數(shù)列知識點及常用結(jié)論

1、精心整理學(xué)習(xí)必備數(shù)列知識點及常用結(jié)論、等差數(shù)列（1）等差數(shù)列的基本公式通項公式：an = +（n-1）d（從第1項a,開始為等差）an=am +(n m)d（從第m項am開始為等差）anp-am = nd =am +(n m)d = ld =I n man am前n項和公式:Sn(aanLnan(1)d2 2（2）證明等差數(shù)列的法方定義法：對任意的n，都有an十-an=d （d為常數(shù)）=an為等差數(shù)列等差中項法：2anHi = an+an七（n亡N）u an為等差數(shù)列通項公式法：an = pn+q （p , q為常數(shù)且pM 0） = an為等差數(shù)列即：通項公式位n的一次函數(shù)，公差 d = P，

2、首項a, = p + q前n項和公式法：Sn =pn2+qn （p，q為常數(shù)）=an為等差數(shù)列即：關(guān)于n的不含常數(shù)項的二次函數(shù)（3）常用結(jié)論若數(shù)列an，bn為等差數(shù)列，則數(shù)列an+k，kson，務(wù)0，ka+b（k， b為非零常數(shù)）均為等差數(shù)列.若 m+n=p+q (m，n，p， q忘 N )，則 aam=ap +% .特別的，當(dāng)n+m=2k時，得K + am = 2ak在等差數(shù)列an中，每隔k（k迂N ）項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等差數(shù)列，且公差為（k+i）d（例如：q , a4, a7, a10仍為公差為3d的等差數(shù)若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記Sk =4 +a2七+4 , S

3、2k -Sk =ak半中編平七+ a2k,2瓦-瓦=a2H+a2k卡+ak，則Sk，瓦-q，Sk-Sk仍成等差數(shù)列，且公差為k d_Sn若Sn為等差數(shù)列an的前n項和，則數(shù)列也為等差數(shù)列. nan = 13，( n = 0此性質(zhì)對任何一種數(shù)列都適用Sn - Sn 二,(n 3 2)求Sn最值的方法:fak 0I：若a1 0，公差d0，則當(dāng)(時，則Sn有最大值，且Sk最大;a,0若a10,則當(dāng) fk - 0時，則Sn有最小值，且Sk最小;(Ahi 0II :求前n項和Sn = pn2 +qn的對稱軸，再求出距離對稱軸最近的正整數(shù)k，當(dāng)n=k時，Sk為最值，是最大或最小，通過 Sn的開口來判斷。二

4、、等比數(shù)列(1) 等比數(shù)列的基本公式通項公式：an =aiqn4(從第1項ai開始為等比)n -man =amq(從第m項Om開始為等差)1q前 n項和公式：sn /d),(q Hi), Sn=na1,(1)(2) 證明等比數(shù)列的法方On定乂法：對任意的n，都有an4t = qan(an H 0) U =q(qH0)u an為等比數(shù)列等比中項法：an2=an+an斗(an十a(chǎn)nH。)U an為等比數(shù)列通項公式法：On =aq2(a,q是不為0的常數(shù))an為等比數(shù)列（3）常用結(jié)論若數(shù)列an，bn為等比數(shù)列，則數(shù)列中，8，看，3，50 診（k為非零常數(shù)）均為等比數(shù)列.若 m+n=p+q (m， n

5、， p， qc N），則 an m=ap 卑q.特別的，當(dāng)n+m=2k時，得an_ 2 m =ak在等比數(shù)列an中，每隔k（k亡N ）項取出一項，按原來的順序排列，所得的數(shù)列仍為等k _13比數(shù)列，且公比為 q側(cè)如：ai，4，a7，氐仍為公比q的等比數(shù)列） 若數(shù)列an為等差數(shù)列，則記S =a十七”汁耳，S2k 5 =編十+ak七+尬，Sk Sk =a2k+a2k七+則Sk，S2k -q，S3S2k仍成等比數(shù)列，且公差為qk三、求任意數(shù)列通項公式 an的方法(1)累加法：若an滿足an+i=an+f(n)利用累加法求：anaa,+(a2-ai)+(a?-&2)+(&4-&3)+(an-a)例題：

6、若 ai=1，且 anHi=an+2n，求：a.練習(xí)題：若數(shù)列an滿足an+-an-2n*=0，且a, =0(2 )累乘法：若an滿足an卡=f( n) n利用累乘法求：anan =ai $並）$）$）aia2a3anan/例題：在數(shù)列an中,1n +1+ai =2，a卄 n an 求：a練習(xí)題：在數(shù)列an 中,6=1 且 an = na，求：an（提示：12咒3n = n!）n=1(3)遞推公式中既有Sn，又有an，用逐差法aS特別注意：該公式對一切數(shù)列都成立。,Sn Si 丄 n 3 2(4)若an滿足a = pan+q,(pq),則兩邊加：x=，在提公因式P,構(gòu)P-1造出一個等比數(shù)列，再

7、出求：an例題：已知數(shù)列an，滿足: an+=2an +1，且 a1 =1，求：a.習(xí)題1：已知數(shù)列aj滿足:an出-3an =1 且 2=1，求:an習(xí)題2：已知數(shù)列(a?滿足:ai =2，且 Sn + an = n，求:a.(5)若an滿足an = pan + Pn*，則兩邊同時除以：Pn*，構(gòu)造出一個等差數(shù)列,再求出：an例題：已知an滿足：ai= 1an 十= 2an+2，求：an解：anL =2an+ 2n=.n 卡J2 2空+1，既有：爲(wèi)-|n2 2 2所以:J I是首項為:a121，公差d = 的等差數(shù)列2ann _丄+(n- 1)x12n 2 2所以:an= -”2n= n.2

8、n2習(xí)題1:已知an十3an=3nF且a1，求:an習(xí)題2：已知an十=2an + 3 2且a1,求:an（六）待定系數(shù)法：若aj滿足以下關(guān)系:an4 = kan + f（ n）都可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)變成一個等比數(shù)列來:溫馨提示：提k，對f （n）待定系數(shù)例題1：已知數(shù)列an滿足an卡=2an +3c5n，a6，求數(shù)列（aj的通項公式.解：an屮+x5n=2(an+x 5n)=an屮=2an-3x6n，與原式對應(yīng)得，x =1_ 5卄f ”2節(jié)P2所以：an-5n是首項ai -51 =1，公比q =2的等比數(shù)列既有：an-5n =2= an =5n+2n例題2：已知數(shù)列an滿足an+=3an +5%

9、 2n +4, a, =1，求數(shù)列an的通項公式.解: anrx”2n+y =3(an+x”2n +y)= a = 3a x 22y，與原式對應(yīng)得：x=5,y=2g嚴(yán)肝+2必嚴(yán)公+護；2：；2=3所以：an+5”2n+2是首項為：ai+5Q+2 = 13，公比q=3的等比數(shù)列既有：an +5 ”2n +2 =13 ”32= an =13 洛心5 ”2n -2（七）顛倒法：若an滿足：an廠，用顛倒法;an +Can +所以:Can : an +CanH1an +Can + an=丄，所以:CC anan + CC anC an是以首項為:an例題1 :已知anH12 an，且 a, =2，求:

10、an +2例題2:已知1 1=+ Can1 1,公差d飛的等差數(shù)列aianan =3an 3an十，且印=1,求：a.（八）倒數(shù)換元法：A an若數(shù)列an滿足：a卄 A 5 ，則顛倒變成B色+C1 B an +CC然后再用兩邊加:A an1 B一 + anAPi或者待定系數(shù)法既可求出 ，再顛倒就可得到：ananj例題：若數(shù)列aj滿足:2a，且 .二1，求:an2an解：an 4-=an +3anH11 1 +，兩邊加:2an1 得:丄+an 2匚+1 =!(丄+1)=2 anan +an所以:1+1是首項為:la既有:1 C /3n 十：寫=an若用待定系數(shù)法:2an法同上;=3一21一+1

11、=2，公比:a1anan +3an +習(xí)題：已知301十a(chǎn)n2-2an +=3丄+3x=22 an丄+ananan+2 an- + |(- + x)2 a1+1 X與原式子對應(yīng)得 X =1，然后的方2= 2an 十a(chǎn)n 且 a1 =1,求:an四、求前n項和Sn的方法（1）錯位相減求和主要適用于等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積的數(shù)列的前 n項和；或者是等差與等 比的商的前n項和；（是商的時候，適當(dāng)轉(zhuǎn)變一下就變成了乘積形式）。既：設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求：an bn或一的前n項和常用此方法（ 色 都轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔ebnbn例題1:形式）已知數(shù)列an =2n，數(shù)列bn的前n項和& = n2 +2n，求

12、數(shù)列an bn的前n項和Tn例題2：3n+1求數(shù)列an =虧一的an bn的前n項和Sn習(xí)題1:求：Sn=1x2 +4X22 +7X23 +(3n -2)炮習(xí)題2：設(shè)數(shù)列an=（2；1），求an的前n項和Sn3(2) 裂項相消求和適用于an =的形式，變形為：an =:=-一)n (n +k)n (n +k)k n n + k例題：求數(shù)列a習(xí)題1:求數(shù)列an(n +1)習(xí)題2:求數(shù)列的前n項和Snn(n +2)的前n項和Sn，廠 f，的前n項和.Vn + Vn +1(3) 、分組法求和：有些數(shù)列是和可以分成幾部分分開求，在進行加減;例題：求an =3n +2n +1的前n和Sn ？習(xí)題1已知耳是一個遞增的等差數(shù)列且 a245,a1=14， an前n項和為Sn數(shù)列bn =