第七屆華杯賽決賽二試試題及解答

1、第七屆華杯賽決賽二試試題及解答1. 某計算機(jī)接信息的速度為每秒 2.8字節(jié)，發(fā)送信息的速度為每秒 3.8字節(jié)?，F(xiàn)要從A處接收，往B處發(fā)送，并還要將機(jī)內(nèi)儲存的 58千字節(jié)的信息也發(fā)送B處。如果發(fā)送、接收輪流進(jìn)行，每次發(fā)與收各 10秒鐘， 問：（1）若先發(fā)送，經(jīng)過多少秒恰好將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完？（2）若先接收，經(jīng)過多少秒恰好將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完 ?（結(jié)果保留分?jǐn)?shù)）2. 在三角 ABC中, D, E 是 BC邊上的點，BD=ABCE=AC又/ DAE= / BAC 求/ BAC的度數(shù)。3.152個球。放入若干個同樣的箱子中，一個箱子最少放10個，最多放 20個，且各個箱子的球數(shù)均不相同。 問：有多少

2、種放法?（不計箱子的排 列，即兩種放法，若經(jīng)過箱子的重新排列后，是一樣的，就算一種放法）4.A , B兩地相距125千米，甲、乙二人騎自行車分別從 A, B兩地同時 出發(fā)，相向而行。丙騎摩托車每小時行63千米，與甲同時從A出發(fā)，在甲、乙二人間來回穿梭（與乙相遇立即返回，與甲相遇也立即返回）， 若甲車速每小時9千米，且當(dāng)丙第二次回到甲處時（甲、丙同時出發(fā)的 那一次為丙第0次回到甲處），甲、乙二人相距45千米，問：當(dāng)甲、乙 二人相距20千米時，甲與丙相距多少千米？5.3個三位數(shù)乘積的算式 一 工=234235286,（其中abc）在 校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤， 但是知道最后一位6是正

3、 確的。問：原式中的A是多少？6.對干自然數(shù)a,、丄表示a的各位數(shù)字之和。求同時滿足下列條件的所 有的自然數(shù)a（1）a為奇數(shù)，且不是3的倍數(shù)；（2）七=mK50, m為自然數(shù)。1.【解】1）先發(fā)送10秒，發(fā)出：10X 3.8 = 38千字節(jié)，還剩：58- 38=20千字節(jié)，以后每20秒（收、發(fā)各10秒），可發(fā)機(jī)內(nèi)儲存的10X （3.8 2.8） = 10千字節(jié)，因此，將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完需要 10+ 2X 20= 50 秒，2）每20秒（收、發(fā)各10秒），可發(fā)機(jī)內(nèi)儲存的10千字節(jié)100秒可發(fā)機(jī) 內(nèi)儲存的50千字節(jié)還剩58 50 = 8千字節(jié)，再過10秒，又輸入28（=此，將機(jī)內(nèi)儲存的信息送完需

4、要100+ 10+9-119-1.=秒.需要2.8 X 10）千字節(jié)，共有8+ 28 = 36千字節(jié)2.【解】設(shè)/ BAE / EAD / DAC分別為a ,卩，丫，貝廿卩=亍(a + B 十 Y )，即 2 B = a + y.由 A吐 BDW, a + B =Z BDAf y +/G 由 CE= AG得，B + y =/ CEA= a +/ B,十得，a + y+ 2B= / B+/ C+ a + y ,兩邊再加上 B 得，a + Y+ 3B=/B+Z C+Z BAG 180 由于上式即，5 B = 180180所以 3B= X 3= 108，即Z BAG 108。3.【解】設(shè)箱子個數(shù)為m

5、因為每只箱子的球數(shù)均不相同，最少放10個，最多放20個，所以me2010+ 1= 11.如果 11,即么球的總數(shù)A 10X 11+ (0 + 1 + 2+ 10) = 110 + 55 152所以mnc 10.如果 mnc 9,那么球的總數(shù)w 10X 9+ (10 + 9+8+ 2) = 90 + 54=144152所以10,在 m= 10 時，10X 10+ (10 +9+ 1) = 155= 152 + 3,所以一個箱子放10個球，其余箱子分別放11, 12, 14, 15, 16, 17,18, 19, 20個球，總數(shù)恰好為152,而且符合要求的放法也只有這一種4.【解】先求乙的速度，設(shè)

6、乙的速度為甲的K倍，丙與乙相遇時甲行 S千米，則這時丙行7S千米，乙行KS千米，于是7S+ KS= 125(1)這時甲丙相距6S( = 7S S)千米，丙第一次回到甲處時，甲又向前行 6S333+ (7 + 1) = S(千米)，丙行=SX 7(千米)，乙行, SX K(千米)，所以甲、333乙相距.SX 7 SX K= S(7 K)(2)即(將(1)代入(2)消去S)4J+K x 125（千米）【注】（3）中的125，如果改成其他數(shù)（例如A、A兩地原來相距250千米）.推導(dǎo)完全一樣，于是，在丙第二次回到甲處時，甲、乙相距X 125（千米）（4）（推導(dǎo)與上面完全一樣，只是125千米換成了 41

7、7 +疋丿x 125千米）根據(jù)已知條件:4遼+疋丿x 4遼+懇丿x 125= 45即:口_瓷 4于是（只取正值） V +瓷丿= （7）7從而 K=7即乙的速度是每小時：:X 9= 7（千米）當(dāng)丙第三次回到甲處時，甲、乙相距X 45= 27（千米）.41? +疋丿 x 45= 4 x 5 x 45= 5丙第四次回到甲處時，甲、乙相距381-x 27=V 20（千米）.因此，甲、乙相距20千米發(fā)生在丙第四次回到甲處之前，即他們都應(yīng) 從丙第四次回到甲處這事往回倒退。由于811920-=，199而甲、乙速度之比是9 : 7.所以甲應(yīng)退:X ? -丙的速度是甲的7倍，所以丙應(yīng)退甲的7倍，E _L 171

8、從而在甲、乙相距20米時，甲丙相距 X ：X (1 + 7)=:(千 米)5.【解】考慮除以9的余數(shù)，我們用x三y(mod9)表示x,y除以9的余數(shù)相同，也就是x-y是9的倍數(shù)，讀作x與y模9 同余熟知一個自然數(shù)與它的數(shù)字和模9同余，所以23423528時2+ 3+4 + 2 十 3+5 + 2 + 8+ 6三8(mod 9)一.】-三(a + b+ c) 3(mod 9)于是(a + b+ c)3三8(mod 9)從而(用a + b + c三0, 1, 2,，8代入上式檢驗)a+b+ c三2, 5, 8(mod 9)(1)對a進(jìn)行討論如果 a= 9，那么 b +2, 5, 8(mod 9)(

9、2)又cxaXb的個位數(shù)字是6，所以bxC=4X 1 = 7X2= 8X3= 6X4其中只有(b , c) = (4 , 1) , (8 , 3)符合，經(jīng)檢驗只有 983X 839X 398=328245326符合題意如果 a= 8，那么 b + c= 3, 6, O(mod9)(3)又 bX c= 2X 1 = 4X 3= 6X 2= 7X 6= 7X 1,其中只有 (b , c) = (2 , 1),符合經(jīng)檢驗=921 ,不合題意如果 a= 7 ,那么 b + c三4 , 7 , 1(mod 9)(4)又bXc= 4X2=6X3,其中沒有符合 (4)的b、c如果 a 6 ,那么 一一 UV

10、 700X 600X 500= 210000000V222334586,因此這時門不可能符合題意。綜上所述，= 983是本題唯一的解本題采用枚舉法(也稱為窮舉法)，分情況進(jìn)行討論，這是一種極常用的 方法.6.【解】如果a是一位數(shù)，那么（2）顯然滿足（-=1），由（1） , a= 1,5, 7。如果a是兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y+ 二 +）由于a不是3的倍數(shù)，所以Sa也不是3的倍數(shù)。但七=m是自然數(shù)，所 以是自然數(shù)，即9x被x + y整除。因為Sa= x + y不是3的倍數(shù)，即x + y與9互質(zhì)，所以x被x + y整除。但a是奇數(shù)，所以討豐0, xv x+ y, x不可能被x + y整

11、除。因此a不可能是兩位數(shù)。如果a是四位以上的數(shù)，設(shè) a= 1000x + 100y十10z + u,其中y,z,u都是數(shù)字，x 是自然數(shù)，則 Sax+ y + z+u,由(2) , 1000x十 100y+ 10z+ uv 50(x + y 十 z 十 u)于是 950v 950x + 50yv40z + 50uv 400 + 500= 900 矛盾，因此 a 不可能 是四位以上的數(shù)。如果a是三位數(shù)，設(shè)a= 100+ 10y+ 10z, x、y、z都是數(shù)字，xh0,則 Sa= x+ y + z,100x + 10+z _w+90j-9Z _1q + 9(10j-z)仃匸 上 i.9(10i-z)lOz-z與前面的推理相同，一-是奇數(shù)，而且由于，m 50,所以: 40v v5,lOzz從而，/沁-* = 1或3(1)以下分兩種情況來求(1)的解(a) 1Ox -z = x + y+z,即 9x = y + 2z(2)在x = 1時，由可得z = 1, y = 7或者z = 3, y = 3(注意a為奇數(shù)，所 以z是奇數(shù))，其中第一組得出a= 117是3的倍數(shù)不合要求.在 x = 2 時，由(2)可得 z = 5, y = 8(不合要求)；z= 7,y = 4; z = 9, y=0.在x = 3時，由(2)得x = y