具有在位勢的二維單原子晶格的色散關(guān)系

1、第45卷第5期蘭州理工大學(xué)學(xué)報Vol. 45 No. 52019年10月Journal of Lanzhou University of TechnologyOct. 2019文章編號：1673-5196(2019)05-0170-03具有在位勢的二維單原子晶格的色散關(guān)系呂愷9毛杰鍵（上饒師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，江西上饒334001）摘要：在簡諧近似下，求解了具有在位勢的二維單原子晶格振動的運(yùn)動學(xué)方程并得到其色散關(guān)系，討論了在位勢、 次近鄰互作用常數(shù)等參數(shù)對二維單原子晶格振動影響的基本特點(diǎn).關(guān)鍵詞：晶格振動；在位勢；色散關(guān)系中圖分類號：0481文獻(xiàn)標(biāo)志碼：AChromatic disper

2、sion relation of two-dimensional monatomiclattice with on-site potentialLU Kui，MAO Jie-jian(School of Physics and Electronic Information, Shangrao Normal University, Shangrao 334001, China)Abstract: The solution of the kinematic equation of vibration of two-dimensional monatomic lattice with on-site

3、 potential and the dispersion relation as well are obtained under simple harmonic approximation and the essential feature of the effect of on-site potential and sub-neighboring interaction constant on lattice vi bration is discussed.Key words: lattice vibration； on-site potential； chromatic dispersi

4、on relation在實(shí)際晶格中,原子間存在相互作用勢能，當(dāng)原 有1個原子,原子質(zhì)量為M,以 5）表示第n個原子處于特定的介質(zhì)或場中時，同時可能存在與鄰近 子在Q （ = 4夕）方向離開平衡位置的位移,7；表示在原子無關(guān)的在位勢能關(guān)于在位勢能對晶格色散關(guān) 位勢能的力常數(shù)，則在簡諧近似下，具有在位勢的二系的影響，人們已做了大量研究工作，例如潘雪琴 維晶體振動的哈密頓量為等研究了具有在位勢的一維雙原子鏈晶格振動的長聲學(xué)波模振動圖像;任益充等運(yùn)用全量子化的不變本征算符方法,討論了一維雙原子鏈中不同在位勢系數(shù)之比和力常數(shù)對于色散關(guān)系高頻支和低頻支的影響;高欽翔等在小振動情況下，討論了非簡諧在+工加（

5、咒）位勢對一維雙原子鏈晶格振動色散關(guān)系的影響等這na式中:伽（”同=妝（議心）是格點(diǎn)處于平些工作大多針對一維晶格，而關(guān)于在位勢對二維或三維晶格振動色散關(guān)系的影響的研究目前并不多見為 衡位置時，系統(tǒng)的互作用勢能U對位移矢量的二階此，本文在簡諧近似下考慮在位勢能的作用，推導(dǎo)二 偏導(dǎo)，即 陽（咒，觀）表示第咒個與第觀個原子之間的維單原子晶格的振動動力學(xué)方程，并討論在位勢能、 互作用力常數(shù)在周期性邊界條件下,晶體具有平移次近鄰互作用力常數(shù)等參數(shù)對其色散關(guān)系的影響.對稱性意味著力常數(shù)0（弘觀）僅依賴于R（小1振動方程的建立及求解此時應(yīng)有%0（咒，觀）= ymeam）em）2）考慮含有N個原胞的二維晶體,

6、設(shè)每個原胞中式中:氐（觀）、（觀）分別1表示沿KS）方向的單位矢在q 、/?（=4夕）上的分量;冷表示第咒個原子和第收稿日期：2018-06-05加個原子之間的彈性耦合系數(shù).由于任何一個原子基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金 11747109）作者簡介：呂 眉（1970-）,男，江西橫峰人，副教授.受到其它原子作用之和應(yīng)為零，可知:第5期呂嘉等:具有在位勢的二維單原子晶格的色散關(guān)系171丫卩訓(xùn)(咒，觀)=0(3)常數(shù)可求得對式(1)進(jìn)行簡單運(yùn)算可得到其晶格振動方程為cos kxa 一 cos kya +Mua(n) = 丫卩訓(xùn)(咒，觀)況0(觀)一 TjUa(n)g(2 一 2cos kxacos k

7、ya) + 士(4) V(cos kxa cos kya) 2 + 4g2 (sin kxasin kya) 2由于晶體的平移對稱性,可設(shè)式(2)的解為行波解:(10)uaQn) =P03-k.RS)(5)對于二維單原子晶格，色散關(guān)系具有k = Q時式中:或(7=1，2)是偏振矢量嘰在Q方向的分量;e=0特征的格波為聲學(xué)模 0時3工0特征的格3是振動頻率;KQ)是第n個原子的位置矢量;P是 波為光學(xué)模.由式(10)容易證明,在位勢0=0時振動幅度二維單原子正方晶格的兩支格波均為聲學(xué)模，而將式(5)代入式(4)可得0工0時兩支格波均為光學(xué)模.亦 = 2 Dapgeh + 徐爲(wèi)(6)3討論和結(jié)論式

8、中稱為動力學(xué)矩陣.因晶格振動的頻率是倒易點(diǎn)陣的周期函數(shù)，所=需工陽S)嚴(yán)如-s以只需在第一布里淵區(qū)中討論格波色散關(guān)系.二維單原子正方晶格的第一布里淵區(qū)如圖1所示，其中式具有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零，即久高對稱點(diǎn) 1X0,0) ,X(兀/q , 0)和 M(7tA,7tA).下面期方程為求第一布里淵區(qū)高對稱點(diǎn)(線)上的振動頻率.D訓(xùn) Cfc) + (診一32)5訓(xùn)=0(8)由式(8)可求出振動模的本征頻率，相應(yīng)偏振矢量族。可由式(6)得到并滿足正交性條件% 0仁令；0和完備性條件 * el a =Sap.2色散關(guān)系圖1二維單原子正方晶格的第一布里淵區(qū)Fig. 1 First Brillou

9、in zone of two-dimensional monatomic為簡單起見,本文考慮一個二維單原子正方晶quadratic lattice格，晶格常數(shù)為取晶格中任一原子為研究對象,對于5=(r_M)方向kx=ky=kE o，兀/q ，令其所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，記為& (0,0),則其最近 則鄰原子位置分別記為Ki ( 1,0),從(一1，0)，尺3(0， 1 0+ -20)1 =如V21)(0,-1),次近鄰原子位置分別記為R (I, I), J?6(l，一 1)，尺7( 1，一 1)，尺8( 1，1)設(shè)最近鄰原蝕 +1 02子和次近鄰原子間的彈性耦合常數(shù)分別為乃*2V2 一由式(2,

10、3)確定各原子間互作用力常數(shù)相應(yīng)偏振矢量紋=亍71)=破與波矢傳播方向陽(&，只)(Q，“=z,夕，s = o, 1，8),代入式(7)可得平行，故仙為縱波心=借一舟)=逛與波矢傳D竝(fc)=3紅1 cos kxa +播方向垂直，故妙為橫波.g(l 一 cos kxacos kya)對于=(廠一X)方向，饑=0,爲(wèi)=怡&Dxy (fc) =Dg(k)詮sin kasin kya(9)0，tt /q ，則0)1 =- (1 +g) (1 cos 加 )+Dyy (fc) cos kya +血=號 g( cos 加)+ *0、g(l 一 cos kxacos kya)式中： = 471/M是僅考

11、慮最近鄰互作用時的格波 相應(yīng)偏振矢量咬=(1,0)=或與波矢傳播方向平振動最大頻率=是相對彈性耦合常數(shù)將 行，故仙為縱波，幺& = (0,1) =el與波矢傳播方向式(9)代入久期方程(8),并引入在位勢能的相對力 垂直，故初為橫波.172蘭州理工大學(xué)學(xué)報第45卷對于z三（XM）方向，慫=于心=e波，又非橫波.與文獻(xiàn)5的結(jié)果對比可知,在三種特殊對稱方0，兀/刃，則向上格波的偏振矢量與不考慮在位勢作用時是相同an =2 + g(l + cos 段a) + *0的,即在位勢不影響格波的偏振特性.三種特殊對稱方向的色散關(guān)系如圖2所示分1 一 cos kfa + g(1 + cos kfa ) + *

12、0別取g 0,（p= 0 即只考慮最近鄰互作用）、g =相應(yīng)偏振矢量0zi = （1,0） , %2 = （0,1）與波矢傳播方 0. 25,0=0 即同時考慮次近鄰互作用）和g = 025, 向（r-z）既不平行也不垂直，所以仙、妙 既非縱 0=0. 4 即同時考慮次近鄰互作用及在位勢作用）.圖2二維單原子正方晶格第一布里淵區(qū)的色散關(guān)系曲線Fig. 2 Dispersion relation curve of first Brillouin region of two-dimensional monatomic quadratic lattice從圖2a可看出，當(dāng)只考慮最近鄰原子間互作用論，

13、在此不再贅述.時Q三CTM 方向上聲學(xué)支縱波仞、橫波妙的色總之，在位勢對二維單原子晶格色散關(guān)系的影散關(guān)系曲線重合，出現(xiàn)頻率簡并現(xiàn)象；三響不同于原子間次近鄰作用力對色散關(guān)系的影響.（r-x）方向聲學(xué)支橫波頻率3處處為零,縱波頻 次近鄰互作用力使三（r-X 、Z三（XM 方向率仙隨波矢趨于X而增大；Zm XM 方向高頻上各格波頻率增大，藝三（rM）方向縱波頻率增聲學(xué)支頻率仞處處相等，無色散,低頻聲學(xué)支妙隨大,而橫波頻率不受影響;格波頻率雖有升高,但仍著波矢趨于M而增大三個對稱點(diǎn)中,廠點(diǎn)、M點(diǎn)的為聲學(xué)波在位勢的存在使二維單原子正方晶格各頻率簡并（仙=O2），X點(diǎn)的頻率非簡并（仙工02） 點(diǎn)（線）的格

14、波振動頻率均向上平移且具有光學(xué)模特從圖2b可看出，當(dāng)同時考慮次近鄰原子間作用征,并在第一布里淵區(qū)中心產(chǎn)生頻隙;但不影響格波時，在s=（r-M）方向上，次近鄰互作用對聲學(xué)支 的偏振特性,也不影響廠點(diǎn)、M點(diǎn)、X點(diǎn)的振動簡并橫波頻率妙沒有影響，但引起聲學(xué)波縱波頻率仙 度若在位勢具有三次方、四次方等非簡諧項(xiàng),對于增大（廠點(diǎn)除外）；在三（r-x）方向上次近鄰互作 色散關(guān)系的影響會更加復(fù)雜，將另文討論.用使聲學(xué)支橫波頻率勁、縱波頻率仙均有不同程參考文獻(xiàn)：度上移CT點(diǎn)除外），在z三（X-M）方向上，次近鄰互作用使兩支聲學(xué)支模頻率仙、妙均有不同程度上 1 潘學(xué)琴，劉炳燦，田 強(qiáng).在位勢對于一維雙原子鏈晶格振動長移 M點(diǎn)除外）可以看出，次近鄰作用不影響廠點(diǎn)、聲學(xué)波的影響J.大學(xué)物理,2009,28 5）： 11-13.M點(diǎn)的振動頻率.2 任益充，范洪義.不變本征算符方法求解含不同在位勢的一維雙原子鏈的色散關(guān)系J.物理學(xué)報,2013,62 15）：353-35&從圖2c可看出，當(dāng)同時考慮次近鄰互作用及在3 高欽翔，田強(qiáng).一維非線性雙原子鏈晶格振動的色散關(guān)系位勢作用時,在三種特殊對稱方向上各點(diǎn)（線）的振J.西南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2001 6） : 668-670.動頻率仙、妙均增大;廠點(diǎn)、M點(diǎn)、X點(diǎn)的振動頻率 4 陳志遠(yuǎn)，張全坤,謝菊芳.計及次近鄰作用二