高數(shù)上冊歸納公式篇完整

1、公式篇目錄一、函數(shù)與極限1. 常用雙曲函數(shù)2. 常用等價(jià)無窮小3. 兩個(gè)重要極限 二、導(dǎo)數(shù)與微分1. 常用三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2. n階導(dǎo)數(shù)公式3. 高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式與牛頓二項(xiàng)式定理的比較4. 參數(shù)方程求導(dǎo)公式5. 微分近似計(jì)算 三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 一階中值定理2. 高階中值定理3. 部分函數(shù)使用麥克勞林公式展開4. 曲率 四、定積分1. 部分三角函數(shù)的不定積分2. 幾個(gè)簡單分式的不定積分 五、不定積分1. 利用定積分計(jì)算極限2. 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3. 牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理4. 三角相關(guān)定積分5. 典型反常積分的斂散性6. r函數(shù)（選）六、定積分的應(yīng)

2、用1. 平面圖形面積 2體積3. 弧微分公式 七、微分方程1可降階方程2. 變系數(shù)線性微分方程3. 常系數(shù)齊次線性方程的通解4. 二階常系數(shù)非齊次線性方程（特定形式）的特解形式5. 特殊形式方程（選）一、函數(shù)與極限sinh,上.ta imi = : 二2cosn3F”十 汰1. 常用雙曲函數(shù)(sh(x).ch(x).th(x)sinli.v = coshj = 2oshy- sinl?.v=2.常用等價(jià)無窮?。╔ 7 0時(shí)）si nA 忑 tfinx 仏1一 CO53 arcsitij “aiciati.T x(1+血1 兀n(l +工)卞a-1t ui (日工一 1戈3.兩個(gè)重要極限sin,

3、v_.lini=1 linidHlirnfl-h.v)XTYr jV T一 If)二、導(dǎo)數(shù)與微分1. 常用三角函數(shù)與反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(stJiv r= CQSX( COSY Y- siin(tana ) sec ,(coU )=- cscv(sec.r sec.r kitiv,(cscx /=- csc.v coLv(arcsiiu ) =.,(arccoLV )二 V J-A-J 1 -W（arciaru *=iW（凡是“余”求導(dǎo)都帶負(fù)號/ arccou )=1+3-2.n階導(dǎo)數(shù)公式（e-T=e(0! = 1)r . Oil）!In（低+方）嚴(yán)MfT （-1）z 一 （處+阿|（處+莎；

4、嚴(yán)=/丿（2-1）仗F +】卜（亦特別地若 n(處+for 嚴(yán)=/(/)nnn(ax+b) F sin(cjx+D+ cos(ar+Z?) fccos(ax+b-?3.高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式與牛頓二項(xiàng)式定理的比較（妙嚴(yán)UJk+ck嚴(yán)v+旳忙+c”町 （M+呼=屛十Gt嚴(yán) 葉+C嚴(yán)護(hù)十+%戶函數(shù)的0階導(dǎo)數(shù)可視為函數(shù)本身 4.參數(shù)方程求導(dǎo)公式1;盂劑）就yFdx dx /（f）dt心二d 內(nèi)二H /曲）力 八廠 喬_莎石_莎廣/忑5.微分近似計(jì)算（I X很小時(shí)）/ prg +f (G(F)（注意與拉格朗日中值定理比較）常用：(1+加)叱1 +妙工訂rtv 怎;V、COS.V UX (rad)（與等

5、價(jià)無窮小相聯(lián)記憶）嚴(yán)D1 +x. In(1 +x)fiix三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.一階中值定理(f(x)在a,b連續(xù),(a,b)可導(dǎo)) 羅爾定理(端點(diǎn)值相等f (a) f(b)拉格朗日中值定理犬 ea冊 J -f()=/()柯西中值定理(g(x)0豐0)2.高階中值定理(f(x)在(a,b)上有直到(n 1)階導(dǎo)數(shù))泰勒中值定理vag gb)門)廣血(心)/=/ 為)+(F)+ 4(0)坤尺,Rn為余項(xiàng)嚴(yán)H-hf鬥&= ；: CfJ 屮3+1)!(E在x和xo之間)令x00，得到麥克勞林公式加=0)+十嚴(yán)1 (金) &=_ 5十1)!gf)+.+；化”+凡n!3.部分函數(shù)使用麥克勞林公

6、式展開(皮亞諾型余項(xiàng))Slav + +(-1 r+(9(*1)3!S-1)!cosx =1 - 一+十(J廠十譏工知)2!(2m) X-r”宀 1+X+ + +恥”)2!ill*1 山ln(l +%)二；r-一+(一 rI 一 + 曲)2n3A(/t 1) a久(2-1)(2+1)fr.(1 +xy= +抵+F+_屮+0(対)4.曲率K= =P|y-l/l卩+（y）rX=fr/w廣（加IK2廠妙+0 (臚四、不定積分1.部分三角函數(shù)的不定積分+cj coU dx In I siriY | +Cj si nA dx= COST +C J cosx dx= sijix + C JtaiiY 二-I

7、n I co&TJ sec.: dx= n | secv + lartv | +CJ cscx dx= In I cscj; - coT.v | +C2. 幾個(gè)簡單分式的不定積分J 口+Jdx x-erarctail aIn2aA+Cax-a+Carcsill +CaVf ,卞=1 n(x+ jF+fi- ) +J VPwf 辦。= In k十 y/x-a- I + CJ Jx-r五、定積分1.利用定積分計(jì)算極限右 b-Qfhliin y 廣)=I f(E drMJ”(/?-/+)rt+(/-I)Z? (n-i)a+ib 乙 G fl2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 推廣得ddx(r) Hr) hWE

8、W -/MQ WG)3. 牛頓-萊布尼茨公式和積分中值定理（1）牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本公式）/（A）dx=尸何|：=廠（巧-尸也）(2)積分中值定理 函數(shù)f(x)在a,b上可積1 pb玄曰訶J二一j)矗f()稱為f (x)在a,b上的平均值4. 三角相關(guān)定積分jr：If(sinT)h =/(fiiiLV)rfLv=2JTJ ( cos t ) dxi 2/C0S.T)tiTJTj)V(Einx)於-T? /(COS.T ) dx時(shí)( gifLX )必=t TTu f ( Mm ) z/r=7r | /(sin.v) dx三角函數(shù)系的正交性f sinx dx=0, f cos/rxJ 一

9、 JTJ-JTf sin-r dx二 f cos-fcx d=jri/-jrJ-盯cosfcr cosAvf sin.v siniv dx= J - JTJ -Jir sintx cos/.r dGJ-ji5. 典型反常積分的斂散性(1)無窮限的反常積分f十乂dx=Ji刑(pi)I -pDiver fiance(p0AGn.+co)lim 屮7 =/0A+iSO/gConverge：:nee (/?)Divergence(P 1)推論2/(.v)OAG(OJJJinV- =00A*()3 皿Cp )6.r函數(shù)（選）Con verge nee:收斂 Qiverge nee:發(fā)散+00I八嚴(yán)dx0

10、（1）遞推公式m+1戶推論 r（?7+1）=71!（hGN十）推論：（2）歐拉反射公式（余元公式）when 0j I(V)( I $)=SJIVTJ廿J （丁）-六、定積分的應(yīng)用1.平面圖形面積（1）直角坐標(biāo)：由曲線y f（X）0及x a, x b與x軸圍成圖形A=a(2)極坐標(biāo):有曲線()及圍成圖形2體積(1)繞x軸旋轉(zhuǎn)體體積(2)平行截面面積已知的立體的體積平行截面(與x軸垂直)面積為A(x)3.弧微分公式(1)直角坐標(biāo)：Pa (a) dxJad$= J 1 +(V)違X(2)極坐標(biāo):y=p七、微分方程1.可降階方程(i)yf (x)型n次積分得尸Jn(2) y f(x,y)型作換元Py得

11、 p得通解P(x,Ci)則y(x, Ci)dxJIC2sinvdx，心 +G * +C_jA+Cf (x, p)yf(y,y)型作換元得通解, d pdpdp/,y,y pTT,p f(y,p) dxdxdxdydx(y,Ci)dy(y,Ci)x C22. 變系數(shù)線性微分方程P( x)dx(1)一階線性微分方程：y P(x)y Q(x)對應(yīng)齊次方程：y P(x)y 0的通解為丫 Ce原方程y P(x)y Q(x)的通解為P (x)dxP(x)dxy ( Q(x)e dx C)e一階線性非齊次方程的通解等于相應(yīng)齊次方程的通解和非齊次方程一個(gè)特解的和Pni(x)y Pn(x)y Q(x)(2)高階

12、線性微分方程y(n)P1(x)y(n1)對應(yīng)齊次方程為y(n) P1(x)y(n1)Pn 1 (x) y Pn(x)y 0若y1(x), y2(x),yn(x)為齊次方程n個(gè)線性無關(guān)解Cnyn(x)則齊次方程的通解為 丫(X) C1 y1 (x) C2y2 (x)若y *(X)為非齊次方程的一個(gè)特解則非齊次方程的通解為 y Y(X)y*(x)3. 常系數(shù)齊次線性方程的通解 (1)二階方程 y py q 0特征方程為r2 pr q 00，兩個(gè)不等實(shí)根r1b廠h2b Q2a通解為 yC1er1xC2er2x0,兩個(gè)相等實(shí)根r1通解為y (GC2X)er1x0,對共軛復(fù)根r1i,r2i,通解為y e

13、 X(C1 cos xC2sin X)咼階方程y) Pv)PniyPny特征方程為rnpjrn 1Pn irPn對于其中的根r的對應(yīng)項(xiàng)實(shí)根r一個(gè)單實(shí)根：一個(gè)k重實(shí)根：(Cj C2xCkXk1)rx e復(fù)根r1,2一對單復(fù)根:e x(C1 cos xC2sin X)一對k重復(fù)根：e x(C1 C2xCkxk 1)cos X(DiD2xDkxk 1)sin x通解為對應(yīng)項(xiàng)之和4. 二階常系數(shù)非齊次線性方程(特定形式)的特解形式y(tǒng) py qy f (x),對應(yīng)的特征方程為r2 pr q(1) f (x) e xPm(x)Pm(x)為 x 的 m 次多項(xiàng)式特解形式為y*xkQm(x)e x k 0(非特征根)1(為特征單根)2(為特征重根)Qm(x)是X的m次多項(xiàng)式 f (x) exR(x)cosx Pn(2) (x) si n xP|(1)(x), Pn(2)(x)分別為 x 的l,n 次多項(xiàng)式特解形式為 y*xkQm(x)cos X Rm(x)sin xe x m maxl,n ,Qm(x), Rm(x)為 x 的 m 次多項(xiàng)式k0（z非特征根）1（z為特征復(fù)根）5.特殊形式方程（選）（1）伯努利方程dydxP(x)y Q(x)yn (n 0,1)令zy1dydx dz dxP(x)y1 n Q(x)(1 n)y 穿得通解z乎(1n)P (x)z(1 n)Q(x)(x,C)1(x,C