正弦交流電路

1、第三章3-2周期交流電量的有效值設有 一個 直流電 流 I，通 過同一 電阻 R，一個周期時 間內 消耗的電能為I 2R TW I 2R T 。 若 二 者 一 周 期 內 消 耗 的 電 能 相 等 ， 則 有 T2R i2dt03-2-1 )IT1 0 i(t)2 dt式中，I 稱為周期交流電流 i(t)的有效值，它等于瞬時值 i(t)的平方在一個周期內的平均值 再取平方根，因此有效值又稱為均方根值。從 物理意義上講，周期電流的有效值是從功耗 相等 的觀點 來衡量 一個周期電 流的大 小。它 把 交流 電流等效成一 個相應 的直流電流 。當 這 一直流電流通過同一電阻時，在一個周期時間內產(chǎn)

2、生與交流電流同樣的電能消耗。 對于周期性變化的電壓u(t)，它的有效值 U 也有類似的定義，即U T1u(t)2dt03-2-2 )當周期性電流為正弦電流時，設Im sin( t )把電 流代入 式( 3-2-1 )，得Im2 T 1 cos2( t ) dt T 0 dt3-2-3 )可見 正弦電 流的有 效值等于最 大值 Im除 以 2。類似地可以得到正弦電壓的最大值與它的有效值之間的關系Um23-2-4 )這樣，我們可以把式(3-1-1 )重新表示成i 2 I sin( t )式中 ，I 為正弦 交流電 流的 有效值 。電氣工程上一般所說的正弦電壓電流的大小都是指它們的有效值。通 常所說

3、的單相交 流電 壓為 220V ，電流 為 10A 等， 都是指 正弦交流電 的有效 值。 一般工 程上的 電氣測 量儀 表所指的值也大都是指有效值。3-2-5 )3-3正弦交流電量的相量表示第三章正弦量除了用波形和瞬時表達式來表示以外，利 用歐拉公式還可以表示成復指數(shù)的形式。一個正弦交流電流i 2 Isin（t，）可以表示為復指數(shù)形式i 2 I sin( t ) Im 2 Iej ej t( 3-3-1 )方括號內是一個復數(shù)，符號 Im 表示取復數(shù)的虛部。復指數(shù)的模即為正弦函數(shù)的幅值 2I ，幅角為正弦函數(shù)的相位 t ，它隨時間以 角度 增長。若把復數(shù) 2Iej ej t在復平面上的對 應點

4、與 原點之 間用一帶箭 頭的有 向線段相連，如圖 3-3-1 所 示，則 可得到 一個幅 角隨 時間變化的旋轉矢量。這 條用來表示正弦函數(shù)的矢量稱為正弦量的相量。相量在復平面上 的圖形稱為相量圖。圖中畫出了該相量在 t 0和t t1時的位置。當t 0時，該相量與實軸 夾角為正弦函數(shù)的初始相位角 。該 相量以 角速度隨時間向逆時針方向旋轉，當 t t1時 刻 ，相 量 轉 到 圖 中 虛 線 所 示 位 置 。此 時 與 實 軸 夾 角 為 t1。由 圖 可 以 看 出 ，該 相 量 在 虛軸上的投影長度等于 2I sin（t，） 即等于對應的正弦函數(shù)在該時刻的瞬時值。在用復平面上的相量表示正弦

5、函數(shù)時，只要確定其初相位時的相量即可，即相當于取 t 0時的復指數(shù)函數(shù) 2Iej 。實際的正弦時間函數(shù)只要把該復數(shù)乘以ej t，再取其虛部就 可以得到。在電工計算中，復數(shù)中的模一般取為正弦量的有效值，即可以把復數(shù)表示為 Iej ，這里 I為有效值， 為初相角。這樣我們可以把式（3-1-1 ）的正弦交流電流表示成 相量形式為I Iej（ 3-2-2 ）或 I I （ 3-2-3 ）掌握 正弦函 數(shù)的瞬 時值表達式 ，相 量表示圖形 和復 數(shù)表達式，并 理 解它 們之間 的內在 轉換 關系和意義，是穩(wěn)態(tài)正弦交流電路中相量計算的基礎。下面 來討 論兩個 同頻率 正弦 量的計 算問題 。對于圖 3-3

6、-2 所示 的電 路，若 已知兩 條支 路中的電流為i1 2 I1 sin（ t 1）i2 2 I2 sin（ t 2）3 2第三章則合成電流 i 為i i1 i2由前面分析得i i1 i2Im 2 I1ej 1ej t Im 2 I 2ej 2ej tIm 2(I1+I2)ej t Im 2I ej t2I sin( t )這 里I II1 I2( 3-3-4 )由上式可知，要計算合成電流 i只要知道合成電流的相量 I即可，于是兩個同頻率的正弦 電流相加問題，就 轉化成這兩個正弦電流對應的相量的相加問題，即把三角函數(shù)的相加轉 化為兩個復數(shù)的相加運算。我們 還可 以在相 量圖上 直觀 地來分

7、析兩個 正弦量的相 量相加 的意義 。電流 i1與 i2的相 量 I1、 I2示于 圖 3-3-3 中。圖 3-3-3當 t 0時相 量處 于初始 位置。 按兩 個相量 相加的 平行四邊形 法則， 作 I1與 I2的合成相 量I，如圖 3-3-3b 所示。由圖可見 I在虛軸上的投影即為 I1與I2相量在虛軸上的投影值之 和，合成相量I在虛軸上的投影即為 i1 i2的瞬時值。經(jīng)過時刻t1，相量 I1與I2都沿著逆時 針方向旋轉了 t1角度，如圖 3-3-3a 所示，由于I1與 I2的相對位置沒有變化，因此其合成 相量 I的長度也沒有變化。與t 0時刻相比， I也逆時針旋轉了 t1相角。此時I1與

8、 I2在虛 軸上的投影值之和仍等于合成相量在虛軸上的投影。在任意時刻都可以用合成相量 I在虛 軸的投影來表示 I1與 I2的投影之和。相量在虛軸的投影即為該相量對應的正弦函數(shù)的瞬時 值 ，這 樣 兩 個 正 弦 函 數(shù) 瞬 時 值 相 加 之 和 就 等 于 合 成 相 量 所 表 示 的 正 弦 函 數(shù) 瞬 時 值 ，從 而 把 三角函數(shù)運算變成為相量相加減的復數(shù)運算。必須指出，只有同頻率的 正弦量才可以進行相量運算。 3第三章圖 3-3-4例 3-3-1 在 圖 3-3-4 中 ，已 知 u1 2 40sin t ， u2 2 30 sin( t 90 ) ，試 求 總 電 壓 u的值。解

9、：根據(jù)基爾霍夫定律有u u1 u2，用相量來表示則U U1 U2，已知U1 40 0 V， U2 30 90 V，則可求 得U U1 U2 40 0 V 30 90 V (40 j30)V 50 36.9 V 總電壓 u 的瞬時表達式為u 2 50 sin( t 36.9 )V3-4正 弦交 流 電路 中的電阻 元件電阻元件兩端的電壓與通過它的電流之間關系受歐姆定律約束。當 正弦電流流過電阻R 時 ， 如 圖 3-4-1 所 示 ， 選 定 電 壓 與 電 流 的 參 考 方 向 一 致 ， 則 根 據(jù) 歐 姆 定 律 有3-4-1 )u iR若選電流 i為參考正弦量，則 i 2Isin t，

10、代入上式有u 2 IR sin t 2U sin t由上可見，當流過電流 與電壓 的波形 示于圖 3-4-1 中圖 3-4-1電阻的電流為正弦函數(shù)時，電阻上的電壓是與電流同頻率的正弦量。電流與電壓同相位， 它們的有效值也服從歐姆定律，即U IR（ 3-4-2 ）如果用相量形式來表示，則有U IR（ 3-4-3 ）3 4第三章上式 是復數(shù) 形式的 歐姆定律表 達式。該式 同時表述了電阻元 件上 正弦電 壓與電 流之間 的相 位關 系和有 效值關 系。根據(jù)式 （ 3-4-3 ），可畫 出電壓 、電 流的相 量圖， 如圖 3-4-1 所 示。3-5正 弦交 流 電路 中的電感 元件線性非時變電感元件

11、是電路中一種重要和基本的元件，在 實際電路中經(jīng)常遇到由導線 繞制而成的電感線圈。當電流通過自感為 L 的線性電感元件時，若取電感元件兩端電壓與 電流 的參考 方向一 致，如圖 3-5-1 所示 ，則由 楞次定 律知 ，電流 與電壓 之間的關系 式為 d diuLL （ 3-5-1 ）L dt dt式中，L 為電感值，單位為亨利（H）。圖 3-5-1 當通過電感的電流為正弦交流電流時，即 i 2Isin t，代入上式可得電感元件兩端 的電壓為uL L diL 2 I L sin（ t 90 ）L dt2U L sin（ t 90 ） （ 3-5-2 ）1 由上式可見，電感端電壓 uL是與iL同頻

12、率的正弦量，電壓 uL的相位超前電流 iL 1周期，即4 rad 或 90 。2從式（ 3-5-2 ）可得，電感電流的有效值 IL與電感端電壓的有效值之間有關系式ULLIL （ 3-5-3 ）式中 ， L叫做 電感線 圈的自感電抗 ，簡 稱感抗，它和 電阻具 有相 同的量 綱。當 電感 L 的 單位 取 H， 角頻率 的單位取 rad/時s ， 感抗 的單位為 。 感抗一 般用 字母 XL表示 ，即 ULXLL L 2 fL （ 3-5-4 ）L IL例 3-5-1 一 個 電 阻 可 忽 略 的 線 圈 ， 其 電 感 數(shù) 值 為 L 31.8 10 5H ， 設 流 過 電 流 i 2 s

13、in（ t 60 ）A ， 頻 率 f 50Hz， 問 線 圈 電 壓 uL 為 多 少 ？ 若 電 流 頻 率 f 5000Hz ， 重 求第三章線圈端電壓 uL。 解： 設電 流相量 I 1 60 A，當頻率 f 50Hz時，感抗XLL 2 fL 314 31.8 10 6 10由 式 3-5-5 可 得 電 壓 向 量U L jXLI 10 30 V則 有 uL2 10 sint(30 。)V當頻率 f 5000H時z，感抗XL 2 fL 31400 31.8 31010，00電壓向量UL jXLI 1000 30 V，電壓瞬時式 uL2 1000 sint(30。)V3-6正 弦交 流

14、 電路 中的電容 元件線性非時變電容元件 C兩端加上交流電壓uC時，電容中就將有電流 iC流過。若取電容 元件支路iC的參考方向與電壓uC的參考方向一致，如圖 3-6-1 所示，則有3-6-1 )iC dq C duC dt dt當所施加的電壓為正弦交流電壓uC2UC sin（t900時），電容電流為iC C duC2 CUC cos( t 90 )dt3-6-2 )2 IC s i nt ( )電容 元件上 的電壓 與電流的變 化波形 見圖 3-6-1 。由上分析可得，電容上電壓uC與電流iC為同頻率的正弦量，電 流iC在相位上超前電壓 uC90 。從 波形 圖上可 看出， 當電 容電壓 過零值 時， 電壓的 變化率 最大 ，此時 流過電容的 電流幅值達到最大振幅值。而 當電容電壓達到最大幅值時，其