96學(xué)年下學(xué)期期末考復(fù)習(xí)資料-義守大學(xué)

1、96學(xué)年第二學(xué)期義守大學(xué)資工1C微積分期末考複習(xí)資料姓名:學(xué)號:陳柏頴老師命題算題1.求曲線與廠兀所圍區(qū)域之面積。兩曲線之交黠An swer:廠P，宀“0,廠XA： = 0, +1, -1，故面積：X dx八匸I=匸（x X）dx + 工（X 兀）dx=（扣-詞|:+伊-4%= - T-Tr T-7才+亍=亍平方單位。2.試證半徑爲(wèi)r之圓面積爲(wèi)更嚴(yán)OAn swer:故圓面積為第象限面積之四倍。面積* chc r cos 3 dO 令令X =尸sin 3 當(dāng)x = 0時，當(dāng)x = r時，故兄=4 匸 J* a dfr = 4&2 一嚴(yán) sir? 0 - r cos 0 dO=4 r *1 sin

2、- 0 * r cos 0 dOT+C0S2&必0=44*0+譽= 4r(手)=砒2平方單位0 3.(/!)求心臟線1 CO5。於&=行與 g號I用之區(qū)域ISJ積-Answer: (a) r = 1 COS 0 為一心臟線嚴(yán)如=+ 庫(1 - cos 0? dOJT22Jo1ff2Jo1r22Jo132213J2cos0+coQ 0) dO2 cos 0 + + 羅筲 dO1= 2 cos +* cos 20 dO7LT2sinF +瓦 sin20夢一1平方單位。4.求心臟線-cosO,求此心臟線所圍之面積。An swer:Jo2122 13兀Q de = + 律(1 cos 0)2 dO0

3、2 sin0 + -sin20乎平方單位。2jr5-求拋物線y=x- * X軸及直線x=2所圍區(qū)域繞X軸旋轉(zhuǎn)之體積。XX-I子+ XAn swer:繞X軸旋轉(zhuǎn)之體 y= 匸717 tZv = 匸 心號 dx=dx = 7lJf（25_o）=晉立方單位6.7.試?yán)脠A柱殼法，求曲線 y = r=4,jt = 0，所圍區(qū)域繞X軸旋轉(zhuǎn)之體積。An swer: P = f切石甥=加審亍妙=罟咒求極座標(biāo)方程式sl-co$6於00花之弧長。8.Answer: E =ff)2 + (1 cos= J； J2-2亦MB 二 2；sin -d6二 4c02求由函數(shù)/與g之圖形所圍區(qū)域之面積：= F - 6F +

4、9或兀)=H -3兀Answer: 了(力+12x =歡兀-3)仃-4)x0,3x = 4 + 40,=(;？+12力必 +(-/ E -12x)必興/ 170I 43丿814-63 + 54 -0 + 1-64 +14.7 4448 _-9630j49.求曲線y = X繞0 X1及X軸旋轉(zhuǎn)之曲面面積。必=2血計：xdx =忑霓。,1 ( Answer:曲面面積 S二 J 2初J1+ 0必丿10.求曲線y = 4呂十1 從點(0, 1)至點(1, 5)之弧長 Answer:曲線 y = 4x + 1，如下圖奘=6富由（1）式得S=二 Jl 十（6;?r dx=丄，Jl 十36Mx 二煤弓（1+

5、咖寺135(37F-1單位。11.設(shè)=isinj+a ，求 。Answer: |z + flcos j)dx Qdx寸(兀)二 b 匚osx 口 sin X,；./(X)= =(i cos X-asm x) A-龍 只12.計算曲線：y =/=-，所圍區(qū)域之面積。Answer: A= 化sin 曲=sm x + co5吧 =2氣-413.試?yán)脠A柱殼法，求曲線y = JxTm = 5=0，所圍區(qū)域繞丫軸旋轉(zhuǎn)之體積。An swer:r =- Wx(令整=X -1,血=dx)14.設(shè)二-3 + ;?+2Hs2x + ;uin 2x，求了店1止1/2丿0(w + X)/udu = 2環(huán)2 I 2 I

6、甘+ 窣Jo55L/2真*544=150Answer: /(f)df 二 2乳-4血 2x+in 2兀 + 2xco X必0= 2-71 y(x) = 2-6cos2z + 2cos2孟-4jrsin 2x,15.求極座標(biāo)方程式f = 3 + 2 cos S所圍區(qū)域之面積。.2ff r2tr r. 2ff 、Answer:蟲訂2尸力 =-(2 + 2codE =( -(4+ 8cQM + 4coE)d0 = 6悠Answer: R 二(兀刃16.求曲線y=xy = O, x = 2所圍區(qū)域之重心。0j2, 0異m = f 2?必=Jo 3叫訂側(cè)）必*心：扣2畑=罟_ M” 3 陸 6 -壬、（

7、3 em2 m 512 5 丿17.試?yán)脠A盤法，求曲線 y = 4-F= F + 2，所圍區(qū)域繞X軸旋轉(zhuǎn)之體積。b = 4 -”Answer:聯(lián)立廠宀？，得心-F)，-(7 + 2)，b = 2J：吃(12 -12刊心=16兀。1 118.求函數(shù)x = m3+2)2於0yl內(nèi)之弧長。 Answer: S = :j：dy = J；J + A阿i畑=J護+1婦扌3丿19.試?yán)脠A柱殼法，求曲線 y = -6x + 9,x = 0,y = 0，所圍區(qū)域繞丫軸旋轉(zhuǎn)之體積。e曲（盂：- 6x + 9）必=2朗f-6/ + 9砥=牛Answer:礦20.求 J2xrfx3Answer:f 2；frfj-

8、 1 - 2=年劉必+上陞必+ f 2孟必+ Jgm必1132叮;伽+ J1皿+J?加+上購=0 + - +1+ = 5。2 一21.利用定義求定積分：3 r _ I2 加+1)必An swer:將0, 3分割為n個相等的子區(qū)間Xz 心，疋=12衛(wèi),&*. = ?，,3七一點 Xf. ，打=+1，則/（說）二-+1, 每一子區(qū)間之矩形面積：/（X；） 山二*巾匸 1 3黎曼和：工二乞p+1 -泊、心(qPJ. X +1 必=lim(xj 加二曲工 打ijULzlZj22. 求極座標(biāo)方程式r = 3 + 2infi所圍區(qū)域之面積。An swer: = +(3 + 2血疔力11=J：-(9+12s

9、mS +曲和 e23. 求曲線y = F繞Ox及X軸旋轉(zhuǎn)之曲面面積。（麗貳1比 3 fAn swer:曲面面積if 2暢勺1 + 9譏& =三(1 + *)弓二to24. 求函數(shù)於OX(工)=COSH 嚴(yán))(x) = sirijc/(0)=0， r(o)=1， 廠(0) = 0， yO(0)=I 5 嚴(yán)(0) = 0 C, 1sinx = 0+ 1 *Jc + O + -jy片 3sin =兀一石-+號廠一帀-或?qū)懗啥闕丨血S （初斫J于* 0因為sinx為奇函數(shù)，所以展式中只有工的奇數(shù)次方出現(xiàn)&27.求COSX在A = 0的泰勒展式0Answer:先求 /%0)/(0) = I，八0) =

10、 0，/-(0) = 一 1嚴(yán)(0) = 0，7(0)= O/(x) = COSJV fx= smx fx)= CQSX fx) = smx 嚴(yán))(%) = cosx由此可看出一規(guī)律、函數(shù)微分4次後又回到其本身cosx= 1+0+ 0+-工4+,兀2天4cos“l(fā)牙+可或?qū)懗蒀OS焉（T）r因為 g為偶函數(shù)，所以展式中只有兀的偶數(shù)次方出現(xiàn)口 如果我們知道sin尤的泰勒展式，有一簡便方式可得到COST的泰勒展式：將例題2中sinx的泰勒展式兩邊同時對X微分（假設(shè)等式右邊可逐項微分），d _ d (、-13兀2丄5兀*7x丄= cos % 1jj + y-f HJ/y*61-A-,兒,+Tf2!4

11、!6!28.求在兀=0的泰勒展式Answer: 八刃=口 _對戈松）占嚴(yán)（滬宵由此可看出一規(guī)律：/(O) = 1，/伽=2 =盧4)(0)-2 -3，4 口k泰勒展式為=1+兀+舟X+引1 X2=1 +兀+ a；2+兀3+兀+m=藝宀i=Q29.求 In I 1 X在兀=0的泰肋展式。7(x)-ln| 1 -x|Answer:嚴(yán)3 _才由此可看出一規(guī)律，嚴(yán))(0) = 仏1)!。泰勒展式為In 1 X一卜+芋+芋+.令戶1 一X代入可得到In |/|在/= 1的泰勒展式：n|/| = -O _r） + U十（1 十=（一1）_1）!+中+.30. 求函數(shù)j(n = cos A在點孟二刃4的泰勒

12、級數(shù)展開Answer: /=” I I42 2廠2廠廠廠2畑H0。心憑氣1 T31. 求函數(shù)/(x) = ln在點X二0的泰勒級數(shù)展開1 + J1 XAnswer: In二n(l - x) n(l + x)1 +孟1刀上 刀 k - 2k+ R7兀 g兀i Z：A；十132. 求函數(shù)了(X)二 丄在點X二0的泰勒級數(shù)展開1-7IVVAnswer: =1 - X JUO40k r33. 判斷數(shù)列飛是否收斂，若收斂則計算其收斂值2 J JU1Answer: lim f = lim 二 Q5 2* Em 2% 234. 求級數(shù)Z頁的收斂半徑r與收斂區(qū)間I?M+1 XAnswer: Hm 亠廠=,r

13、= 2,/ =(-2, 2)i X 2F35. 求函數(shù)/ W二八在點X = 1的泰勒級數(shù)展開Answer:嚴(yán))(1)二-1)廠二丄字忙總呂!疋！36.檢查彳Sin X,是否收斂，若收斂則計算其收斂值kJrA】 血aAnswer: lim = 0, corn37. 求函數(shù)/二汕2 X在點X二0之泰勒展開式、 1Answer:/(x) = sin x = -(l-co2x)2_ 1 1(-緲3)篤_召(-1)叫山/.丄召(葩！卜召(肚)12 2* + 338. 求無窮級數(shù)工一之和搭2U歹搭 An swer:= Lnl q n-Ifl1+ 一2- 3y=1 +3_ 3439.求函數(shù)/W=-_ 在點X = 0之泰勒展開式1-72 r fAnswer:/ （x） = y 二1- z21 Z 1 +巧=上（1 +開+耳2 +）一（1-開+開2 -托m +打2二工+工+x+040. 設(shè)/(兀)=兀3廠*，求/(0)之値An swer:嚴(yán)V*匚5=0 k將尤用一”代入，宀 / (一宀_ y (T)W ,乙幺等式兩邊同時乘以沖，3(一1)*心+3 乂”二0運，另一方面由泰勒展式的公式知道P宀宀因此得到S讐宀工二曽Z礙勺為等式左邊P的係數(shù)（g-5），應(yīng)等於等式右邊兀5項 u=i）的係數(shù)，即/