43.構(gòu)造長方體.巧解特殊四面體的外接球問題

1、中國高考數(shù)學(xué)母題一千題(第0001號)愿與您共建真實的中國高考數(shù)學(xué)母題(楊培明構(gòu)造長方體.巧解特殊四面體的外接球問題巧用特殊四面體的母體.妙解外接球問題 特殊四面體的外接球問題是高考的熱點問題,構(gòu)造特殊四面體的母體(長方體)是解決該類問題的有力方法.與圓類比可建立母題模型如下:母題結(jié)構(gòu):項目圓球模型1.任何長方形都有唯一的外接圓,長方形對角線的交點為其外接圓的圓心;2.長方形對角線為其外接圓的直徑;如果長方形的長、寬分別為a、b,則其外接圓半徑r=.特別地邊長為a的正方形外接圓的半徑r=a.3.以長方形的四個頂點為頂點的三角形的外接圓與矩形的外接圓相同.1.任何長方體

2、都有唯一的外接球,長方體對角線的交點為其外接球的球心;2.長方體對角線為其外接球的直徑,如果長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則其接球的半徑r=.特別地棱長為a的正方體外接球的半徑r=a.3.以長方體的八個頂點為頂點的多面體的外接球與長方體的外接球相同.解題程序:因以長方體的八個頂點為頂點的多面體的外接球與長方體的外接球相同,所以,把特殊的四面體放置到長方體(含正方體)中是求解這些四面體外接球問題的絕巧. 1.正四面體 子題類型:(2006年湖南高考試題)棱長為2的正四面體的4個頂點都在同一球面上,若過該球球心的一個截面如圖,則圖中三角形(正四面體的截面)的面積是( )(a) (b) (c)

3、 (d)解析:把正四面體abcd補(bǔ)形為正方體,如圖,則正四面體abcd的外接球球心也是正方體的中心o,且正方體的棱長=過a、b、o三點的截面為abf,其中,ef=正方體的棱長=abf面積=.故選(b).點評:棱長為a的正四面體的外接球半徑r=a.該結(jié)論具有理解記憶價值. 2.直四面體 子題類型:(2012年遼寧高考試題)已知正三棱錐p-abc,點p,a,b,c都在半徑為的球面上,若pa,pb,pc兩兩互相垂直,則球心到截面abc的距離為 .解析:以pa,pb,pc為棱構(gòu)造如圖所示的正方體,則pd1為球的直徑,pd1的中點o為球心,由pd1=2pa=pb=pc=2,由等積法可得三棱錐p-abc的

4、高h(yuǎn)=球心o到平面abc的距離為=pd1-h=.點評:若三棱錐p-abc的三條側(cè)棱pa,pb,pc兩兩互相垂直,且pa=a,pb=b,pc=c,則三棱錐p-abc的外接球半徑r=. 3.“鱉臑”體 子題類型:(2008年浙江高考試題)如圖,己知球o的面上四點a、b、c、d,da平面abc,abbc,da=ab=bc=,則球o的體積等于 .解析:把四面體abcd補(bǔ)形為長方體,則四面體abcd的外接球與長方體的外接球相同;由da=ab=bc=該長方體是棱長為的正方體球o的半徑r=a=球o的體積v=.點評:四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,在四面體abcd中,ab平面bcd,bccd,若ab=

5、a,bc=b,cd=c,則四面體abcd的外接球半徑r=. 4.子題系列:1.(2011年湖北高考試題)設(shè)球的體積為v1,它的內(nèi)接正方體的體積為v2,下列說法中最合適的是( )(a)v1比v2大約多一半 (b)v1比v2大約多兩倍半 (c)v1比v2大約多一倍 (d)v1比v2大約多一倍半2.(2006年廣東高考試題)若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積是 .3.(1995年全國高考試題)正方體的全面積是a2,它的頂點都在球面上,這個球的表面積是( )(a)a2 (b)a2 (c)2a2 (d)3a24.(2001年北京、內(nèi)蒙古、安徽春招試題)己知球內(nèi)接正方體的表面積為s,那

6、么球體積等于 .5.(1998年第九屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題)正方體與其外接球的體積之比是 .6.(2006年福建高考試題)己知正方體外接球的體積是,那么正方體的棱長等于( )(a)2 (b) (c) (d)7.(2013年天津高考試題)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上.若球的體積為,則正方體的棱長為 .8.(2008年天津高考試題)一個正方體的各頂點均在同一球的球面上,若該球的體積為4,則該正方體的表面積為 .9.(2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東初賽試題)設(shè)半徑為10厘米的球中有一個棱長為整數(shù)(厘米)的正方體,則該正方體的棱長最大等于 .10.(2007年湖南高考試題)(文)棱

7、長為的1正方體abcd-a1b1c1d1的8個頂點都在球o的表面上,e、f分別是aa1、dd1的中點,則直線ef被球o截得的線段長為( ) (a) (b)1 (c)1+ (d)11.(2007年湖南高考試題)(理)棱長為1的正方體abcd-a1b1c1d1的8個頂點都在球o的表面上,則球o的表面積是 ;設(shè)e、f分別是該正方體的棱aa1、dd1的中點,則直線ef被球o截得的線段長為 .12.(1999年第十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題)棱長為1的正方體和它的外接球與一個平面相交得到的截面是一個圓及它的內(nèi)接正三角形,那么球心到該截面的距離等于( ) (a) (b) (c) (d)13.(19

8、87年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試題)正四面體abcd的四個頂點在半徑為r的球上,則ab的長為( )(a)r (b)r (c)r (d)r14.(2007年第十八屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題)正四面體的棱長為a,則它的外接球的表面積等于( )(a)a2 (b)a2 (c)a2 (d)a215.(2003年全國高考試題)一個四面體的所有棱長為,4個頂點在同一球面上,則此球的表面積為( )(a)3 (b)4 (c)3 (d)6aebcd16.(2006年山東高考試題)如圖,在等腰梯形abcd中,ab=2cd=2,dab=600,e為ab的中點.將ade與bec分別沿ed、ec向上折起,使a

9、、b重合于點p,則三棱錐p-dce的外接球的體積為( )(a) (b) (c) (d)17.(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽遼寧初賽試題)正四面體abcd的外接球球心為o,e為bc中點,則二面角a-bo-e的大小為 .18.(1991年全國高考試題)在球面上有四個點p、a、b、c,如果pa、pb、pc兩兩垂直,且pa=pb=pc=a,那么,這個球面的面積是 .19.(2008年福建高考試題)若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直,且側(cè)棱長均為,則其外接球的表面積是 .20.(2010年課標(biāo)高考試題)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為( )(a)3a2 (b)6a2

10、(c)12a2 (d)24a221.(1997年全國高考試題)長方體一個頂點上三條棱的長分別為3,4,5,且它的八個頂點都在同一個球面上,這個球的表面積是( )(a)20 (b)25 (c)50 (d)20022.(2007年天津高考試題)一個長方體的各頂點均在同一球的球面上,且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3,則此球的表面積為 .23.(2006年全國i高考試題)己知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積是( )(a)16 (b)20 (c)24 (d)3224.(2007年全國高考試題)一個正四棱柱的各頂點在一個直徑為2cm的球面上.如果正四棱柱的底面邊長

11、為1cm,那么該棱柱的表面積為 cm2.25.(2014年陜西高考試題)已知底面邊長為1,側(cè)棱長為的正四棱柱的各個頂點均在同一個球面上,則該球的體積為( )(a) (b)4 (c)2 (d)26.(1989年上海市高中數(shù)學(xué)競賽(新知杯)試題)點p在直徑為1的球面上,過p作兩兩垂直的三條弦.若其中一條弦長是另一條弦長的2倍,則這三條弦長的和的最大值是 .27.(2010年遼寧高考試題)已知s、a、b、c是球o表面上的點,sa平面abc,abbc,sa=ab=1,bc=,則球o的表面積等于( )(a)4 (b)3 (c)2 (d)28.(2012年遼寧高考試題)已知點p,a,b,c,d是球o表面上

12、的點,pa平面abcd,四邊形abcd是邊長為2正方形.若pa=2,則oab的面積為 . 5.子題詳解:1.解:設(shè)正方體的棱長為a,則外接球的半徑r=av1=r3=a3,v2=a3=2.6.故選(b).2.解:由r=a=s=27.3.解:由6x2=a2正方體的棱長x=ar=a=as=a2.故選(b).4.解:由6a2=sr=a=v=. 5.解:由r=a=.6.解:由r3=r=2a=.故選(d). 7.解:由r3=r=a=.8.解:由r3=4r=a=26a2=24.9.解:設(shè)正方體的棱長為a,因為正方體的對角線長不大于球的直徑,所以,a20,即amax=11.10.解:由o到直線ef的距離d=截

13、得的線段=2=.故選(d).11.解:由r=s=3;截得的線段長=.12.解:由截面是內(nèi)接四面體的一面球心到該截面的距離=正方體對角線的=.故選(c).13.解:由r=aa=r.故選(c). 14.解:由r=as=a2.故選(d).15.解:由s=a2=3.故選(a).16.解:由所得三棱錐為棱長為1的正四面體r=a=v=.故選(c).17.解:設(shè)bh平面acd于h,則二面角a-bo-e的大小=ahc=1200.18.解:補(bǔ)形成正方體,則r=as=3a2. 19.解:由r=a=s=3a2=9.20.解:由r=s=(a2+b2+c2)=6a2.故選(b).21.解:由s=(a2+b2+c2)=50.故選(c). 22.解:由s=(a2+b2+c2)=14.23.解:由4a2