數(shù)列經(jīng)典試題(含答案)

1、強(qiáng)力推薦人教版數(shù)學(xué)高中必修 5習(xí)題 第二章數(shù)列 1. an是首項(xiàng)ai= 1，公差為d= 3的等差數(shù)列，如果 an= 2 005，則序號(hào)n等于（）. A. 667B. 668C. 669D. 670 2. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，首項(xiàng)ai= 3，前三項(xiàng)和為21,則a3 + a4 + a5=（）. A. 33B. 72C. 84D. 189 3.如果a1, a2,，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d豐0,則（）. A . a1a8 a4a5 B . a1a8v a4a5 C . a1 + a8 v a4 + a5 a1a8= a4a5 4.已知方程 （x2 2x+ m）（ x2 2x+

2、 n） = 0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為 的等差數(shù)列，則 I m-n丨等于（ A . 1 B . 4 5.等比數(shù)列 an中，a2= 9, a5 A . 81 B . 120 6.若數(shù)列 an是等差數(shù)列，首項(xiàng) ). 3 a1 0, =243，則an的前4項(xiàng)和為（ C . 168 a2 003 + a2 004 0, a2 003 ). 192 a2 004 v 0,則使前n項(xiàng)和Sn 0成立的最大自然數(shù)n A . 4 005 B . 4 006 C . 4 007 D . 4 008 7.已知等差數(shù)列 an的公差為2，若a1, a3, a4成等比數(shù)列，則 a2 =( ). A. 4 B. 6 C .

3、8 D . 10 a5 當(dāng)n4時(shí)，f(n) =. 三、解答題 17. (1)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn= 3n22n,求證數(shù)列an成等差數(shù)列. (2)已知1, 1 , 1成等差數(shù)列，求證 山 , , S 也成等差數(shù)列. a b ca b c 18. 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，且 ai, a3, a2成等差數(shù)列. (1) 求q的值； (2) 設(shè) bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)n2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由. n 2 19. 數(shù)列 an的前n項(xiàng)和記為 S,已知ai= 1, an+1=Sn(n= 1, 2, 3). n 求證：數(shù)列也是等比數(shù)列. n 12S3,

4、 20. 已知數(shù)列 an是首項(xiàng)為a且公比不等于1的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a1, 2a7, 3a4成等差數(shù)列，求證: S6, S12- S6成等比數(shù)列. 第二章數(shù)列 參考答案 一、選擇題 1. C 解析：由題設(shè)，代入通項(xiàng)公式an= ai + (n 1)d，即2 005= 1 + 3(n 1),二n = 699. 2. C 解析：本題考查等比數(shù)列的相關(guān)概念，及其有關(guān)計(jì)算能力. 設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q(q 0)，由題意得ai+ a2+ a3 = 21, 即 a1( 1 + q + q2) = 21,又 a1= 3,二 1 + q+ q2= 7. 解得q = 2或q = 3(不合題意，舍去)

5、， 二 a3 + a4 + a5= a1q2( 1 + q + q2) = 3 X 22 x 7= 84. 3. B. 解析：由 a1 + a8 = a4 + a5,.排除 C. 又 a1 a8= a1( a1 + 7d) = a12+ 7a1d, a4 a5= ( a1+ 3d)( a1 + 4d) = a12+ 7a1d + 12d2 a1 a8. 4. C 解析： 1 111 解法 1:設(shè) a1=,a2=+ d,a3=+ 2d,a4=+ 3d,而方程x2 2x+m= 0 中兩根之和為 2,x2 2x+ n = 0 中 4444 兩根之和也為2, .a1 + a2 + a3+ a4= 1

6、+ 6d = 4, .d=丄，a1= 1, a4=-是一個(gè)方程的兩個(gè)根，a1= 3 , a3=-是另一個(gè)方程的兩個(gè)根. 2 4444 .,15分別為m或n, 16 16 .I m n | = 1，故選 C. 2 解法 2:設(shè)方程的四個(gè)根為X1,X2,X3,X4,且X1 + x2= X3+ X4= 2,X1x2=m, X3 X4= n. 第4頁(yè)共9頁(yè) 則X2 7 ,于是可得等差 4 3-35 1 3 240 2 120. 6. B 解析： 解法 1：由 a2 003 + a2 004 0 , a2 003 a2 004V 0,知 a2 003 和 a2 004 兩項(xiàng)中有一正數(shù)一負(fù)數(shù)，又 則各項(xiàng)總

7、為正數(shù)，故a2 003 a2 004 ,即 a2 003 0 , a2 004V 0. a1 0,則公差為負(fù)數(shù)，否 S4 006 4 004印+ % 006) 2 4 00a a2 003+ a2 004) 2 S4 007 - 2 (a1 + a4 007) 4 007 2 2a2 004 v 0 , 故4 006為Sn0的最大自然數(shù).選B. 解法 2 :由 a1 0 , a2 003 + a2 004 0 , a2 003 a2 004 V 0, 同 a2 004 V 0 , 二S 003為Sn中的最大值. T Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，如草圖所示， 2 003到對(duì)稱軸的距離比 2 004到

8、對(duì)稱軸的距離小， 4-007在對(duì)稱軸的右側(cè). 2 解法1的分析得a2 003 0 , 根據(jù)已知條件及圖象的對(duì)稱性可得4 006在圖象中右側(cè) 零點(diǎn)B的左側(cè)，4 007,4 008 都在其右側(cè)，Sn 0的最大自然數(shù)是4 006 . 7. B 由等差數(shù)列的性質(zhì)：若 + s= p+ q,則a + as= ap+ aq,若設(shè)xi為第一項(xiàng)，x2必為第四項(xiàng), 數(shù)列為1 , 3 , 5 , 7 , 4444 ._ 7_ 15 m , n , 16 16 1 I m n | _ . 2 5. B 解析：T a2 9, a5 243 ,亜q3 243 27 , a29 - q 3 , a1q 9 , a1 3 ,

9、 解析：T an是等差數(shù)列， a3= ai + 4, a4= ai+ 6, 又由ai, a3, a4成等比數(shù)列， (ai+ 4)2= ai( ai + 6)，解得 ai = 8, a2= 8 + 2= 6. (2) 4; (3) 32. 解析：(1)由 a3 a5= a：，得 a4 = 2, 5 a2 a3 a4 a5 a6= a： = 32. ai a232421 (2) 2 q2 -, (a a2)q369 二 a5 + a6= ( a1+ a2)q4= 4. S4= a1+ a2+ a3+ a4=24 (3) 4 q =2， S8= a-i+ a2+ a8= S4+ S4q - a17+

10、 a18 + a19 + a20 = Stq16= 32. 13. 216. 解析：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及計(jì)算，由插入三個(gè)數(shù)后成等比數(shù)列，因而中間數(shù)必與-,同號(hào)，由等比中項(xiàng)的 3 2 1 中間數(shù)為 8 27 = 6,插入的三個(gè)數(shù)之積為 8 X 27 X 6 = 216. 1l3 232 14. 26. 解析：T a3+ a5= 2a4, a7+ a13= 2a10, -6( a4 + a1o) = 24, a4+ a10= 4, 13 a1+ a13) = 13( a4+ a10) = 13 4 = 26 2 2 2 15. 49. 解析：T d = a6 a5= 5, - a4 + a5+

11、 a10 =入 a4+ a10) 2 =7( a5 d + a5 + 5d) 2 =7( a5 + 2d) 第11頁(yè)共9頁(yè) =-49. 16. 5, -(n + 1)( n-2). 2 f( k) = f(k 解析：同一平面內(nèi)兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直線都相交, 1) + (k 1). 由 f(3) = 2, f(4) = f(3) + 3 = 2+ 3 = 5, f(5) = f( 4) + 4 = 2+ 3 + 4 = 9, f(n) = f(n 1) + (n 1), 1 相加得 f(n) = 2+ 3 + 4+-+ (n 1) = (n+ 1)(

12、 n-2). 2 三、解答題 17分析：判定給定數(shù)列是否為等差數(shù)列關(guān)鍵看是否滿足從第2項(xiàng)開(kāi)始每項(xiàng)與其前一項(xiàng)差為常數(shù). 證明：(1) n = 1 時(shí)，a1= S1= 3 2= 1, 當(dāng) n2 時(shí)，an= Sn Sn-1= 3n2 2n 3( n 1) 2 2(n 1) = 6n 5, n= 1 時(shí)，亦滿足，二 an= 6n 5( n N* ). 首項(xiàng) a1= 1, an an-1= 6n 5 6(n 1) 5 = 6(常數(shù))(n N* ), 二數(shù)列2n成等差數(shù)列且a1= 1，公差為6. (2)v 1 , 1, 1成等差數(shù)列， a b c /. = 1 + 1 化簡(jiǎn)得 2ac= b( a+ c).

13、 b a c b + c . a + bbc+ c2 + a2+ abb(a+ c) + a2+ c2(a+ c)2(a + c)2a + c + = = = = = 2 a cacacac da + c)b 2 .b + c , c+a , a + b也成等差數(shù)列. a b c 18.解:(1)由題設(shè) 2a3= a1 + a2,即卩 2a1q2= a1+ a1q, T a1M o,. 2q2 q 1 = 0, q= 1 或一1 . 2 n( n 1) n + 3n (2)右 q= 1,則 Sn= 2n += 2 2 Sn bn= Sn- 1= (n 1)( n + 2) 0,故 Sn bn. 2 則 Sn= 2n + n(n 1) ( 1) = n + 9n 224 (n 1)( 10 n) n bn= Sn 1 = ；當(dāng) n 11 時(shí)，SnV bn. 故對(duì)于 n N+,當(dāng) 2bn ;當(dāng) n= 10 時(shí)，Sn= bn n + 2 19.證明：T an+ 1= Sn+ 1 S1 , an +1 =Sn, n (n + 2)Sn= n(Sn +1 Sn)，整理得 nSn+1= 2(n+ 1) S , 所以色1 =坐. n + 1n 故 !是以2為公比的等比數(shù)列. n 第13頁(yè)共9頁(yè) 20 .證明：由ai, 2a7, 3a4成等差數(shù)列，得 4a