小學(xué)奧數(shù)舉一反三(五年級(jí)完整版)(同名644)

1、第 1 講 平均數(shù) （ 一 ） 一、知識(shí)要點(diǎn) 把幾個(gè)不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求得的 相等的數(shù)就是平均數(shù)。 如何靈活運(yùn)用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問(wèn)題呢？ 下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記： 平均數(shù)二總數(shù)量*總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量X平均數(shù) 二、精講精練 【例題 1】 有 4 箱水果，已知蘋(píng)果、梨、橘子平均每箱 42個(gè)，梨、橘子、桃平均每 箱 36 個(gè)，蘋(píng)果和桃平均每箱 37 個(gè)。一箱蘋(píng)果多少個(gè)？ 【思路導(dǎo)航】（1） 1箱蘋(píng)果+ 1箱梨+ 1箱橘子=42X 3=136 （個(gè)）; （2）1箱桃+ 1箱梨+ 1箱橘子=36X 3=108（個(gè)）（3）

2、 1箱蘋(píng)果+ 1箱桃=37X 2=72（個(gè)） 由（1）（2）兩個(gè)等式可知： 1 箱蘋(píng)果比 1 箱桃多 1 26 1 08= 1 8 （個(gè)） ，再根據(jù)等式（ 3）就可以算出： 1 箱桃有（ 74 18）十 2=28 （個(gè)），1 箱蘋(píng)果有 28 + 18=46 （個(gè)）。 1 箱蘋(píng)果和 1 箱桃共有多少個(gè)： 37X 2=74（個(gè)） 1箱蘋(píng)果比1箱桃多多少個(gè)：42X 3 36=18 （個(gè)） 1 箱蘋(píng)果有多少個(gè)： 28+18=46（個(gè)） 練習(xí) 1： 1. 一次考試，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁二 人平均分 95 分。問(wèn)：甲、丁各得多少分？ 2. 甲、乙、丙、丁四

3、人稱(chēng)體重，乙、丙、丁三人共重 120千克，甲、丙、丁三人共重 126千克，丙、丁二人的平均體重是 40千克。求四人的平均體重是多少千克？ 【例題 2】 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分；男生平均每人 90.5 分。求這個(gè)班男生有多少人？ 思路導(dǎo)航】 女生每人比全班平均分高 9291.2=0.8（分），而男生每人比全班平均 分低91.2 90.5=0.7 （分）。全體女生高出全班平均分 0.8 X 21=16.8 （分），應(yīng)補(bǔ)給每個(gè) 男生 0.7 分， 16.8 里包含有 24個(gè) 0.7，即全班有 24個(gè)男生。 練習(xí) 2： 1. 兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩

4、比賽，平均每人跳 152下。甲組有 6人，平均每人跳 140下，乙 組平均每人跳 160下。乙組有多少人？ 2. 有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是 92.5 千克，已知一塊地是 5畝，平均每畝產(chǎn)量是 101.5 千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是 85 千克。這塊田是多少畝？ 【例題 3】 某 3 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 2. 如果把其中一個(gè)數(shù)改為 4，平均數(shù)就變成了 3。被 改的數(shù)原來(lái)是多少？ 【思路導(dǎo)航】 原來(lái)三個(gè)數(shù)的和是 2X 3=6，后來(lái)三個(gè)數(shù)的和是 3X 3=9， 9 比 6 多出了 3. 是因?yàn)榘涯莻€(gè)數(shù)改成了 4。因此，原來(lái)的數(shù)應(yīng)該是 4 3=1。 練習(xí) 3： 1. 已知九個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 72. 去掉

5、一個(gè)數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是 78。去掉的數(shù)是 多少？ 2. 有五個(gè)數(shù)，平均數(shù)是 9。如果把其中的一個(gè)數(shù)改為 1. 那么這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為 8。 這個(gè)改動(dòng)的數(shù)原來(lái)是多少？ 【例題 4】 五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績(jī) 91.5 分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計(jì)算成績(jī)時(shí)將一位 同學(xué)的 98分誤作 89分計(jì)算了。經(jīng)重新計(jì)算，全班的平均成績(jī)是 91.7 分，五一班有多少 名同學(xué)？ 【思路導(dǎo)航】 98分比 89分多 9分。多算 9分就能使全班平均每人的成績(jī)上升 91.7 91.5=0.2 （分）。 9里面包含有幾個(gè) 0.2. 五一班就有幾名同學(xué)。 練習(xí) 4： 1. 五（1）班有 40人，期中數(shù)學(xué)考試，有 2名同學(xué)去參

6、加體育比賽而缺考，全班平均 分為 92分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為 100分，這次五（ 1）班同學(xué)期中考試的平均分是多 少分？ 2. 某班的一次測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)是 91.3 分。復(fù)查時(shí)發(fā)現(xiàn)把張靜的 89分誤看作 97分計(jì) 算，經(jīng)重新計(jì)算，該班平均成績(jī)是 91.1 分。問(wèn)全班有多少同學(xué)？ 【例題5】 把五個(gè)數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是 38。前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是27,后三 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是48。中間一個(gè)數(shù)是多少? 【思路導(dǎo)航】 先求出五個(gè)數(shù)的和：38 X 5=190,再求出前三個(gè)數(shù)的和：27X 3=81.后三 個(gè)數(shù)的和：48X 3=144。用前三個(gè)數(shù)的和加上后三個(gè)數(shù)的和，這樣，中間的那個(gè)數(shù)就算了 兩次，必

7、然比190多，而多出的部分就是所求的中間的一個(gè)數(shù)。 練習(xí)5: 1. 甲、乙、丙三人的平均年齡為 22歲，如果甲、乙的平均年齡是18歲，乙、丙的平 均年齡是25歲，那么乙的年齡是多少歲？ 2. 下圖中的O內(nèi)有五個(gè)數(shù) A B C、D E, 內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有O中的平均 數(shù)。求C是多少? 課后作業(yè) 1 r i5為甘詩(shī)散的逹續(xù) 2. 仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，看清所求圖形是由哪幾個(gè)基本圖形組合而成的; 3. 適當(dāng)采用增加輔助線等方法幫助解題; 4, 采用割、補(bǔ)、分解、代換等方法，可將復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。 、精講精練 【例題1】一個(gè)等腰直角三角形，最長(zhǎng)的邊是 12厘米，這個(gè)三角形的面積是多少平 方厘米?

8、【思路導(dǎo)航】 由于此三角形中只知道最長(zhǎng)的邊是12厘米，所以，不 能用三角形的面積公式來(lái)計(jì)算它的面積。 我們可以假設(shè)有4個(gè)這樣的三角 形，且拼成了下圖正方形。顯然，這個(gè)正方形的面積是12X 12.那么, 個(gè)三角形的面積就是12X12十4=36平方厘米。 練習(xí)1 : 1.求四邊形ABCD勺面積。（單位：厘米） 2. 已知正方形ABCD勺邊長(zhǎng)是7厘米，求正方形EFGH勺面積。 3厘米，那么面 3. 有一個(gè)梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加 積就增加4.5平方厘米。求原來(lái)梯形的面積。 【例題2】 正圖正方形中套著一個(gè)長(zhǎng)方形，正方形的邊長(zhǎng)是 12厘米，長(zhǎng)方形的四個(gè) 角的頂點(diǎn)把正方形的四

9、條邊各分成兩段， 其中長(zhǎng)的一段是短的2倍。求中間長(zhǎng)方形的面積。 【思路導(dǎo)航】圖中的兩個(gè)小三角形平移后可拼得一個(gè)小正方形，兩個(gè)大三角形平移后 可拼得一個(gè)大正方形。這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是12寧（1+ 2） =4（厘米）和 4X 2=8 （厘米）。中間長(zhǎng)方形的面積只要用總面積減去這兩個(gè)拼起來(lái)的正方形的面積就可 以得到。即：12X 12（ 4X 4+ 8X 8） =64 （平方厘米） 練習(xí)2: 1. （如下圖）已知大正方形的邊長(zhǎng)是 12厘米，求中間最小正方形的面積。 2. 正圖長(zhǎng)方形ABCD勺面積是16平方厘米，E、F都是所在邊的中點(diǎn)，求三角形 AEF的 面積。 3.求下圖（上右圖）長(zhǎng)方形 ABCD

10、勺面積（單位：厘米） 【例題3】四邊形ABCD和四邊形DEFC都是正方形，已知三角形AFH的面積是7平方 厘米。三角形CDH的面積是多少平方厘米？ 【思路導(dǎo)航】 設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)是a,小正方形的邊長(zhǎng)是b （1）梯形EFAD的面積是（a+b）x b十2.三角形EFC的面積也是（a+b）x b十2。所 以，兩者的面積相等。 （2）因?yàn)槿切蜛FH的面積二梯形EFAD的面積梯形EFHD的面 積，而三角形CDH的面積二三角形EFC的面積-梯形EFHD的面積，所 以，三角形CDH的面積與三角形AFH的面積相等，也是7平方厘米。 練習(xí)3: 1. 圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是 6厘米和4厘米，求陰影部分的面積

11、。 2. 下圖中兩個(gè)完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米） 3. 下圖中，甲三角形的面積比乙三角形的面積大多少平方厘米？ 【例題4】 下圖中正方形的邊長(zhǎng)為8厘米，CE為20厘米，梯形BCDF 的面積是多少平方厘米？ 【思路導(dǎo)航】要求梯形的面積，關(guān)鍵是要求出上底 FD的長(zhǎng)度。連接FC后就能得到一 個(gè)三角形EFC用三角形EBC的面積減去三角形FBC的面積就能得到三角形EFC的面積：8 X 20- 2- 8X 8-2=48平方厘米。FD=48X 2-20=4.8厘米，所求梯形的面積就是 （4.8 + 8） X 8-2=51.2平方厘米。 練習(xí)4: 1. 如下圖，正方形ABCD中

12、, AB=4厘米，EC=10厘米，求陰影部分的面積。 2. 在一個(gè)直角三角形鐵皮上剪下一塊正方形，并使正方形面積盡可能大，正方形的面 積是多少？（單位：厘米） 3. 圖中BC=10厘米，EC=8厘米，且陰影部分面積比三角形 EFG的面積大10平方厘米。 求平行四邊形的面積。 【例題5】 圖中ABCD1長(zhǎng)方形，三角形EFD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘 米，求ED的長(zhǎng)。. 【思路導(dǎo)航】因?yàn)槿切蜤FD的面積比三角形ABF的面積大6平方厘 米，所以，三角形BCE的面積比長(zhǎng)方形ABCD勺面積大6平方厘米。三角 A 丁 d 形BCE的面積是6X4 + 6=30平方厘米，EC的長(zhǎng)則是30X2-6=

13、10厘米。 b u 因此，ED的長(zhǎng)是10-4=6厘米。 練習(xí)5: 1. 如圖，平行四邊形BCEF中, BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，陰影部分面 積比三角形ADH勺面積大8平方厘米。求AH長(zhǎng)多少厘米？ 2. 圖中三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是1厘米、2厘米和3厘米，求圖中陰影部分的面積。 3. 正方形的邊長(zhǎng)是2（a+b），已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A 和C的和是多少平方厘米？ 第17講組合圖形的面積（二） 、知識(shí)要點(diǎn) 在組合圖形中，三角形的面積出現(xiàn)的機(jī)會(huì)很多，解題時(shí)我們還可以記住下面三點(diǎn): 1. 兩個(gè)三角形等底、等高，其面積相等； 2. 兩個(gè)三角形底相等，高成倍數(shù)關(guān)系

14、，面積也成倍數(shù)關(guān)系; 3. 兩個(gè)三角形高相等，底成倍數(shù)關(guān)系，面積也成倍數(shù)關(guān)系。 二、精講精練 【例題1】 如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的面積和。（單位：厘米） 【思路導(dǎo)航】按照一般解法，首先要求出梯形的面積，然后減 去空白部分的面積即得所求面積。其實(shí)，只要連接AC,顯然三角形 AEC與三角形DEC同底等高其面積相等，這樣，我們把兩個(gè)陰影部 分合成了一個(gè)三角形 ABC面積是：6X 3-2=9平方厘米。 練習(xí)1 : 1. 求下圖中陰影部分的面積 2. 求圖中陰影部分的面積。（單位：厘米） 中間有兩條寬 1米的走道，求植草的面積。 2D Ft米 【例題2】 下圖中，邊長(zhǎng)為10和15的兩個(gè)正方

15、體并放在一起，求三角形 ABC（陰影 15 A C 部分）的面積。 【思路導(dǎo)航】三角形ADC的面積是10X15十2=75,而三角形ABC 的高是三角形BCD高的15- 10=1.5倍，它們都以BC為邊為底，所以， 三角形ABC的面積是三角形BCD的 1.5倍。陰影部分的面積是：7.5 - （1 + 1.5 ） X 1.5=45。 練習(xí)2: 1. 下圖中，三角形ABC的面積是36平方厘米，三角形ABE與三角形AEC的面積相等, 如果AB=9厘米，F(xiàn)B=FE求三角形AFE的面積 比三角形AOD勺面積大多少平方厘米? D C 12 2. 圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。

16、 3. 圖中三角形ABC的面積是36平方厘米，AC長(zhǎng)8厘米，DE長(zhǎng)3厘米，求陰影部分的 面積（ADFC不是正方形）。 【例題3】?jī)蓷l對(duì)角線把梯形ABCD割成四個(gè)三角形。已知兩個(gè)三角形的面積（如 圖所示），求另兩個(gè)三角形的面積各是多少？（單位：平方厘米） 【思路導(dǎo)航】1.因?yàn)槿切蜛BD與三角形ACD等底等高，所以面積相等。因此，三角 形ABO勺面積和三角形DOCK面積相等，也是6平方厘米。 2.因?yàn)槿切蜝OC勺面積是三角形DOCS積的2倍，所以BO 的長(zhǎng)度是0D的2倍，即三角形ABC的面積也是三角形 AOD勺2倍。 所以，三角形AOD的面積是6寧2=3平方厘米。 練習(xí)3: 1. 如下圖，圖中

17、BO=2DO陰影部分的面積是4平方厘米，求梯形ABCD勺面積是多少 平方厘米？ 2. 下圖的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中點(diǎn)。那么梯形ABCD勺面積是 三角形BDEW積的多少倍？ 8厘米，求三角形BOC勺面積 3. 下圖梯形ABCD中, AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高 【例題4】 在三角形ABC中, DC=2BDCE=3AE陰影部分的面積是20平方厘米，求 三角形ABC的面積 【思路導(dǎo)航】(1)因?yàn)镃E=3AE所以，三角形ADC勺面積是 三角形ADE面積的4倍，是20X( 1 + 3) =80平方厘為； (2)又因?yàn)镈C=2BD所以，三角形ABD的面積是三角形ADC 面積的一半，是80- 2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面積是 80+ 40=120平方厘主。 練習(xí)4: 1. 把下圖三角形的底邊BC四等分，在下面括號(hào)里填上“”、“v”或“二”。 甲的面積()乙的面積。 2. 如圖，在三角形ABC中, D是BC的中點(diǎn)，E、F是AC的三等分點(diǎn)。已知三角形的面 積是108平方厘米，求三角形CDE的面積 3. 下圖中，BD=2厘米，DE=4厘米，EC=2厘米，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，三角形 ABC的BC邊 上的高是4厘米，陰影面積是多少平方厘米？ 【例題5】 邊長(zhǎng)是9厘米的正三角形的面積是邊長(zhǎng)為 3厘米的正 三角形面積的多少倍？ 【思路導(dǎo)航】題