22排列組合.資料

1、排列組合排列組合是組合學(xué)最基本的概念。所謂排列，就是指從給定個(gè)數(shù)的元素中取出指定個(gè)數(shù)的元素進(jìn)行排序。 組合則是指從給定個(gè)數(shù)的元素中僅僅取出指定個(gè)數(shù)的元素，不考慮排序。 排列組合的中心問(wèn)題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。1. 小新、阿呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排；（2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間（3）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間（4）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊（5）七個(gè)人排成一排，小新、阿呆都沒(méi)有站在邊上（6） 七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人（7） 七個(gè)人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人小新、阿呆不在同

2、一排?！窘馕觥浚?） P7 =5040 （種）。（2） 只需排其余6個(gè)人站剩下的6個(gè)位置.P6 =720 （種）（3） 先確定中間的位置站誰(shuí)，冉排剩下的6個(gè)位置.2X再=1440（種）.（4） 先排兩邊，再排剩下的 5個(gè)位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置.2 P用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)比 20000大且百位數(shù)字不是 3的無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類(lèi)來(lái)看：把3排在最高位上，其余 4個(gè)數(shù)可以任意放到其余4個(gè)數(shù)位上，是 4個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有P： =4 3 2 1=24（種）放法，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)； 把2, 4, 5放在最高位上，有 3種選擇，百位上有除已

3、確定的最高位數(shù)字和3之外的3個(gè)數(shù)字可以3選擇，有3種選擇，其余的3個(gè)數(shù)字可以任意放到其余 3個(gè)數(shù)位上，有P3 =6種選擇由乘法原理，可 以組成3 3 6 =54（個(gè)）不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成 24 *54 =78（個(gè)）不同的五位數(shù)。 用0到9十個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個(gè) 數(shù)？【解析】從高位到低位逐層分類(lèi): =240 （種）.（5） 先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個(gè)人中選2人，再排剩下的5個(gè)人，P52戌=2400 （種）（6） 七個(gè)人排成一排時(shí)，7個(gè)位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個(gè)人，7個(gè)位置還是各不相同的

4、，所以本題實(shí)質(zhì)就是7個(gè)元素的全排列.P7 =5040 （種）（7） 可以分為兩類(lèi)情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對(duì)等的，所5以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可.4X3X F5 X2= 2880（種）.排隊(duì)問(wèn)題，一般先考慮特殊情況再去全排列。2. 用1、2、3、4、5、6可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的個(gè)位是5的三位數(shù)？【解析】 個(gè)位數(shù)字已知，問(wèn)題變成從從5個(gè)元素中取2個(gè)元素的排列問(wèn)題， 已知n=5 , m = 2，根據(jù)排列數(shù)公式， 一共可以組成F52 =5 4 =20 （個(gè)）符合題意的三位數(shù)。千位上排1 , 2 , 3或4時(shí)，千位有4種選擇，而百、十、個(gè)位可以

5、從 09中除千位已確定的數(shù)字之外的9個(gè)數(shù)字中選擇，因?yàn)閿?shù)字不重復(fù)，也就是從9個(gè)元素中取3個(gè)的排列問(wèn)題，所以百、十、個(gè)位可有P93 =9 8 7 =504（種）排列方式由乘法原理，有4 504 =2016（個(gè)）.千位上排5，百位上排04時(shí)，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個(gè)位可以從剩下的八個(gè)數(shù) 字中選擇.也就是從8個(gè)元素中取2個(gè)的排列問(wèn)題，即Pa2 =8 7 =56,由乘法原理，有1556 =2 8（個(gè)）千位上排5，百位上排6，十位上排0, 1 , 2 , 3, 4 , 7時(shí)，個(gè)位也從剩下的七個(gè)數(shù)字中選擇，有1 1 6 7 =42（個(gè)）. 千位上排5，百位上排6，十位上排8時(shí)，比5687小的

6、數(shù)的個(gè)位可以選擇 0, 1 , 2 , 3 , 4共5個(gè).綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016 280 42 *5 =2343（個(gè)），故比5687小是第2344個(gè)四位數(shù).5. 用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字，不許重復(fù)，位數(shù)不限，能寫(xiě)出多少個(gè)3的倍數(shù)？【解析】 按位數(shù)來(lái)分類(lèi)考慮：一位數(shù)只有1個(gè)3 ; 兩位數(shù)：由1與2 , 1與5 , 2與4 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成P22 =2 1=2（個(gè)）不同的兩位數(shù)，共可組成 2 4 =8（個(gè)）不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由1 , 2與3 ； 1 , 3與5 ； 2 , 3與4 ; 3 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成 P3 =3 2 1=

7、6（個(gè)）不同的三位數(shù)，共可組成 6 4=24 （個(gè)）不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由1 , 2 , 4 , 5這四個(gè)數(shù)字組成，有 P： =4 3 2 1 =24（個(gè)）不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由1 , 2 , 3 , 4 , 5組成，共有 P5=5 4 3 2 1 =120（個(gè)）不同的五位數(shù). 由加法原理，一共有18 2424 120 =177（個(gè)）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).6. 用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)不同的偶數(shù)？【解析】由于組成偶數(shù)，個(gè)位上的數(shù)應(yīng)從2 , 4 , 6中選一張，有3種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張，有F5

8、2 -5 4 =20（種）選法由乘法原理，一共可以組成3 20 =60（個(gè)）不同的偶數(shù).7. 某管理員忘記了自己小保險(xiǎn)柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個(gè)非0數(shù)碼組成，且四個(gè)數(shù)碼之和是 9，那么確保打開(kāi)保險(xiǎn)柜至少要試幾次？【解析】四個(gè)非0數(shù)碼之和等于9的組合有1, 1, 1, 6； 1 , 1, 2, 5； 1, 1, 3, 4； 1, 2, 2, 4； 1, 2, 3, 3； 2, 2, 2, 3 六種。第一種中，可以組成多少個(gè)密碼呢？只要考慮6的位置就可以了， 6可以任意選擇4個(gè)位置中的一個(gè)，其余位置放1 ,共有4種選擇；第二種中，先考慮放2，有 4種選擇，再考慮5的位置，可以有3種選擇，剩下的位

9、置放1，共有4 3=12（種）選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放 2，共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4 T2 T2 12 12 4=56（個(gè)）不同的四位數(shù)，即確保能打開(kāi)保險(xiǎn)柜至少要試56次.8. 兩對(duì)三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個(gè)人都不與自己的同胞兄妹相鄰，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個(gè)位置在6個(gè)人中任選一個(gè)，有 C：=6（種）選法，第二個(gè)位置在另一胞胎的3人中任選一個(gè)，有C；=3（種）選法同理，第3 , 4 , 5 , 6個(gè)位置依次有2

10、 , 2 , 1 , 1種選法由乘法原理，不同的坐法 z 1 1 1 1 1 1 有 P6 XP3 :P2 ： （b d f）的差為0或11的倍數(shù)且a、b、c、d、e、f 均不為0，任何一個(gè)數(shù)作為首位都是一個(gè)六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內(nèi)，b、d、f奇數(shù)位內(nèi)的組內(nèi)交換，有 戌x戌=36種順序； 再考慮形如badcfe這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調(diào)換，也有戌x P3=36種順序。所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+ 36= 72個(gè)能被11整除的數(shù)（包含原來(lái)的abcdef） 所以最少還能排出 72-仁71個(gè)能被11整除的六位數(shù)。11.如圖所示，用長(zhǎng)短相同的火柴棍擺成3x佃96的方

11、格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍a)橫放需1996X4根，豎放需1997 X3根共需 1996X4+ 1997 X3=13975 根。12. 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢問(wèn)成績(jī)，回答者對(duì)甲說(shuō)：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這個(gè)回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？b）這道題乍一看不太像是排列問(wèn)題，這就需要靈活地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化仔細(xì)審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價(jià)于5人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排

12、法數(shù)，因?yàn)橐业南拗谱疃?，所以先排乙，?種排法，再排甲，也有 3種排法，剩下的人隨意排，有P3=3 2 1=6（種）排法由乘法原理，一共有 3 3 6 =54（種）不同的排法。13. 4名男生，5名女生，全體排成一行，問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起；男女相間.【解析】 先排甲，9個(gè)位置除了中間和兩端之外的6個(gè)位置都可以，有6種選擇，剩下的8個(gè)人隨意排，也就是8個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有 P8 =8 765432 1 =40320（種）選擇.由乘法原理, 共有 6 40320 =241920（種）排法.甲、乙先排，有 =2 1

13、=2（種）排法；剩下的7個(gè)人隨意排，有P77 =7 6 5 4 3 2 1=5040（種）排法.由乘法原理，共有 2 5040 =10080（種）排法. 分別把男生、女生看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，有P2 =2 1=2（種）不同排列方法，再分別對(duì)男生、女生內(nèi)部進(jìn)行排列，分別是 4個(gè)元素與5個(gè)元素的全排列問(wèn)題，分別有P4=4 3 2 1 =24（種）和 F5 =5 4 3 2 1 =120 （種）排法.由乘法原理，共有 2 24 120 =5760 （種）排法. 先排4名男生，有F44 =4 3 2 1 =24（種）排法，再把5名女生排到5個(gè)空檔中，有5F5 =5 4 3 2 1 =120（種）排法.

14、由乘法原理，一共有24 120 =2880（種）排法。14. 五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。c） 五位同學(xué)的排列方式共有5X4X3X2X1= 120 （種）。如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4X3X2X1=24 （種）。因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24X2=48（種）;貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48= 72 （種）。15. 一臺(tái)晚會(huì)上有6個(gè)演唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目.求： 當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)

15、目之間至少安排 1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將4個(gè)舞蹈節(jié)目看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，則是 7個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有F77=7! = 7 6 5 4 3 2 1 =5（種4）方法.第二步再排4個(gè)舞蹈節(jié)目，也就是 4個(gè)舞蹈節(jié)4目全排列的問(wèn)題，有 P4 =4! =4 3 2 1 =24（種）方法.根據(jù)乘法原理，一共有 5040 24 =120960（種）方法. 首先將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列（如下圖中的“” ），是6個(gè)元素全排列的問(wèn)題，一共有F66 =6! =6 5 4 3 2 1 =720（種）方法.XXXXXXX第二步，再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或2個(gè)演唱

16、節(jié)目之間（即上圖中“X”的位置），這相當(dāng)于從7個(gè)“X”中選4個(gè)來(lái)排，一共有 =7 6 5 4 =840（種）方法.根據(jù)乘法原理，一共有 720 840 =604800（種）方法。16. 由4個(gè)不同的獨(dú)唱節(jié)目和 3個(gè)不同的合唱節(jié)目組成一臺(tái)晚會(huì)，要求任意兩個(gè)合唱節(jié)目不相鄰，開(kāi)始和最后一個(gè)節(jié)目必須是合唱，則這臺(tái)晚會(huì)節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨(dú)唱節(jié)目，四個(gè)節(jié)目隨意排，是4個(gè)元素全排列的問(wèn)題，有 P4 =4 3 2 1 =24種排法；其次在獨(dú)唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個(gè)節(jié)目，兩個(gè)位置，也就是從三個(gè)節(jié)目選兩個(gè)進(jìn)行排列的問(wèn)題，有F32 =3 2=6（種）排法；再在獨(dú)唱節(jié)目之間的 3個(gè)位置中排

17、一個(gè)合唱節(jié)目，有 3種排法由乘法原理，一共有24 6 3 =432 （種）不同的編排方法.【小結(jié)】 排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本題中，獨(dú)唱節(jié)目排好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來(lái)確定排法了總的排列數(shù)用乘法原理把若干個(gè)排列數(shù)相乘，得出最后的答案。17從1, 2,，8中任取3個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個(gè)？（只要求列式）從8位候選人中任選三位分別任團(tuán)支書(shū)，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？3位同學(xué)坐8個(gè)座位，每個(gè)座位坐 1人，共有幾種坐法？8個(gè)人坐3個(gè)座位，每個(gè)座位坐 1人，共有多少種坐法？一火車(chē)站有8股車(chē)道，停放3列火車(chē)，有多少種不同的

18、停放方法？8種不同的菜籽，任選 3種種在不同土質(zhì)的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】 按順序，有百位、十位、個(gè)位三個(gè)位置，8個(gè)數(shù)字（8個(gè)元素）取出3個(gè)往上排，有P3種.3種職務(wù)3個(gè)位置，從8位候選人（8個(gè)元素）任取3位往上排，有P8種.3位同學(xué)看成是三個(gè)位置，任取8個(gè)座位號(hào)（8個(gè)元素）中的3個(gè)往上排（座號(hào)找人），每確定一種號(hào)碼即對(duì)應(yīng)一種坐法，有 P8種.3個(gè)坐位排號(hào)1, 2, 3三個(gè)位置，從8人中任取3個(gè)往上排（人找座位），有診種.3列火車(chē)編為1, 2, 3號(hào)，從8股車(chē)道中任取3股往上排，共有 P3種.土地編1, 2, 3號(hào)，從8種菜籽中任選3種往上排，有P3種。18. 現(xiàn)有男同學(xué)3人，

19、女同學(xué)4人（女同學(xué)中有一人叫王紅），從中選出男女同學(xué)各 2人，分別參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、 音樂(lè)、美術(shù)四個(gè)興趣小組：（1）共有多少種選法？（2） 其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種？（3） 參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種？（4） 參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種？3式24漢3【解析】（1）從3個(gè)男同學(xué)中選出2人，有 =3種選法。從4個(gè)女同學(xué)中選出2人，有=6種選法。2 2在四個(gè)人確定的情況下，參加四個(gè)不同的小組有4 X3X2 X1=24種選法。3X6 X24=432,所以共有 432種選法。（2） 在四個(gè)人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)有2

20、X3X2X仁12種選法。3X6X12=216，所以其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有216種。（3） 考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時(shí)的選法，此時(shí)的問(wèn)題相當(dāng)于從3個(gè)男同學(xué)中選出2人，從3個(gè)女同 學(xué)中選出1人，3個(gè)人參加3個(gè)小組時(shí)的選法。3X3X3X2 X1 = 54，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅時(shí)的選法有54種，432-54=378,所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有 378種。（4） 考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法，此時(shí)的問(wèn)題相當(dāng)于從3個(gè)男同 學(xué)中選出2人參加兩個(gè)不同的小組，從 3個(gè)女同學(xué)中選出1人參加美術(shù)小組時(shí)的選法。3X2X3=18，所以參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美

21、術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法有18種，216-18= 198,所以參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有198種。19. 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成 3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的 48名選手分成8個(gè)小組，每 組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將 8個(gè)小組產(chǎn)生的前 2名共16人再分成4個(gè)小組，每組4人，分別進(jìn) 行單循環(huán)賽；第三階段：由 4個(gè)小組產(chǎn)生的4個(gè)第1名進(jìn)行2場(chǎng)半決賽和2場(chǎng)決賽，確定1至4名的名次.問(wèn)：整 個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？265【解析】第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的6個(gè)人每2人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽C6二- =15場(chǎng)，共8個(gè)小組，有2況115 8 =

22、120場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部 4人中每2人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽 C：=4 3=6場(chǎng)，共4個(gè)小組, 2匯1有6 4 =24場(chǎng)；第三階段賽2 2=4場(chǎng)根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有120 24 *4=148場(chǎng)比賽。20. 由數(shù)字1, 2, 3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1, 2, 3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 個(gè)。（2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽 ）【解析】 這是一道組合計(jì)數(shù)問(wèn)題由于題目中僅要求1, 2 , 3至少各出現(xiàn)一次，沒(méi)有確定1 , 2 , 3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類(lèi)枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由1,2,3組成的五位數(shù)中，去掉僅有1個(gè)或2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可.1

23、（法1）分兩類(lèi)：1 , 2 , 3中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn) 3次，這樣的數(shù)有C3 5 4=60（個(gè)）；1 , 2 , 3中有 兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn) 2次，這樣的數(shù)有 c3 5 C： =90（個(gè)）.符合題意的五位數(shù)共有 60 90 =150（個(gè)）.（法2）從反面想，由1 , 2 , 3組成的五位數(shù)共有 35個(gè)，由1, 2 , 3中的某2個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有53 （2 一2）個(gè)，由1，2，3中的某1個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有3 -3 （2 -2） -3 =150（個(gè)）。21. 10個(gè)人圍成一圈，從中選出兩個(gè)不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】（法1）乘法原理按題意，分別站在每個(gè)

24、人的立場(chǎng)上，當(dāng)自己被選中后，另一個(gè)被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個(gè)人都有7種選擇，總共就有7 10=70種選擇，但是需要注意的是，選擇的過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來(lái)是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結(jié)果應(yīng)該是 （10-1-1-1） 10=-2 =35（種）.（法2）排除法.可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為G0，而被選的兩個(gè)人相鄰的情況有10種，所以共有 G2。-10=45 -10 =35（種）。22. 8個(gè)人站隊(duì)，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰， 小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共

25、有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個(gè)人選定了三個(gè)位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇.小慧和大智不能相鄰的互補(bǔ)事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個(gè)條件的站法總數(shù)為：C； P2 C4 P2 P3 = 3360 （種）同時(shí)滿足第一、三個(gè)條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C； P2宵P； P；=960 （種）因此同時(shí)滿足三個(gè)條件的站法總數(shù)為：3360 -960 =2400 （種）。23. 小明有10塊大白兔奶糖，從今天起，每天至少吃一塊那么他一共有多少種不同的吃法？【解析】我們將1

26、0塊大白兔奶糖從左至右排成一列，如果在其中9個(gè)間隙中的某個(gè)位置插入“木棍”，則將10塊糖分成了兩部分。我們記從左至右 第1部分是第1天吃的，第2部分是第2天吃的，如：OOQOOOOOO表示第一天吃3T粒，第二天吃了剩下的7粒：OOO（DOOQOOO表示第一天吃了 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒.不難知曉，每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法 ，而9個(gè)間隙，每個(gè)間隙可以插人也可以不插入，且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法，即512種不同的吃法。24. 小紅有10塊糖，每天至少吃 1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】分三種情況來(lái)考慮： 當(dāng)小紅最多一天吃 4塊時(shí)，其余各每

27、天吃1塊，吃4塊的這天可以是這七天里的任何一天，有7種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃3塊時(shí)，必有一天吃2塊，其余五天每天吃1塊，先選吃3塊的那天，有7種選擇， 再選吃2塊的那天，有6種選擇，由乘法原理，有 7 6 =42種吃法； 當(dāng)小紅最多一天吃2塊時(shí)，必有三天每天吃 2塊，其四天每天吃 1塊，從7天中選3天，有376 5C7 =35（種）吃法。3 2 1根據(jù)加法原理，小紅一共有7 42 35=84（種）不同的吃法.還可以用擋板法來(lái)解這道題，10塊糖有9個(gè)空，選6個(gè)空放擋板，有 C；二C=84（種）不同的吃法。25. 把20個(gè)蘋(píng)果分給3個(gè)小朋友，每人最少分 3個(gè)，可以有多少種不同的分法？d）（法1）

28、先給每人2個(gè)，還有14個(gè)蘋(píng)果，每人至少分一個(gè)，13個(gè)空插2個(gè)板，有C；3=78種分法.（法2）也可以按分蘋(píng)果最多的人分的個(gè)數(shù)分類(lèi)枚舉?！眷柟獭?有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】如圖：OQOOQOOOO,將0粒糖如下圖所示排成一排，這樣每?jī)深w之間共有 9個(gè)空，從頭開(kāi)始吃, 若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫(huà)一條豎線隔開(kāi)表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉 的，九個(gè)空中畫(huà)兩條豎線，一共有9 8亠2=36種方法.26. 某池塘中有 A B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3個(gè)成人和2個(gè) 兒童要分乘這些游船， 為安全起見(jiàn)，有兒

29、童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們5人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐 C船.若這5人都不乘坐C船，則恰好坐滿A、B兩船，若兩個(gè)兒童在同一條船上， 只能在A船上，此時(shí)A 船上還必須有1個(gè)成人，有c3=3種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上， 即分別在A、B兩船上，則B 船上有1個(gè)兒童和1個(gè)成人，1個(gè)兒童有C；=2種選擇，1個(gè)成人有C3=3種選擇，所以有 2X3=6種方 法故5人都不乘坐C船有3 9種安全方法；若這5人中有1人乘坐C船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有 C3=3種選擇其余的2個(gè)成人與2個(gè)兒童， 若兩個(gè)兒

30、童在同一條船上，只能在A船上，此時(shí)A船上還必須有1個(gè)成人，有C； =2種方法，所以此時(shí)有3 2 =6種方法；若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么B船上有1個(gè)兒童和1個(gè)成人，此時(shí)1個(gè)兒童和1個(gè)成人均有 C； =2種選擇，所以此種情況下有3 2 2 =12種方法；故5人中有1人乘坐C船有6 -12=18種安全方法所以，共有 9 -18=27種安全乘法.27. 從10名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽.在下列條件下，分別有多少種選法？恰有3名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥壳∮?名女生入選，說(shuō)

31、明男生有 5人入選，應(yīng)為C83 C；o =14112種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒(méi)有女生入選”都不符合要求運(yùn)用包含與 排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C18 -Go - C10 C8 - 43758 ；4人必須入選，則從剩下的 14人中再選出另外4人，有=1001種;從所有的選法C18種中減去這4個(gè)人同時(shí)入選的 C打種：84C18 C14 =43758 -1001 =42757 .分三類(lèi)情況：4人無(wú)人入選；4人僅有1人入選；4人中有2人入選，共:C： - C4 C： C： C： = 34749。28. 在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科

32、主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？ 有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生； 既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；至少有一名主任參加； 既有主任，又有外科醫(yī)生。36疋5 4【解析】 先從6名內(nèi)科醫(yī)生中選3名，有C：二一=20種選法；再?gòu)?名外科醫(yī)生中選2名，3匯2江1共14頁(yè)第7頁(yè)共有c4 =4 =6種選法根據(jù)乘法原理，一共有選派方法20 6 =120種.2x1 用“去雜法”較方便，先考慮從10名醫(yī)生中任意選派5人，有 d10 9 8 7 6 =252種選派方5疋4漢3漢2 乂 1法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內(nèi)科醫(yī)生的情況由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只派外科醫(yī)生如果只

33、派內(nèi)科醫(yī)生，有C；二C： =6種選派方法所以，一共有 252 6=246種既有內(nèi)科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。 如果選1名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選4人，有2 C4 -2 8 7 6 5 =140種選派方法；如果4漢3匯2x1選2名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選3人，有1 C； =1 8 7 6 =56種選派方法.根據(jù)加法原理,3x2x1一共有140 56 =196種選派方法.49 8 7 6C9126種選取萬(wàn)法；3 2 14人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有分兩類(lèi)討論： 若選外科主任，則其余 4人可任意選取，有4C8 - C5 若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余=65種選取法.根據(jù)加

34、法原理，一共有 126 65 =191種選派方法。29. 在10名學(xué)生中，有5人會(huì)裝電腦，有3人會(huì)安裝音響設(shè)備，其余 2人既會(huì)安裝電腦，又會(huì)安裝音響設(shè)備，今選派由6人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3人，安裝音響設(shè)備要 3人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項(xiàng)技術(shù)的學(xué)生分類(lèi)：35 汽4 X3 兩人都不選派，有 C3 = 5=10（種）選派方法；3匯2匯1 兩人中選派1人，有2種選法而針對(duì)此人的任務(wù)又分兩類(lèi)：25X4若此人要安裝電腦，貝U還需2人安裝電腦，有C54=10（種）選法，而另外會(huì)安裝音響設(shè)備的 3人2X1全選派上，只有1種選法由乘法原理，有 10 1=10（種）選法；若此人安

35、裝音響設(shè)備，則還需從3人中選2人安裝音響設(shè)備，有口 =3（種）選法，需從5人中2漢135疋4工3選3人安裝電腦，有 c45 4 3 =10（種）選法由乘法原理，有 3 10 =30（種）選法.3漢2江1根據(jù)加法原理，有1030 =40（種）選法；綜上所述，一共有 2 40 =80（種）選派方法. 兩人全派，針對(duì)兩人的任務(wù)可分類(lèi)討論如下： 兩人全安裝電腦，則還需要從 5人中選1人安裝電腦，另外會(huì)安裝音響設(shè)備的3人全選上安裝音響設(shè)備，有5 1 =5（種）選派方案；22543漢2 兩人一個(gè)安裝電腦，一個(gè)安裝音響設(shè)備，有C5 C3 = =60（種）選派方案；2X12江135漢4漢3 兩人全安裝音響設(shè)備

36、，有 3 C5 =3 =30（種）選派方案.3江2乂1根據(jù)加法原理，共有 560 395 （種）選派方案.綜合以上所述，符合條件的方案一共有 10 8095 =185（種）30. 有11名外語(yǔ)翻譯人員，其中 5名是英語(yǔ)翻譯員，4名是日語(yǔ)翻譯員，另外兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通從中找 出8人，使他們組成兩個(gè)翻譯小組，其中 4人翻譯英文，另 4人翻譯日文，這兩個(gè)小組能同時(shí)工作問(wèn)這樣的分 配名單共可以開(kāi)出多少?gòu)?？【解析?針對(duì)兩名英語(yǔ)、日語(yǔ)都精通人員（以下稱(chēng)多面手）的參考情況分成三類(lèi)： 多面手不參加，則需從 5名英語(yǔ)翻譯員中選出 4人，有C；=C5=5種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中 選出4人，有1種選擇由乘法

37、原理，有 5 1=5種選擇. 多面手中有一人入選，有 2種選擇，而選出的這個(gè)人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從 5名英語(yǔ)翻譯員中再選出 3人，有C； =5 4 3 =10種選擇，需從4名日3x 2x1語(yǔ)翻譯員中選出4人，有1種選擇由乘法原理，有 2 10 1 =20種選擇；如果參加日文翻譯，則需從 5名英語(yǔ)翻譯員中選出 4人，有C：=C5=5種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯 員中再選出3名，有C： =C4 =4種選擇由乘法原理，有 2 5 4 =40種選擇根據(jù)加法原理，多面 手中有一人入選，有 20 40 =60種選擇. 多面手中兩人均入選，對(duì)應(yīng)一種選擇，但此時(shí)又分三種情況：兩

38、人都譯英文；兩人都譯日文；兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種.斤乂 d情況中，還需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出 2人，有Cl二-=10種選擇.需從4名日語(yǔ)翻譯員中選 42X1人，1種選擇.由乘法原理，有 1 10 1=10種選擇.情況中，需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出 4人，有C；=C5=5種選擇.還需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出2 人，有C： =4 3 =6種選擇.根據(jù)乘法原理，共有 1 5 6=30種選擇.2漢1情況中，兩人各譯一個(gè)語(yǔ)種，有兩種安排即兩種選擇.剩下的需從5名英語(yǔ)翻譯員中選出 3人，有蘭空5=10種選擇，需從4名日語(yǔ)翻譯員中選出 3人，有C：=c4=4種選擇.由乘法原理，3 X2 匯1有1 2 10 4=80種

39、選擇.根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有10 30 8120種選擇.綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開(kāi)出5 60 120 =185張.31. 下圖中共有個(gè)正方形?！窘馕觥?每個(gè)4 4正方形中有：邊長(zhǎng)為1的正方形有42個(gè)；邊長(zhǎng)為2的正方形有32個(gè)；邊長(zhǎng)為3的正方形有22 個(gè)；邊長(zhǎng)為4的正方形有12個(gè)；總共有42 32 22 12 =30（個(gè)）正方形.現(xiàn)有5個(gè)4 4的正方形，它們 重疊部分是4個(gè)2 2的正方形.因此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是30 5 -5 4 =130 。32. 在圖中（單位：厘米）： 一共有幾個(gè)長(zhǎng)方形？ 所有這些長(zhǎng)方形面積的和是多少51281-24r1_二3【解析】 一

40、共有（43 2 1） （43 2 1100（個(gè)）長(zhǎng)方形;所求的和是512 8 1(512)(12 8)(8 1) (5 12 8) (128 1) (5 128 1)247 3(24)(47)(73) (24 7)(473) (24 73)= 144 86 =12384 (平方厘米)。33. 由20個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè) 4 5長(zhǎng)方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長(zhǎng)方形(含正方形)共有個(gè)，它們的面積總和是 。(第六屆走美決賽試題)【解析】 含的一行內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(八種)含的一列內(nèi)所有可能的長(zhǎng)方形有：(六種)所以總共長(zhǎng)方形有 6 8 =48個(gè)，面積總和為(1 2 23 3 4 4

41、 5) (1 2 2 3 3 4360。34. 圖中共有多少個(gè)三角形?Ae)顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類(lèi)，兩類(lèi)中三角形的個(gè)數(shù)相等.尖向上的三角形又可分為6類(lèi)(1) 最大的三角形1個(gè)(即ABC),(2) 第二大的三角形有 3個(gè)(3) 第三大的三角形有 6個(gè)(4) 第四大的三角形有 10個(gè)(5) 第五大的三角形有 15個(gè)(6) 最小的三角形有24個(gè)所以尖向上的三角形共有 1 + 3+ 6+ 10+ 15+24= 59 (個(gè))圖中共有三角形 2 X59= 118 (個(gè))。35. 一個(gè)圓上有12個(gè)點(diǎn)Ai, A2, A3,，An, A12以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂 點(diǎn)，且

42、各個(gè)三角形的邊都不相交問(wèn)共有多少種不同的連法？【解析】我們采用遞推的方法.I如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法.n如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除Al點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè) 點(diǎn)一定只能在 A1所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法。氽下點(diǎn).妣3131Ai31I川如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮Ai所在的三角形.此時(shí)，其余的 6個(gè)點(diǎn)可能分布在: Ai所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上； 也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上. 在表2中用“ +”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧.如果是情形，則由n,這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形，則由，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法.川所在

43、三竜形余下點(diǎn)數(shù)種數(shù).41 ?! 2 363.41 占 p63沖1血Aq63沖內(nèi)血3 + 3113 + 31.4仏為3 + 31表2共有12種連法.9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能:W最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)同樣考慮Ai所在三角形，剩下9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上: 有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；.4,所在三角形余下點(diǎn)數(shù)種散912松電丸歳9129r 123 + 636 + 333 + 63“MM池3 + 63為3 + 63AjAAa6 + 333 + 3 + 3J農(nóng)3 每三個(gè)點(diǎn)在 Ai所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上.得到表3.共有 12X3+3X6+1 = 55 種.所以當(dāng)圓周上有12個(gè)點(diǎn)時(shí)，滿足題意的

44、連法有 55種。36.用2 , 3 , 4, 5排成四位數(shù)：1）共有多少個(gè)四位數(shù)?（2）無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（3）無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個(gè)？（4）2在3的左邊的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（5）2在千位上的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？（6）5不在十位、個(gè)位上的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個(gè)？【解析】 條件中未限制“無(wú)重復(fù)數(shù)字”，所以，數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)，如 2 234 ,3 355 ,2 444 ,5 555等. 依分步計(jì)數(shù)乘法原理共有 4 4 4 4 =44 （個(gè)）4 P4 =24 （個(gè)）個(gè)位上只能是2或4，有2P； =12 （個(gè)）所有四位數(shù)中，2在3的左邊或2在3的右邊的數(shù)各占一半，

45、共有 -P44 =12 （個(gè)）22在千位上，只有1種方法，此后34、只能在另外的3個(gè)位置上排列，有 P；=6 （個(gè)）法一：5不在十位、個(gè)位上，所以 5只能在千位上或百位上，有 2P3=12 （個(gè)）5432法二：從P5中減去不合要求的（5在十位上、個(gè)位上），有P4 -2P3 =2P2 =12 （個(gè)）。37. 如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長(zhǎng)度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長(zhǎng)方形的個(gè)數(shù)，以及所有長(zhǎng)方形面積的和。5T9141【解析】利用長(zhǎng)方形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有 m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn

46、個(gè)，所以有（4+3+ 2+ 1）X（4+ 3+2+ 1 ）= 100,這些長(zhǎng)方形的面積和為：（5+7+ 9+2+ 12+ 16+ 11+ 21 +18+23）X（4+6+ 5+ 1+ 10+ 11+ 6+ 15+ 12+ 16） = 124 X86= 10664。38. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】 初看本題似乎覺(jué)得很好入手，比如可以按天數(shù)進(jìn)行分類(lèi)枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10= 1+9= 2+ 8=9+1; 當(dāng)枚舉到3天吃完的時(shí)，情況就有點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜了，叫人無(wú)所適從所以我們必須換一種角度來(lái)思考. 不妨從具體的例子入手

47、來(lái)分析，比如這10塊糖分4天吃完：第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊.我們可以將10個(gè)“O”代表10粒糖，把10個(gè)“O”排成一排，“O”之間共有9個(gè)空位，若相鄰兩塊糖 是分在兩天吃的，就在其間畫(huà)一條豎線 （如下圖）.O0DO 10000比如上圖就表示“第 1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊.”這樣一來(lái)，每一種吃糖的方法就對(duì)應(yīng)著一種“在9個(gè)空位中插入若干個(gè)|的方法”，要求有多少個(gè)不同的吃法，就是要求在這 9個(gè)空位中插入若干個(gè)“的方法數(shù)。由于每個(gè)空位都有畫(huà)與“不畫(huà)兩種可能:OQ.OQQQQQQQ每個(gè)空位都有畫(huà)“ |”與不畫(huà)“|”兩種可能根據(jù)乘法原理，在這 9個(gè)

48、空位中畫(huà)若干個(gè)“的方法數(shù)有：2 2 22=29=512，這也就說(shuō)明吃完910顆糖共有512種不同的吃法。39. 用3根等長(zhǎng)的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更大的等邊三角形如果這個(gè)大等邊三角形的每邊由 20根火柴組成，那么一共要用多少 根火柴？f） 把大的等邊三角形分為“ 20”層分別計(jì)算火柴的根數(shù)：最上一層只用了 3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了3 X2= 6根；從上向下數(shù)第二層用了3 X3= 9根；從上向下數(shù)第二層用了3 X20= 60根；所以總共要用火柴3 x（1+2+3+20） =630。月測(cè)備選40. 書(shū)架上有3本故事書(shū)，2本作文選和1本漫畫(huà)書(shū)，全部豎起來(lái)排成一排。如果同類(lèi)的書(shū)不分開(kāi)，一共有多少種排法？如果同類(lèi)的書(shū)可以分開(kāi)，一共有多種排法？g） 可以分三步來(lái)排：先排故事書(shū)，有P3 =3 2 1=6（種）排法；再排作文選，有 F22=2 1=2（種）排法；最后排漫畫(huà)書(shū)有1種排法，而排故事書(shū)、作文選、漫畫(huà)書(shū)的先后順序也可以相互交換，排列的先后順序3有F3=3 2 1=6（種）.故由乘法原理，一共有