第2講平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示1

1、第2講 平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示【2013年高考會(huì)這樣考】1. 考查平面向量基本定理的應(yīng)用.2. 考查坐標(biāo)表示下向量共線條件.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)理解基本定理，重點(diǎn)運(yùn)用向量的坐標(biāo)進(jìn)行加、減、數(shù)乘的運(yùn)算以 及向量共線的運(yùn)算.* J KAOJIZIZHUDAOXUE 0i 考基自主導(dǎo)學(xué)基礎(chǔ)梳理1.平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量 a， 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 入，？2，使a=?iei +力矽，其中不共線的向量ei, e2叫表示這平面內(nèi)所有向量的一組基底.2.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè) a= （xi，yi），b

2、= （X2，y2），貝Ua+ b= (xi+X2，yi+ y2), a b= (xi xg, y一y), ；a=(入 x,入y, |a|=x2 + yi.（2）向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，貝U終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2)，則AB= (x2 xi，yg y_ij, AB| = Q(X2xi)2 +(y2yi)2.3. 平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a= （xi，yi），b= （X2，y2），其中0，當(dāng)且僅當(dāng)xiy? X2yi= 0 時(shí)，向量a，b共線.一個(gè)區(qū)別 向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別: 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a，點(diǎn)A的位置被向量a唯

3、一確 定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為（X, y）,但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn) A(x, y),向量 a= OA= (x, y).當(dāng)平面向量OA平行移動(dòng)到OlAi時(shí)，向量不變，即C)iAi= OA= (x, y)，但OlAi的起點(diǎn)Ci和終點(diǎn)Ai的坐標(biāo)都發(fā)生了變化.兩個(gè)防范(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.xiyi若a= (xi, yi), b=(X2, y2),貝U a/ b的充要條件不能表示成 玄=京，因?yàn)?沁,y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為xiy2 X2yi = 0.雙基自測(cè)i.(人教A版教材習(xí)題改編)已

4、知ai + a2 + an = 0,且an= (3,4)，則ai + a2+ an-1的坐標(biāo)為().A. (4,3)B. ( 4, 3)C. ( 3, 4)D. ( 3,4)解析 ai+a2+ ani = an= ( 3, 4).答案 C2.若向量 a= (i,i), b= ( i,i), c= (4,2),貝U c=().A. 3a + b B. 3a b C. a + 3bD. a+ 3b解析 設(shè) c= xa+yb,則 |x jx+ y= 2,3,ly= i.： c= 3a b.答案 B3 . (20i2鄭州月考)設(shè)向量a= (m,i), 則m的值為().b= (i, m),如果a與b共線

5、且方向相反,C. 2解析 設(shè)a= to( ?0)，即m=入且i 解得m= ，由于/0, m= i.答案 A4 .設(shè)向量a= (i， 3), b= (2,4)，若表示向量4a、3b 2a、c的有向線段首 尾相接能構(gòu)成三角形，則向量c=().解析設(shè)c=（X, y）.x= 4, y= 6.則 4a+ (3b 2a) + c= 0,4 6 2 + x= 0,12+12 + 6 + y= 0,答案 C 5已知向量 a= (2, 1),b= ( 1,m),c= ( 1,2),若(a+ b)/ c,則 解析 a+ b= (1, m 1) . (a+ b) / c,-2 ( 1)(m 1) = 0,. m =

6、 1.答案 1UDAOKI M力考向探究導(dǎo)析考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用【例11 ?（2012南京質(zhì)檢）如圖所示，在 ABC中，H為BC上異于B, C的任點(diǎn)，M為AH的中點(diǎn)，若Am = :AB+ pAC,貝U入+尸審題視點(diǎn)由B, H , C三點(diǎn)共線可用向量AB,AC來表示AH.解析 由B, H , C三點(diǎn)共線，可令A(yù)H = xAB+ （1 x）AC,又M是AH的中點(diǎn),所以AM = 2Ah = xAb +答案1方法總結(jié)*應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作 用.當(dāng)基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.【

7、訓(xùn)練11如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.若 AD = xAB+ yAC,則x=(1 x)Ac, 又Am = :AB+ 朮.所以 入+ 尸*+ (1 x)D解析 以AB所在直線為x軸，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖,令A(yù)B = 2,則AB= (2,0), AC= (0,2),過D作DF丄AB交AB的延長線于F，由已知得 DF = BF=/3，貝UAD= (2 + 羽， 羽). AD= xAb+ yAC,A (2+J3, yj3)= (2x,2y).Vs2+你 2x,x= 1+ 2，即有廠解得廠b/3 = 2y,I心另解：AD=Af + FD =1+ 爭JAB+禁C,y書ly 2 .所

8、以x= 1 + 答案1+爭爭考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例 2】?(2011 合肥模擬)已知 A(-2,4), B(3, 1), C(-3, 4),且CM = 3cA,CN = 2CB.求M, N的坐標(biāo)和MN.審題視點(diǎn)求Ca, CB的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求M , N.解 A(- 2,4), B(3,- 1), C(-3,- 4), Ca= (1,8), Cb= (6,3). CMi = 3CA= 3(1,8)= (3,24), CN= 2CB = 2(6,3)= (12,6).設(shè) M(x, y),則 cM = (x+ 3, y+ 4).嚴(yán) 3 = 3，得產(chǎn) 0， M(0,20). y+ 4

9、 = 24,ly= 20.同理可得 N(9,2),. MN = (9 0,2 20)= (9, 18).肓法總結(jié)曲利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要就是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解；在將向量用坐標(biāo)表示時(shí)，要看準(zhǔn)向量的起點(diǎn)和終 點(diǎn)坐標(biāo)，也就是要注意向量的方向，不要寫錯(cuò)坐標(biāo).【訓(xùn)練2】在平行四邊形ABCD中，AC為一條對(duì)角線，若AB= (2,4), AC= (1,3)，則 bD=().A. ( 2， 4)B. ( 3， 5)D. (2,4)C. (3,5)解析 由題意得 Bd = Ad AB = BC AB= (ACAB) AB=AC2AB=(1,3) 2(2,4)= ( 3

10、， 5).答案 B考向三 平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算【例3】？已知a= (1,2)，b= ( 3,2)，是否存在實(shí)數(shù)k，使得ka+ b與a 3b共線,且方向相反?審題視點(diǎn)根據(jù)共線條件求k,然后判斷方向.解 若存在實(shí)數(shù) k,貝U ka+ b= k(1,2)+ ( 3,2) = (k 3, 2k+ 2), a 3b= (1,2) 3( 3,2) = (10， 4).若這兩個(gè)向量共線，則必有(k 3)X ( 4) (2k + 2) X 10= 0.解得k= 1.這時(shí)ka+ b=(罟，3)1所以 ka+ b= 3(a 3b).即兩個(gè)向量恰好方向相反, 故題設(shè)的實(shí)數(shù)k存在.育法總結(jié)向量共線問題中，一般是根據(jù)

11、其中的一些關(guān)系求解參數(shù)值，如果向量是用坐標(biāo)表示的，就可以使用兩個(gè)向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示列出方程，根據(jù) 方程求解其中的參數(shù)值.【訓(xùn)練3】（2011西安質(zhì)檢）已知向量a= （1,2）, b= （2, 3）,若向量c滿足（c+a) / b, c丄(a+b),貝U c=().A-&C-d，B.(- 7,解析設(shè) c= (m, n),D(- 9,則 a+ c= (1 + m2+ n), a+ b= (3, 1).(c+ a) / b,. 3 X (1 + m) = 2 x (2 + n),又 cX (a+ b), 3m n = 0,解得 m= 7, n= 7.答案 Dam KAOTJZHUANXIAWeTUP?03浄考題專項(xiàng)突破閱卷報(bào)告5平面幾何知識(shí)應(yīng)用不熟練致誤【問題診斷】 在平面幾何圖形中設(shè)置向量問題，是高考命題向量試題的常見形 式，求解這類問題的常規(guī)思路是：首先選擇一組基向量，把所有需要的向量都用 基向量表示，然后再進(jìn)行求解.【防范措施】 一是會(huì)利用平行四邊形法則和三角形法則；二是弄清平面圖形中 的特殊點(diǎn)、線段等.【示例】?（2011湖南）在邊長為1的