完整word版拉普拉斯方程的解

1、拉普拉斯方程的解一一分離變量法.拉普拉斯方程的適用條件1.空間處處P=0,自由電荷只分布在某些介質(zhì)（如導(dǎo)體）表面上, 將這些表面視為區(qū)域邊界，可以用拉普拉斯方程。2.在所求區(qū)域介質(zhì)中有自由電荷分布，若這個(gè)自由電荷分布在真空 中，產(chǎn)生的勢(shì)為已知。若所求區(qū)域?yàn)閱我痪鶆蚪橘|(zhì)，則介質(zhì)中電勢(shì)為真空中電勢(shì) 若所求區(qū)域?yàn)榉謪^(qū)均勻介質(zhì)，則不同介質(zhì)交界面上有束縛面電荷。貝皿域V中電勢(shì)可表示為兩部分的和W = W0 + W不滿足2半=0 ,但 使*=0滿足，仍可用拉普拉斯方程求解。但注意，邊值關(guān)系還要用 半。而不能用半:.拉普拉斯方程在幾種坐標(biāo)系中解的形式興2O p2O -2cp1.直角坐標(biāo)V2護(hù)+=0冰 cy

2、cz令 W(x, y,z)=X(x)Y(y)Z(z)d2X 亠 V c+aX =0 dx2d 2y,+ PY = 0 a + P + Y = 0 dy2咚+ 0Idz2般令 a = -ki2P=-k2Y = k；十 k； = k2X(x)=Aek1x+BeTxY(y)=Cek2y +De 如Z(z) =Es in kZ +FcoskZ若考慮了某些邊界條件（有限邊界） k1,k2,k均與某些正整數(shù)有關(guān)，它們 均可取1,2,通解還要求取和后才 行。fa k2 I =k2L.l k2x=0若=cp（x,y）與z無(wú)關(guān),ixd 2Y2-k Y =0特解i0特解X（X）= Ae* + B嚴(yán)若W（x），與

3、y,z無(wú)關(guān)。 葺=0=Ax + BY =0|Y（y） =Csinky + D coskydx2+葺=0cz2. 柱坐標(biāo)可那J空（r蘭）+丄空 r crcrr c0僅討論 = p（r,8）與z無(wú)關(guān)。令 cp（r,6） = f（r）g（8）dd詈“2ge）=0 do1 ddfv2丁（r）-p f（r） =0Ir dr drr解：g （日）uajSin v6 + a2 cosiOLf（r）有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解r*和單值性要求 9（0） =W（2兀），V只能取整數(shù)，令V =n （正整數(shù)）通解：處rW（r,日）rn（An sin n+ Bn cosn日）+r（Cn sin n日 + Dn cosn日）若 n

4、j%（r）,丄空 竺）=0, r 蘭=C=A + B| nr。r cr cra3.球坐標(biāo)（Rf,）=2 （anmRn 中黑）Pnm（cos）cosm：nmR+ S （CnmRn +腎曲（遇日）sinmnmRPnm（COS&）締合勒讓德函數(shù)（連帶勒讓德函數(shù)） 若W不依賴于，即W具有軸對(duì)稱性 通解 （Re）（anRn + 黑）Pn （COST）nRPn （COS。） 為勒讓德函數(shù)，卩0=1 R （cos日）=COsT1 2P2（cos）= （3cos28T）-2若W與9，均無(wú)關(guān)，即W具有球?qū)ΨQ性，則通解為：三.解題步驟1.選擇坐標(biāo)系和電勢(shì)參考點(diǎn)坐標(biāo)系選擇主要根據(jù)區(qū)域中分界面形狀2.參考點(diǎn)主要根據(jù)電

5、荷分布是有限還是無(wú)限分析對(duì)稱性，分區(qū)寫(xiě)出拉普拉斯方程在所選坐標(biāo)系中的通解3.根據(jù)具體條件確定常數(shù)(1)外邊界條件:電荷分布有限忙0邊界條件和邊值關(guān)系是相對(duì)的。導(dǎo)體邊界可視為外邊界，申。給定,S或給定總電荷Q,或給定CT(接地護(hù)Is =0 )電荷分布無(wú)限，一般在均勻場(chǎng)中,E = E0ez-E0rcosT =-E0z (直角坐標(biāo)或柱坐標(biāo))(2)內(nèi)部邊值關(guān)系：介質(zhì)分界面上dn四.應(yīng)用實(shí)例(習(xí)題課)1.兩無(wú)限大平行導(dǎo)體板，相距為(與X, y, Z無(wú)關(guān))，一板接地，解：(1)邊界為平面，故應(yīng)選直角坐標(biāo)系l，兩板間電勢(shì)差為 V 求兩板間的電勢(shì)W和Eyx表面無(wú)自由電荷。s(2)定性分析：由于在 z=l處，=

6、V常數(shù)，可考慮半與x,y無(wú)關(guān)。(3)列出方程并給出解：在Ocz /2. 一對(duì)接地半無(wú)限大平板，相距為 b，左端有一極板 電勢(shì)為V （常數(shù)），求兩平行板之間的電勢(shì)解：（1）邊界為平面，選直角坐標(biāo)系上、下兩平板接地，為參考點(diǎn)同樣若yH0或b,xT比 護(hù)y=0(2) Z軸平行于兩平板，且 X =0,0 c y b,W = V與z無(wú)關(guān)，可 設(shè)申=申(X, y)與Z無(wú)關(guān)。2 汽 2申(Ocxv 比,0cy b) xcy半=X(x)Y(y)X(x) = Aek +Bex lY(y) =Csi nky + D coskyW(x, y(Aekx + Be)(Csin ky + D cosky)(3) 確定常數(shù)

7、 A , B, C, D, k y =0,W =0= D =0 (A, B不能全為零，否則 與x無(wú)關(guān))。 y=b,W=0 二 sin kb =0kb = n 兀 k = n兀 W與n有關(guān)，上面解可寫(xiě)為(n=1,2,3)n(x,y) =(AneJBnek)(cns in y) 辺b通解 W(x,y) =2 n(x,y)n 二 X T 處W = 0 = An = 0(Bncn =cn)n兀 二彼n(x,y) =Cn sinyeb2學(xué)屮=瓦 Cn Sin yenib3. 半徑a,帶有均勻電荷分布 CT的無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體柱外空間的 電勢(shì)和電場(chǎng)。解：電荷分布在無(wú)限遠(yuǎn)，電勢(shì)零點(diǎn)應(yīng)選在有限區(qū)域，為簡(jiǎn)單

8、可選在導(dǎo)體 面 r = a 處（即（W（r =a）三 0）。選柱坐標(biāo)系: 導(dǎo)體為圓柱，柱上電荷均勻分布，W對(duì)稱性分析: 柱外無(wú)電荷，電力線從面上發(fā)出后，Z定與無(wú)關(guān)。不會(huì)終止到面上，只能終止到無(wú)窮遠(yuǎn)，且在 導(dǎo)體面上電場(chǎng)只沿er方向，可認(rèn)為與Z無(wú)關(guān)，W = (r)可 2q =0 =(r 蘭)=0 r dr drrCd =Cdr r-B -E er rW(r) =Cln r +Dc - Wer&當(dāng)r = a時(shí),W(r) = -Bln a +BInrdP常數(shù)C的確定:w = -&0dnacj-C =0=-Clna不選擇零點(diǎn)也不影響求場(chǎng)。r= Cln -aBa 10 r 2椚ac半（r） =EoBr =

9、ar ln S a若選r =a申(a) =o 貝y 護(hù)(r)Noabr出ln 一 = %Soaln r 0電場(chǎng)E :X =0ac(護(hù)0 No +l na)E =一燈護(hù)名0 d護(hù)- =+ :rer drab er在表面上(r = a)c=2 Cn sinn z1% rC -E(a)= er，由此或定出Cn = ?b兩邊同乘并從Of b積分:ObVsin罟dy 戲Cnsi嚀myb心b一 rbm兀ynTSin dy 咗 Cn sinsindybn 壬bbfsinmysinnyd 00 b bLb/2n Hm b.H-mnsinx (正交歸一性)n = m 2- fvsin 呼dy=Z Cn存mn =Cmb/2bnrn 22 bm 兀y2V bCm = V sindy =b 0 bn =