù)最小二乘法進(jìn)行迭代求解。 線性化的具體步驟如下： 設(shè)測(cè)量殘差方程組 yii

27、 (x1,x2, ,xt ) vi (4-1) (4-2) 則有 yii (x1,x2, ,xt ) vi i (C 1,C2, ,Ct) 1 x1 C xt t vi C yi yii (C1,C2, ,Ct ) (4-3) ai1 C ，ai2xi C ， aitxt (4-4) 取xj 的初始近似值 Cj記 j xj Cj 于是得線性化殘差方程組 yiai1 1ai2 2ait t vi (4-5) 作法：按線性參數(shù)最小二乘法解得j ，以至 xj，將此 xj 作為新的 Cj，按式 4-2 ），式（ 4-3 ），式（ 4-4 ）和式（ 4-5 ）進(jìn)行反復(fù)迭代求解，直至 j 符合精 度要求為

28、止。 例 5-2 在例 5-1 的基礎(chǔ)上，再增加一次測(cè)量串聯(lián)電容 x1x2 /（x1 x2） ，測(cè)得 y5 =0.14 。試用最小二乘法求 x1, x2 , x3及其標(biāo)準(zhǔn)差 解：先列出測(cè)量方程組 x1 =0.3 x1+x3 =0.5 x2 =-0.4 x2 +x3 =-0.3 x1x2 (x1 x2) 0.14 對(duì)前 4個(gè)線性測(cè)量方程組，按例 5-1 求出解，作為初次近似解 C1(1) 0.325, C2(1) 0.425, C3(1) 0.150 在(0.325,-0.425,0.150) 附近，取泰勒展開(kāi)的一階近似， y1 0.3 0.325 0.025, a111, a12 a13 0

29、x1 y2 0.4 0.425 0. 025, a21 a23 0, a 22 1 y 3 0.5 (0.325 0.150) 0.025, a31 a33 1, a 32 0 y4 0.3 ( 0.425 0.150) 0.025, a 41 0, a42 a43 1 0.325 0.425 y5 0.14 ( ) 1.24125 5 0.325 0.425 2 a51x2 2 18.0625 51 (x1 x2 )2 a52 2 x1 (x1 x2 )2 10.5625, 寫出線性化殘差方程組 A L V 1 0 0 0.025 v1 0 1 0 1 0.025 v2 1 0 1 2 0.

30、025 v3 0 1 1 3 0.025 v4 18.0625 10.5625 0 1.24125 v5 整理得正規(guī)方程組 328.254 190.785 1 1 22.4201 190.785 113.566 1 2 13.1107 1 1 2 3 0 解出 1 0.0473, 2 0.0363, 3 0.0418 取xj 的二次近似值 C1(2) C1(1) 1 0.2777, C2(2) C2(1) 2 0.4613, C3(2) 0.1918 重復(fù)上述過(guò)程再求出 1, 2 和 3 。 依次迭代結(jié)果如表所示 迭代次數(shù) 1 2 3 x1 x2 x3 0 0 0 0 0.325 -0.425

31、 0.150 1 -0.0473 -0.0363 0.0418 0.278 -0.461 0.192 2 -0.0713 -0.0373 0.0543 0.206 -0.499 0.246 3 -0.0472 -0.0555 0.0264 0.159 -0.504 0.273 4 0.00198 0.00105 -0.00628 0.161 -0.494 0.266 5 -0.00113 -0.00142 0.00127 0.160 -0.495 0.268 6 0.000315 0.000419 -0.000367 0.160 -0.495 0.267 可見(jiàn)，經(jīng) 6 次迭代，精度已達(dá) 10-

32、3，滿足要求即可結(jié)束迭代 5 組合測(cè)量問(wèn)題 所謂組合測(cè)量， 是指直接或間接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值， 從它們相互 組合所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中， 確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。 組合測(cè)量的問(wèn)題 常用最小二乘法， 以上兩節(jié)所舉精密測(cè)量電容值的問(wèn)題就是一例。 本節(jié)再介紹幾 個(gè)實(shí)例，以進(jìn)一步說(shuō)明組合測(cè)量方法的特點(diǎn)。 例 4-3 如圖所示，要求檢定線紋尺 0,1,2,3 刻線間的距離 x1,x2,x3。已知用組 全測(cè)量法測(cè)得圖所示刻線間隙的各種組合量。 L1=1.01, L2=0.98, L3=1.02 L4=2.02,L5=1.98,L6=3.03 解：按前述方法，可以解得 x1=1.028(0.01

33、1)，x2=0.983(0.011)，x3=1.013(0.011) 這里，著重說(shuō)明組合測(cè)量方法的優(yōu)點(diǎn)。 本例對(duì)刻度間隔 x1,x2與 x3分別測(cè)了 3 次，總共測(cè)量 6次 若不采用組合測(cè)量， 按每刻度間隔重復(fù)測(cè)量 3次計(jì)，共需作 9 次測(cè)量，比組 合測(cè)量法多測(cè) 3 次。如果待檢定的刻度間隔遠(yuǎn)多于 3 個(gè)。那么可以類似分析得出， 采用組合測(cè)量法可以大大減少測(cè)量次數(shù)，提高測(cè)量的工作效率。 本 例 測(cè) 量 方 程 的 個(gè) 數(shù) 是 6 ， 待 求 量 的 個(gè) 數(shù) 是 3 。 假 設(shè) v2 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v 。按 S 有 S 2v 。如果測(cè)量方程減少為 4 nt 個(gè)，那么有S2 4v2。如果兩種情形的誤差傳播系數(shù) djj相近，那么按式 xjdjj