點差法求橢圓中點弦

1、與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。若設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1, y1)、B(x2,y2)，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。本文用這種方法作一些解題的探索。一、以定點為中點的弦所在直線的方程2 2例1、過橢圓- y 1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦，使弦被 M點平分，求這條弦所在直線的方程。164解：設直

2、線與橢圓的交點為A(x1, y1)、B(x2, y2)M (2,1)為AB的中點x1x2 4y1 y2 2又A、B兩點在橢圓上，則2 2 2 2x_j 4y1 16， x2 4y2 16兩式相減得(x,2 x22)4( %2 y22)0于是 & X2)(X1 X2)4(% y2)(y1 y2) 0y1y2X1X241X1X24( y1y2)4 22即kAB1故所求直線的方程為y12Z(x 2)，即 x 2y 40。22例2、已知雙曲線x2 專 1，經(jīng)過點M (1,1)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于A、B，且點M是線段AB的中點。若存在這樣的直線 I，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略：

3、這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋達定理。解：設存在被點 M平分的弦AB，且A(x1, y1)、B(x2,y2)y1y2 22X1X2兩式相減，得(X1X2)(X1X2)1 (y1y2)(y1y2)0kABy1y2 22X1X2故直線AB : y12(x 1)y12(x1)由22 y1消去y，得 2x24x3 0X2(4)242 38 0這說明直線 AB與雙曲線不相交，故被點 M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線I。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的

4、M位置非常重要。(1)若中點M在圓錐曲線內(nèi)，則被點M平分的弦一般存在;(2)若中點M在圓錐曲線外，則被點 M平分的弦可能不存在。、過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡2 2例3、已知橢圓 1的一條弦的斜率為 3，它與直線x7525-的交點恰為這條弦的中點2，求點M的坐標。1解：設弦端點 P(x-,y-)、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中點 M(Xo,y。)，則 X。-2X1X22xo 1，y1y2 2yo2222又生X1 1y2X2175257525兩式相減得25(y1y2)(y1y2)75( x1 x2)(x-ix2) o即 2yo(y1y2)3( x1x2)oy1 y23X1X22yok

5、 y1y23313，即 yoX22 yo21 1點M的坐標為(-,-)。2 22例4、已知橢圓匚x21,求它的斜率為3的弦中點的軌跡方程。解：設弦端點P(x1，yj、Q(X2, y2)，弦PQ的中點M(x, y)，則x由y275y2x125，得P(532)Q(5235.3)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為 x y5.3、x V)三、求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點，一焦點為F(0, . 50)的橢圓被直線丨:y3x 2截得的弦的中點的橫坐標為1-，求橢圓的方程。2解：設橢圓的方程為2 2771，則 3250設弦端點P(x-|, y1)1X02y。3x022又y12X1

6、.21，ab兩式相減得b2(y12y22 aQg, y2)，弦 PQ 的中點 M(Xo, y。)，則2X2b2X1 X2 2X0 1，y1 y2 2ya2 (x-i x2 )(x-i x2)0即 b2(y1y2)a2(X1X2)022* y2aa 3Xx2b2b2聯(lián)立解得a275，b225y2)(y1y2)2 2 yx_所求橢圓的方程是7525X-Ix22x，y1y22y2222又y1X1 1，y2X2175257525兩式相減得25(y1y2)(y1y2)75(x1X2 )(X1X2)即yy2) 3x(x1X2)0，即y1y23xX1X2yk y1y2 33xi3，即xy 0X1X2y四、圓

7、錐曲線上兩點關于某直線對稱問題2 2例6、已知橢圓 1，試確定的m取值范圍，使得對于直線 y 4x m，橢圓上總有不同43的兩點關于該直線對稱。m的對稱兩點，P(x, y)為弦RF2的中點,解：設Pi(xi，yi)，F(xiàn)2(X2,y2)為橢圓上關于直線 y 4x2 2 2 2則 3xi 4yii2，3x2 4y2 i22y2 ) 02 2 2兩式相減得，3( xix2 ) 4( yi即 3(xi X2)(xi X2) 4(yiy2)(yi y?)xix22x， yi y2 2y，% y2 x2y 3x這就是弦RF2中點P軌跡方程。它與直線4x m的交點必須在橢圓內(nèi)3x4x，得xm y3m則必須滿足y22即(3m)3m2，解得42 i3i32-i3i3五、注意的問題(i)雙曲線的中點弦存