13-1-1平行四邊形的性質(zhì)及判定.講義教師版

1、平行四邊形的性質(zhì)及判定中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求平行四邊形會(huì)識(shí)別平行四邊形掌握平行四邊形的概念、判定和性質(zhì)， 會(huì)用平行四邊形的性質(zhì)和判定解決簡(jiǎn) 單問題會(huì)運(yùn)用平行四邊形的性 質(zhì)和判定解決有關(guān)問題；L hr知識(shí)點(diǎn)睛i 平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形的邊：平行四邊形的對(duì)邊平行且對(duì)邊相等. 平行四邊形的角：平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ). 平行四邊形的對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分. 平行四邊形的對(duì)稱性：平行四邊形是中心對(duì)稱圖形. 平行四邊形的周長(zhǎng)：一組鄰邊之和的2倍.平行四邊形的面積：底乘以高.2.平行四邊形的判定兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行

2、四邊形. 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.例題精講1、平行四邊形的性質(zhì)【例1】 如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形，即 AB / CD , AD / BC .通過證明三角形全等來說明: AB =CD , AD =BC .（對(duì)邊相等）AO =C0 , BO =D0 .（對(duì)角線互相平分）【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】 I AB / CD , AD / BC . ABD =. CDB , . ADB =. CBD 在ABD和CDB中,ABD 二.CDBBD 二

3、DBZADB ZCBD . ABD 也. CDB AB =CD , AD =BC .在. ABO和.：CDO中，ABO /CDONAOB = . CODAB 二 CD AO =CO , BO =DO 【鞏固】 如圖，點(diǎn)E, F是平行四邊形 ABCD對(duì)角線上的兩點(diǎn)， 且BE =DF ,那么AF和CE相等嗎？請(qǐng)說 明理由【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】因?yàn)锳BCD是平行四邊形所以 AD =BC , AD / BC所以.1 =. 2，又因?yàn)?1 ADF =180 , . 2 EBC =180所以.ADF =/EBC又因?yàn)锽E=DF ,所以.ADF占CBE，所以

4、 AF二CE【答案】AF =CE【例2】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，EF / BC, GH / AB, EF與GH相交于點(diǎn)O，圖中共有個(gè)平行四邊形G DHC【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】9個(gè)【鞏固】以三角形的三個(gè)頂點(diǎn)作平行四邊形，最多可以作（）A . 2個(gè)B . 3個(gè)C. 4個(gè)D . 5個(gè)【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】B【例3】（2008蘭州）如圖，平行四邊形 ABCD中，AB _ AC .對(duì)角線AC , BD相交于點(diǎn)O,將直線AC 繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交 BC , AD于點(diǎn)E

5、, F . 證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為 90時(shí)，四邊形 ABEF是平行四邊形； 試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 AF與EC總保持相等.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，蘭州中考【解析】證明：當(dāng).AOF =90時(shí)，AB II EF ,又 I AF II BE ,四邊形ABEF為平行四邊形. 證明：；四邊形ABCD為平行四邊形 AO =CO , FAO = ECO , AOF = . COE . AOF 也.COE AF =EC【答案】證明：當(dāng)ZAOF =90時(shí)，AB II EF ,又 T AF II BE ,四邊形ABEF為平行四邊形. 證明：常四邊形ABCD為平行四邊

6、形 AO =CO，三FAO ZECO , ZAOF ZCOE . AOF 也.COE AF =EC【例4】 在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)Ai、A、A、A4和Ci、C2、C3、C4分別為AB和CD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)Bi、 B2和Di、D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn)，已知四邊形 A4B2C4D2的面積為1，則平行四邊形 ABCD 面積為（）35A . 2B . -C. -D . 15【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，山東濰坊【解析】利用對(duì)稱性、平行線的性質(zhì)及割補(bǔ)法可得C.【鞏固】 如圖，在平行四邊 ABCD中，AC、 面積為（）A 3 B 6 C. 12【答案】

7、CBD為對(duì)角線，BC =6 , BC邊上的高為4，則陰影部分的D . 24【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，桂林市中考，百色市中考【解析】利用平行線的性質(zhì)及割補(bǔ)法可得C.【答案】C【例引 現(xiàn)有如圖2的鐵片，其形狀是一個(gè)大的平行四邊形在一角剪去一個(gè)小的平行四邊形，工人師傅想 用一條直線將其分割成面積相等的兩部分，請(qǐng)你幫助師傅設(shè)計(jì)三種不同的分割方案.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】1995年，昆明競(jìng)賽，2003年宿遷中考【解析】省略【答案】答案不惟一.【鞏固】 如圖1, Oi , O2, O3 , O4為四個(gè)等圓的圓心，A

8、, B , C , D為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫出一條直線，將這四個(gè)圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)是 ；如圖2,Oi，O2，O3, O4，O5為五個(gè)等圓的圓心， A，B，C，D，E為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫出一條 直線，將這五個(gè)圓 分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)是 .C。4O3DIBO2OiAO5【考點(diǎn)】圓的相關(guān)概念及性質(zhì)【題型】填空【難度】4星【關(guān)鍵詞】2008年，天津【解析】Oi , O3如圖（提示：答案不惟一，過 O1O3與O2O4交點(diǎn)O的任意直線都能將四個(gè)圓分成面積相等 的兩部分）；O5 , O,如圖（提示：答案不惟一，女口AO4, DO3 , EO2 , C

9、Oi等均可）.CO3。5DB。2AOiO4【答案】見解析【例6】 如圖，E,F是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE二CF . 求證：（i） ADF:CBE ;（2） EB II DF .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2007年，浙江臨安中考【解析】（i） AE二CF , AE EF =CF FE，即 AF =CE . 又 ABCD是平行四邊形， AD =CB,AD / BC . . DAF =/BCE . . ADF 也.：CBE(2) / ADF 也.CBE . DFA 二/BEC . DF / EB.【答案】(1) / AE =CF , AE

10、EF =CF FE，即 AF =CE . 又 ABCD是平行四邊形， AD =CB,AD / BC . . DAF 二.BCE . ADF CBE(2) v ADF 也 CBE . DFA 二/BEC . DF / EB.【鞏固】 如圖，已知：在平行四邊形 ABCD中，.BCD的平分線CE交邊AD于E , ABC的平分線BG交CE于F，交AD于G .求證：AE = DG .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，青海西寧【解析】（答案不惟一）v四邊形ABCD是平行四邊形（已知） AD / BC , AB =CD （平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）乙GBC ZBG

11、A，乙BCE ZCED （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又v BG平分/ABC , CE平分/BCD （已知） ZABG ZGBC，乙BCE ZECD （角平分線定義） . ABG 二.AGB , . ECD 二.CED . AB =AG , CE =DE （在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊） AG 二 DE AG - EG 二 DE - EG ,即 AE 二 DG【答案】（答案不惟一）v四邊形ABCD是平行四邊形（已知） AD / BC , AB二CD （平行四邊形的對(duì)邊平行且相等） . GBC BGA , . BCE CED （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） 又v BG平分/ABC , CE平分/BCD

12、 （已知） ZABG ZGBC，乙BCE ZECD （角平分線定義） . ABG - . AGB , . ECD 二.CED . AB =AG , CE =DE （在同一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊） AG 二 DE AG -EG 二 DE -EG ,即 AE 二 DG【例7】 已知：如圖，平行四邊形 ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E滿足ED _ AD于點(diǎn)D , EBC ZEDC , ECB =45 ,請(qǐng)找出與BE相等的一條線段，并給予證明.F【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】AB或CD .證明：延長(zhǎng)DE交BC于F ,/ ED _ AD 且 AD / BC DF _ BC又

13、ECB =45- . CEF為等腰直角三角形 EF =CF在BEF和.DCF中EBF 二.CDFYBFE = . DFCEF =CF- . BEF 也.DCF BE 二 DC 二 AB【答案】AB或CD【鞏固】 如圖，E、F是平行四邊形 ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，BE / DF，求證：AF =CE .AD【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，湖南長(zhǎng)沙中考【解析】省略【答案】證明：平行四邊形 ABCD中，AD / BC , AD = BC , . ACB = CAD .又 BE / DF ,乙BEC ZDFA , . BEC 也.DFA , CE =AF【例

14、8】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，連接對(duì)角線BD，過A,C兩點(diǎn)分別作AE _ BD , CF _ BD , E , F為 垂足，求證：四邊形 AECF是平行四邊形AD【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】因?yàn)?ABCD是平行四邊形，所以 AB =CD且AB / CD 所以 /ABE =/CDF因?yàn)?AE _ BD , CF _ BD，所以.AEB 二.CFD = 90 所以AABE也.CDF，所以 AE =CF因?yàn)?AEO CFO 90，所以 AE / CF所以四邊形AECF是平行四邊形【鞏固】 如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DE

15、、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F ,連接AE、CF .求證:S ABE - S EFC .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】易證.BEF也CED ,BF = CD = ABABE和 FBE是以AB、BF為底的等底等高三角形. S.ABE =S.EBE/ FBE和 FCE是以BE、CE為底的等底等高三角形.S.F：be 二S.Ece ,【例9】 如圖，已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為10 , P是. ：ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD / AC , PE / AB, PF / BC ,點(diǎn) D , E, F 分別在 AB , BC , AC 上，貝U PD PE PF如圖1,在平

16、行四邊 ABCD中，NA =120，則/ D =AB圖1如圖2,在平行四邊形 ABCD中，DB =DC , . A =65 , CE _ BD于E，則.BCE =D圖2已知四邊形的四條邊長(zhǎng)分別是a ,b, , d，其中a,b為對(duì)邊，并且滿足a2 b2 c2 d2ab 2cd則這個(gè)四邊形是（）A 任意四邊形B.平行四邊形C.對(duì)角線相等的四邊形D.對(duì)角線垂直的四邊形AB = 6cm , DE 平分.ADC（2009東營(yíng)）如圖 3,在平行四邊 ABCD中，已知 AD=8cm , 交BC邊于點(diǎn)E，貝U BE等于cm 圖3已知平行四邊形 ABCD的周長(zhǎng)為60cm ,對(duì)角線AC、BD相交于0點(diǎn)，AAOB的

17、周長(zhǎng)比.BOC 的周長(zhǎng)多8cm，則AB的長(zhǎng)度為 cm 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略；省略；/四邊形ABCD是平行四邊形A EDCB =65又/ DB =DC DBC = DCB =65 , CDB =50又/ CE _BD , . ECD =40 . BCE =65 -40 =25 省略 I BC = AD =8cm , CE =CD =AB =6cm , BE = 2cm .如圖，UAOB的周長(zhǎng)為 AB AO BO , ：BOC的周長(zhǎng)為BC BO CO 由平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得AB AO B0 BC BO CO 二AB _BC =84【

18、答案】10 ;60 ;25 ;B；2cm ;19【鞏固】一個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為5和7,則它的一條邊長(zhǎng) a的取值范圍是 AC【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】如圖，不妨設(shè) AB =a， AC =5， BD =7，在AABO中,AO =5 ， BO = 7，由二角形二邊關(guān)系可得AO BO| ；： AB : AO BO ，即 1 ： a ：: 6 .【答案】1 ：a .6【例10】如圖，是某區(qū)部分街道示意圖，其中CE垂直平分AF , AB / DC , BC / DF ,從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達(dá)的公交車，路線1是B -D -A-E，路

19、線2是B C -F E，請(qǐng)比較兩條路線路程的長(zhǎng)短，并給出證明.EG【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】?jī)蓷l路線一樣長(zhǎng)延長(zhǎng)FD交AB于點(diǎn)G , / CE垂直平分 AF , AB / DC , DF =DA , FED EAB =90 , DAF DFA .乙 DGA ZDFA ZDAG ZDAF =90 . DAG - . DGA AD =DG又/ AB / DC , BC / FG四邊形DCBG為平行四邊形， BC =DG =AD =FD四邊形BCFD亦為平行四邊形， CF =DB路線 1 =BD DA AE，路線 2 二 BC CF FE路線1與路線2相等

20、.【答案】路線1與路線2相等【鞏固】 如圖是某市一公園的路面示意圖，其中，ABCD是平行四邊形，BE_AC, DF _ AC , E、F是垂足，G、H分別是BC、AD的中點(diǎn)，連接EG , GF，F(xiàn)H . HE為公園中小路，問小明從B地 經(jīng)E地，H地到F地，與小強(qiáng)從 D地經(jīng)F地，G地到E地，誰的路程遠(yuǎn).【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】?jī)扇艘粯舆h(yuǎn)四邊形ABCD為平行四邊形， AB =CD ,AD =BC , BAC 二.DCA ,/ BE _ AC , DF _ AC , BE II DF . ABE =/CDF . ABE 也 CDF , BE =DF1又

21、 G、H 分別是 BC、AD 中點(diǎn)， EG 二GC 二BC GEC=. G C,E2同理 FH =AH，乙DAF ZAFH2- EG II HF 且 EG =HF -四邊形 EGFH 為平行四邊形， BE EH HF =DF FG EG 兩人路程一樣遠(yuǎn).【答案】?jī)扇寺烦桃粯舆h(yuǎn)【例11】在平行四邊形ABCD中，過A任作一直線 AM，過B、C、D作AM的垂線BE、CF、DG , 垂足分別是 E、F、G，求證：BE=DG -CF .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】 解法一：如圖，過C作CH _ DG于H，則GFCH為矩形. GH 二CF , CH

22、II AM .又 AB II CD , . BAE = . DCH .又 AB 二 CD , Rt . ：ABE 也 Rt CDH . BE 二 DH 二 DG -GH , BE 二 DG -CF .解法二：如圖，延長(zhǎng)CF到H，使HF =BE，連接BH，顯然BHFE為矩形. . BHC =90 =. AGD . DG / CF , AD / BC , . ADG =/BCH .又 AD =BC , . ADG 也.：BCH , DG =CH =CF HF =CF BE . BE =DG -CF .【鞏固】AC是平行四邊形OF _AD 于點(diǎn) F，ABCD較長(zhǎng)的一條對(duì)角線，點(diǎn)CO是ABCD內(nèi)部一點(diǎn)

23、，0E _ AB于點(diǎn)E，【考點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】 【解析】省略【答案】如圖所示，分別過點(diǎn)B、C、D作直線A0的垂線，EG / CP / DL、Q、N為垂足；分別過B、D作AC的垂線，L、K為垂足.顯然，A、E、0、G、F五點(diǎn)共圓， AO是直徑.由 DN _ AO , CQ _ AO , BM _ AO , DC / AB 且 DC = AB 可知 NQ 二 AM .已知 AF AD =AN AO , AE AB = AM AO ,貝V AF AD AE AB=AN AO AM AO =AO AN AM二 AO AN NQ=AO AQAG AC故 AE A

24、B - AF AD =AG AC .點(diǎn)評(píng)：ab cd =ef類型的問題一般要轉(zhuǎn)化為 ab =mn型的問題（當(dāng)然，如果能夠使用勾股定理、 余弦定理等，大家也可以踴躍嘗試），把握了這一點(diǎn)，就能及時(shí)調(diào)整思路，確保解題不會(huì)誤入歧途.二、平行四邊形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用【例12】點(diǎn)A、B、C、D在同一平面內(nèi)，從 AB / CD，AB =CD，BC / AD，BC =AD .這 四個(gè)條件中任選兩個(gè)，能使四邊形ABCD是平行四邊形的選法有（）種A. 3B . 4C. 5D. 6【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】選B .和對(duì)，和對(duì)，和錯(cuò)，和錯(cuò)，和對(duì)，和對(duì).等腰梯形是錯(cuò)的特例

25、.【答案】B【鞏固】 如圖，已知： AD是, :ABC的角平分線， DE / AB,在AB上截取BF二AE，連接DE , EF，求 證：四邊形BDEF是平行四邊形【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】因?yàn)?AD平分.BAC所以 NBAD =NCAD因?yàn)?DE / AB，所以.BAD = ADE 所以 EEAD .乙ADE , DE =AE 因?yàn)锽F =AE，所以DE =：BF因?yàn)镈E / BF，所以BDEF是平行四邊形【例13】已知：如圖，在平行四邊形 ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn) 求證：.AFD：CEB ;四邊形AECF是平行四邊形.

26、【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2006年，南京中考【解析】省略【答案】（1） 四邊形ABCD平行四邊形， AB =CD,AD =BC,ZB =ND .又 E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，11BE AB,DF CD .22 BE =DF ,AE =CF . AFD 也 CEB .（2 ）由（1 ）知 AE =CF , AFD 也 CEB . AF 二CE .四邊形AECF是平行四邊形.【鞏固】 如圖，四邊形 ABCD中，AB / CD ,. B = D , BC =6 , AB =3，求四邊形 ABCD的周長(zhǎng).【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星

27、【關(guān)鍵詞】2009年，柳州中考【解析】省略【答案】解法一：/ AB / CD N B +NC =180又 . B = . D . C . D =180 AD / BC，即得ABCD是平行四邊形AB 二CD 二 3 , BC 二 AD 二6四邊形ABCD的周長(zhǎng)二2 62 3二18解法二：連接AC/ AB / CD . BAC =. DCA又 . B = . D , AC 二 CA . ABC 也.CDA AB 二CD 二 3 , BC = AD 二6四邊形 ABCD的周長(zhǎng) =2 62 3 =18解法三：連接BD/ AB / CD . ABD CDB又： ABC = . CDA . CBD ADB

28、 AD / BC，即ABCD是平行四邊形 AB =CD =3, BC = AD =6四邊形 ABCD的周長(zhǎng) =2 62 3 =18【例14】如圖所示，P為平行四邊形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，求證：以 AP、BP、CP、DP為邊可以構(gòu)成一個(gè)四 邊形，并且所構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)度恰好分別等于AB和BC .ADCCQ【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】【解析】如圖所示，將.PAB平移至.QDC的位置，易證DQ =AP，CQ =BP，則四邊形DPCQ恰好是 個(gè)以AP、BP、CP、DP為邊的四邊形，并且它的對(duì)角線恰好等于平行四邊形ABCD的兩條鄰邊.【例15】如圖所示，在平行四邊

29、形 ABCD中，、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AF =CE，求證：四邊形BEDF 是平行四邊形.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】連接BD，交AC于0/四邊形ABCD是平行四邊形， BO =D0、AO =C0/ AF CE、 AF -AO =CE -CO OF =OE、四邊形BFDE是平行四邊形【鞏固】已知：如圖,AD / BC、ED / BF，且 AF =CE .求證：四邊形ABCD是平行四邊形.A【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】/ ED / BF、乙DEF ZBFE、 ZAED ZBFC 又/

30、 AF =CE、 AE =CF/ AD / BC乙EAD ZFCB、 AED 也 CFB AD二BC、 ABCD是平行四邊形【例16】如圖、在平行四邊形 ABCD的各邊AB , BC , CD , DA上，分別取E、F , G, H、使AE =CG、BF二DH、求證：四邊形 EFGH為平行四邊形G【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】利用.AEH也 CGF ,. AEH也CDFE，證明HE二 FG , HG 二 EF【例17】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P ,過點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E ,交BC于點(diǎn)F 若 圧序 ，且APAE=CP C

31、F .求證：四邊形 ABCD是平行四邊形.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定 【題型】解答 【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，西城模擬改編【解析】省略【答案】延長(zhǎng) PA、PC，使AM二AE、CF二CN .連結(jié)MF、EN .AP AE =CP CFPM =PN四邊形MFNE是平行四邊形.ME=NF,M ZNAE 二 AM , CN =CF.AME 也. CNFAM =CNAP 二CP, . PAD =. PCB.APD 也 NCPBPD =PB四邊形ABCD是平行四邊形.N是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，且AM =CN ,DE =BF，求證:【鞏固】 如圖，在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)M、 四邊形MFNE是平行

32、四邊形.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】/四邊形ABCD是平行四邊形 AB / CD , AB =CD . MAF =/NCE又 DE =BF AF =CE又 AM =CN顯然.AFM也.CEN FM =EN且.AMF =. CNE . FMN =. ENM四邊形MFNE是平行四邊形.【鞏固】 如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，且 AE =CF .求證：ABE = . ：CDF ;若M ,N、分別是BE、DF的中點(diǎn)，連接 MF、EN，試判斷四邊形 MFNE是怎樣的四邊形, 并證明你的結(jié)論.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判

33、定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2005年，四川中考【解析】省略【答案】 由ABCD是平行四邊形可知， AB二CD，也BAE ZDCF 又 AE =CF，故.：ABE 也.CDF由（1）可知，.AEB =/CFD , BE=DF又 FN =DN , BM 二ME , ME 二 NF而 AD / BC , 有.AEB = . CBE /CBE ZCFD , BE / DF四邊形MFNE為平行四邊形【例18】如圖，過四邊形 ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O作直線EF交AD、BC分別于E、F,又G、H分別為 OB、OD的中點(diǎn)，求證：四邊形 EHFG為平行四邊形.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【

34、難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】易證 EO =F0 , HO =G0四邊形EHFG為平行四邊形【鞏固】 如圖，厶ACD、八ABE、厶BCF均為直線BC同側(cè)的等邊三角形.當(dāng)AB = AC時(shí)，證明四邊形 ADFE 為平行四邊形.D【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】2008年，佛山中考【解析】省略【答案】/ ABE、. BCF為等邊三角形， AB =BE = AE , BC =CF =FB , ABE =. CBF =60 . . FBE = CBA . . ：FBE 也 CBA . EF =AC .又/ ADC為等邊三角形， CD = AD = AC . EF

35、 =AD .同理可得AE =DF .四邊形AEFD是平行四邊形.【例19】如圖，點(diǎn)E, F , G , H , M , N 分別在 ABC 的 BC, AC, AB 邊上，且NH / MG / BC , ME / NF / AC , GF / EH / AB，有黑、白兩只螞蟻，它們同時(shí)同速?gòu)?F點(diǎn) 出發(fā)，黑螞蟻沿路線 FNHEMGF爬行，白螞蟻沿路線 F B)A C)F 爬行，那么( )A. 黑螞蟻先回到F點(diǎn)B. 白螞蟻先回到F點(diǎn)C. 兩只螞蟻同時(shí)回到 F點(diǎn)D. 哪只螞蟻先回到F點(diǎn)視各點(diǎn)的位置而定【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】選擇【難度】5星【關(guān)鍵詞】2006年，第17屆，希望杯試題【

36、解析】可知四邊形 CFNH , AHEM , BMGF均為平行四邊形，可知選 C【答案】CABE、等邊.：CDF .求證:四邊形AECF是【鞏固】 以ABCD的對(duì)邊AB、CD為邊分別在外作等邊 平行四邊形.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】/ AB =CD , ABE和.：CDF都是等邊三角形 AE =CF , EB =DF/ BC =AD , ABC =/ADC , ABE =/CDF . CBE ADF , . ：CBE 也.：ADF CE =AF , 四邊形AECF是平行四邊形【鞏固】 等邊ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，且CD =

37、 BE，所以AD為邊作等邊 ADF .求證: 四邊形CDFE是平行四邊形.【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】連結(jié)FB .v /1 =60 ZBAD Z2 , AF 二 AD , AB 二 AC . AFB 也 ADC , MABF MACD =60 , FB =DC / CD 二 BE , FB =BE BEF 是等邊三角形， EF =BE =DC , . BEF =60v . ABC =60 , . BEF =/ABC EF / BC ,四邊形CDFE是平行四邊形【例20】如圖，已知AC是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線，厶ACP和厶ACQ都是等

38、邊三角形，求證：四邊形 BPDQ是平行四邊形.O【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】方法一：（利用全等得兩組對(duì)邊相等）/ AC是平行四邊形ABCD的對(duì)角線 . DAC 二/BCAv /ACP /CAQ =60 . DAQ 二/BCP又 v AD =CB , AQ =CP , ：ADQ 也.：CBP DQ =BP類似可證.ABQ也.CDP BQ =DP四邊形BPDQ是平行四邊形.方法二：（利用對(duì)角線互相平分證明結(jié)論）連結(jié)BD交AC于0，連結(jié)PO、QO .利用.ACP和.ACQ是全等等邊三角形可得P、0、Q三點(diǎn)共線，且 PO =Q0又 v BO =D

39、O四邊形BPDQ是平行四邊形.【鞏固】如圖，UABC中，D是AB的中點(diǎn)，E是AC上任意一點(diǎn)，EF AE互相平分./AB ,DF / BE .求證：DF 與平行四邊形的性質(zhì)和判定 解答3星【考點(diǎn)】【題型】【難度】【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】連結(jié)AF、DE .v EF / AB , DF / BE , 四邊形BDFE是平行四邊形 EF =BD AD =BD , AD =EFT AD / EF , 四邊形ADEF是平行四邊形 DF與AE互相平分【例21】如圖，田村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個(gè)角A,B,C,D處均種有一顆大核桃樹，田村準(zhǔn)備開挖池塘建養(yǎng)魚池，想使池塘面積擴(kuò)大一倍，又想讓核桃樹不動(dòng)，

40、并要求擴(kuò)建后的池塘成平行四 邊形的形狀，請(qǐng)問田村能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)并畫出圖形，若不能，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】濟(jì)南中考【解析】連接AC , BD，交于0 ,過A, C分別作BD的平行線，過B, D分別作AC的平行線，他們分別交 于E，F(xiàn)，G，H，則平行四邊形 EFGH合乎題設(shè)要求【答案】見解析【鞏固】 如圖，在 ABC中，ACB =90，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，連結(jié)CE，過點(diǎn)E作ED _ BC于點(diǎn)D，在DE 的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) F，使AF =CE .求證：四邊形 ACEF是平行四邊形.BCA【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】

41、3星【關(guān)鍵詞】2009年，湖北黃岡【解析】省略【答案】 . ACB =90 , AE =BECE =AE =BE又 AF 二CE AF =CE =AE =BE又 ED _BC , BE =CE乙BED ZCED又 BED AEF由 AE 二 AF 得 F =. CED CE / AF四邊形ACEF是平行四邊形.【例22】如圖，在平行四邊形 ABCD中，DE_AB于E , BM二MC二DC，那么乙EMC與乙BEM的大小 關(guān)系怎樣？【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F ,連結(jié)DM , . 5 =/6,. F =/4 , MB =MC ,

42、 FCM 也 EBM , M 是 EF 的中點(diǎn). AB / CD , DE_AB , DE _ FD . 在 Rt EFD 中，v /F =. 1 , . 3 =2. F，又 v CM =DM , . 2 =/1 =/F，又 . EMC =3. F ,而.F = . 4, . EMC =3 BEM .【答案】 /EMC =3BEM【鞏固】 已知平行四邊形 ABCD , BC =2AB , M為AD的中點(diǎn)，CE _ AB .求證：EMD =3AEM .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】解法一：如圖，取BC的中點(diǎn)N，連接MN、MC .v AM /

43、BN , AM =BN , MN =AB =DC , . AEM - . EMN . 又 CE _ AB, CE _MN，且平分 CE . . EMN CMN .又 MDCN 為菱形， CMN = . CMD EMN , . EMD =3 AEM .解法二：如圖，延長(zhǎng) EM、CD交于F .FAM/ AB / CF , . AEM DFM , . EAM = FDM . 又AM 二DM ,- . AEM DFM , . AEM 二.F , EM =FM .又 AB / CD , CE _ AB , CE _CD , MC 二MF ,故/MCF ZF . . EMC =2 F =2 AEM .又

44、DM =CD , . DMC 二/MCF 二/F 二/AEM . . EMD =3. AEM .解法三：如圖，過M作MH _CE于H ./ AE / CD , AE _CE , MH / AE / CD .又 AM 二DM , EH =CH , . EMH 二/CMH , / EMD =3AEM解法四：如圖，連接CM并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于F ,貝AMF ZDMC .又 AM =DM , BF / CD ,乙FAM ZCDM ,AMF 也.：DMC , MF =MC .v ZCEF =90 , MF =ME , F ZAEM . . EMC = F AEM =2 AEM .1v AD 二 BC

45、=2AB =2CD , DMAD =CD ,2【例23】已知：如圖，平行四邊形ABCDBE、DF的延長(zhǎng)線分別交 AD、B . DMC =. DCM =. F =. AEM , . EMD =/EMC . DMC =3. AEM .中，AE、BE、CF、DF 分別平分.BAD、. ABC、. BCD、. CDA , BC于點(diǎn)M、N .連接EF，若AD =7, AB =4 .求EF的長(zhǎng).平行四邊形的性質(zhì)和判定 解答4星【考點(diǎn)】【題型】【難度】【關(guān)鍵詞】2008年，順義二模 【解析】省略【答案】/四邊形ABCD是平行四邊形， AD / BC , AD二BC , AB二CD ,. CBM =/AMB,

46、 BE 平分 ZABC , AM =AB =4 .ABM =/CBM , . ABM =/AMB , AE 平分.BAD , 1 EMBM .2同理，CN 二CD , DF= -DN ,2 AM 二CN , AD -AM 二 BC CN，即 DM 二 BN ,四邊形BNDM是平行四邊形， BM =DN , BM / DN , EM =DF , EM / DF ,四邊形MEFD是平行四邊形，EF 二 MD , EF 二 MD 二 AD - AM 二 AD - AB 二 7 - 4 二 3 .【例24】如圖，P為平行四邊形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AB、AD的平行線，交平行四邊形于 E、F、G

47、、H 四點(diǎn)，若 Sahpe =3 , SpfCG 二 5 , 求 SPBD .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】設(shè)AH a , HB =b，在平行四邊形 AHPE中，AH邊上的高為m , 平行四邊形PFCG中PF邊上的高為n ,由EF / AB , GH / AD知 四邊形EPGD、HBFP也是平行四邊形，故 SaaBD :2g1Saabdan ,211AB m n a b m n am an bm bn ,221Sabhpbm , S平行四形ahpe = am =3 , S平行四形pecg =bn =5 ,2由 SAABD 二 SabdPSA EPDSa

48、 BHP S四形AHPE，Sabdp =(3 +an +bm +5 )丄 an 丄 bm 3 =1.2 2 2【答案】1【例25】如圖，在.ABC中，AB二AC , AD _ BC于D，點(diǎn)P在BC上，PE _ BC交BA的延長(zhǎng)線于 E, 交 AC 于 F。 求證：2AD=PE+PF ;ED PED P11/KI iI fH ”【考點(diǎn)】軸對(duì)稱類全等問題【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】第十二屆，希望杯邀請(qǐng)賽試題【解析】省略【答案】分析：加倍中線構(gòu)造平行四邊形，然后再通過等量線段證明原式成立。 證明：延長(zhǎng) AD，使得AD=DH，連接CH,延長(zhǎng)FP交CH于點(diǎn)K。/ AB 二 AC, AD _BC 二

49、 BD 二CD AD =DH ABCH為平行四邊形 AB / CH , /BCH /ABC EACB FP _ BC, CP為公共邊. ：FCPKCP FP 二 PK/ AD _BC, PF _BC 二 AH / EKAB CH AHKE為平行四邊形 AH =EK 2AD =AH =EK =PE PK =PE PF說明：倍長(zhǎng)中線構(gòu)造平行四邊形是競(jìng)賽中常用的技巧之一，競(jìng)賽班的學(xué)生一定要掌握。 而運(yùn)用其性質(zhì)的一個(gè)典型例題?！眷柟獭咳鐖D，四邊形EFGH中，若 在平行四邊形ABCD中取一點(diǎn).1=/2，則.3必然等于 4 請(qǐng)運(yùn)用結(jié)論證明下述問題：如圖, P，使得.5 = 6，求證：.7=8.【考點(diǎn)】平行

50、四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】2007年，101中學(xué)期中考試【解析】省略【答案】分別過點(diǎn) B、P 作 BK /AP，PK /AB，交于點(diǎn) K，連接 CK ./ BK / /AP , PK /AB二 BK =AP , PK =AB, . 5= . BKP , . 7 = . BPK / AB 二CD , AB/CD , /. PK / /CD , PK 二CD PKCD為平行四邊形， PD =CK/ AD =BC , . ：ADP 也.BCK ,二匕8 ZBCK在四邊形 BKCP中，NBKP =N5 =N6 EBPK ZBCK7 Z8【鞏固】 如圖所示，在平行四邊形 ABCD中，求證AC2 - BD2二AB2 - BC2 CD2 DA2 .【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】本題實(shí)質(zhì)是證明 AC2 BD2 =2 AB2 AD2 .如圖所示，過點(diǎn)C作CE / DB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E ,因?yàn)?CE / DB , DC / BE ,故BECD是平行四邊形，從而 CE = DB , BE = DC .作CH _AE , H是垂足，則：2 2 2 2 2 2 2 2AC = AH CH =AB BH CH = AB 2AB BH BH CH ,22222 J.22