初二-第06講-勾股定理的應(yīng)用-教案

1、 第06講 勾股定理的應(yīng)用 溫故知新一、上節(jié)課重點(diǎn)回顧1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用 和 分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么有 。2、勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形。最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角。3、勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系 區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理 聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。 課堂導(dǎo)入一、 問(wèn)題導(dǎo)入知識(shí)要點(diǎn)一勾股定理的應(yīng)用1、勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，利用勾股定理可以解決直角三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題

2、。（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊；（2）已知三角形的一邊及另外兩邊的關(guān)系求未知邊。2、勾股定理的逆定理：在一個(gè)三角形中，若有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三邊關(guān)系說(shuō)明三角形為直角三角形，通過(guò)數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形中的位置關(guān)系。3、建立勾股定理及逆定理的模型解決實(shí)際問(wèn)題： 用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立直角三角形號(hào)的模型，即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，這里特別要注意弄清楚實(shí)際語(yǔ)言與數(shù)學(xué)語(yǔ)言間的關(guān)系。 典例分析例1、如圖，一根垂直于地面的旗桿在離地面5m處撕裂折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部12m處，旗桿折斷之前的

3、高度是（）A5m B12mC13m D18m【解析】 D例2、如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)C是與BA方向成直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得CB=60m，AC=20m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A200m B20mC40m D50m【解析】 C例3、如圖所示，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.5米，則梯子頂端A下落了0.5米【解析】在直角ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，AC=2米，在直角CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，CE=1.5米，AE=2米1.5米=0.5米答案為：0

4、.5例4、一個(gè)零件的形狀如圖所示，已知ACAB，BCBD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的長(zhǎng)【解析】在RtABC中，BC2=AB2+AC2=42+32=25，在 RtBCD中，CD2=BC2+BD2=25+122=169，CD=13（cm）答：CD的長(zhǎng)為13cm舉一反三1、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度hcm，則h的取值范圍是（）Ah17cm Bh8cm C15cmh16cm D7cmh16cm【解析】D2、放學(xué)以后，小明和小華從學(xué)校分開(kāi)，分別向北和東走回家，若小明和小華行走的速度都是50米/分，小明

5、用10分到家，小華用24分到家，小明和小華家的距離為（）A600米B800米C1000米D1300米【解析】D3、有兩棵樹(shù)，一棵高5米，另一棵高2米，兩樹(shù)相距5米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢的頂端飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢的頂端，至少飛了米（用含根號(hào)的式子表示）4、如圖，某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m，長(zhǎng)13m，寬2m的樓道上鋪地毯，已知地毯每平方米18元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要612元錢(qián)5、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)习偾椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由A駛向B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上的兩點(diǎn)A、B的距離分別為AC=

6、300km，BC=400km，又AB=500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？【解析】（1）海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由：過(guò)點(diǎn)C作CDAB，AC=300km，BC=400km，AB=500km，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形，ACBC=CDAB，300400=500CD，CD=240（km），以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?50km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域，海港C受臺(tái)風(fēng)影響；學(xué)霸說(shuō)規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角

7、形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤.4. 應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解赤裸裸的殘酷的掠奪，激起了當(dāng)?shù)赝林褡孱B強(qiáng)的反抗。知識(shí)要點(diǎn)二 立體圖形的最短路徑在平面上尋找兩點(diǎn)之間的最短路線是根據(jù)線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線段最短。在立體圖形上，由于受物體與空間的阻隔，兩點(diǎn)間的最短路線不一定是兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，而是應(yīng)該將其展成平面圖形，利用平面圖形中線段的性質(zhì)確定最短路線。常見(jiàn)立體圖形平面化例如：求AC、兩點(diǎn)的最短距離，可將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，利用勾股

8、定理即可求例如：求AB兩點(diǎn)的最短距離，可將圓柱體表面展開(kāi)，利用勾股定理即可求。典例分析例1、如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為 cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是（）A6cm B8cmC10cm D12cm【解析】 C例2、如圖，一個(gè)圓桶兒，底面直徑為16cm，高為18cm，則一只小蟲(chóng)底部點(diǎn)A爬到上底B處，則小蟲(chóng)所爬的最短路徑長(zhǎng)是（取3）（）A20cm B30cmC40cm D50cm【解析】B例3、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)，寬，高分別為100cm，15cm和10cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度為

9、125cm【解析】展開(kāi)圖為：則AC=100cm，BC=153+103=75cm，在RtABC中，AB=125cm所以螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度為125cm故答案為：125cm舉一反三1、如圖，圓柱的底面半徑是40，高為30，一只螞蟻在圓柱的側(cè)面爬行，請(qǐng)問(wèn)螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（）A50 B50C500 D500【解析】A2、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A20 B25 C30 D32【解析】B3、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4cm和寬為2cm，高為5cm若一只螞蟻從P點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面爬行一

10、圈到達(dá)Q點(diǎn)，求螞蟻爬行的最短路徑長(zhǎng)為多少cm？ 課堂闖關(guān)初出茅廬1、如圖，是臺(tái)階的示意圖已知每個(gè)臺(tái)階的寬度都是30cm，每個(gè)臺(tái)階的高度都是15cm，連接AB，則AB等于（）A195cm B200cmC205cm D210cm【解析】A2、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為1cm和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要（）A12cm B11cmC10cm D9cm【解析】C3、如圖所示的一塊地，已知ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，則這塊地的面積為96m24、你聽(tīng)說(shuō)過(guò)亡羊補(bǔ)牢的故事嗎如圖，為了防止羊的再次丟次，小明爸爸要

11、在高0.9m，寬1.2m的柵欄門(mén)的相對(duì)角頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木板，這條木板需1.5m長(zhǎng)5、如圖，一個(gè)底面周長(zhǎng)為24cm，高為5cm的圓柱體，一只螞蟻沿側(cè)表面從點(diǎn)A到點(diǎn)B所經(jīng)過(guò)的最短路線長(zhǎng)為13cm6、“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車(chē)速檢測(cè)儀A的正前方60米處的C點(diǎn)，過(guò)了5秒后，測(cè)得小汽車(chē)所在的B點(diǎn)與車(chē)速檢測(cè)儀A之間的距離為100米（1）求BC間的距離；（2）這輛小汽車(chē)超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）在RtABC中，AC=60m，AB=100m，且AB為斜邊，根據(jù)勾股定理得：

12、BC=80（m）；（2）這輛小汽車(chē)沒(méi)有超速理由：805=16（m/s），平均速度為：16m/s，16m/s=57.6km/h，57.670，這輛小汽車(chē)沒(méi)有超速優(yōu)學(xué)學(xué)霸1、已知如圖，圓錐的母線長(zhǎng)6cm，底面半徑是3cm，在B處有一只螞蟻，在AC中點(diǎn)P處有一顆米粒，螞蟻從B爬到P處的最短距離是多少？【解析】解：圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，設(shè)該扇形的圓心角為n，則：=23，其中r=3，n=180，如圖所示：由題意可知，ABAC，且點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，在RtABP中，AB=6，AP=3，BP=3cm，故螞蟻沿線段Bp爬行，路程最短，最短的路程是3cm2、如圖，一只杯子的上下底面分別是直徑為5cm和7.5

13、cm的圓，母線AB的長(zhǎng)為15cm（1）求杯子的側(cè)面積（2）從點(diǎn)B出發(fā)，繞著杯子兩圈畫(huà)一條裝飾線，終點(diǎn)為A，求裝飾線的最短長(zhǎng)度【解析】解：（1）紙杯的側(cè)面展開(kāi)如圖所示：延長(zhǎng)AB，AB交于點(diǎn)O，設(shè)O的度數(shù)是n，則7.5=，5=，解得：OA=45cm，n=30，BO=4515=30cm，（2）如圖所示，將兩個(gè)紙杯的側(cè)面展開(kāi)圖拼接在一起，連接BD，則BD的長(zhǎng)度是裝飾線的最短長(zhǎng)度過(guò)B作BEOD于E，則RtBOE中，OB=30，BOE=60，OE=15cm，BE=15cm，DE=4515=30（cm），在RtBDE中，BD=15（cm）故裝飾線的最短長(zhǎng)度為15cm3、有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，假

14、設(shè)其長(zhǎng)AD=80cm，高AB=60cm，水深A(yù)E=40cm，在水面上緊貼內(nèi)壁G處有一塊面包屑，G在水面線EF上，且EG=60cm，一只螞蟻想從魚(yú)缸外的A點(diǎn)沿魚(yú)缸壁爬進(jìn)魚(yú)缸內(nèi)的G處面包屑（1）該螞蟻應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使路程最短呢？請(qǐng)你畫(huà)出它爬行的路線，并用箭頭標(biāo)注；（2）求螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)【解析】解：（1）如圖所示作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，連接AG交BC與點(diǎn)Q，螞蟻沿著AQG的路線爬行時(shí)，路程最短（2）在直角AEG中，AE=80cm，EG=60cm，AQ+QG=AQ+QG=AG=100cm最短路線長(zhǎng)為100cm 自我挑戰(zhàn)1、如圖，從電線桿離地面3米高處向地面拉一條長(zhǎng)為5米的拉線，這條拉

15、線在地面的固定點(diǎn)距離電線桿底部有（）米A2 B3 C4 D5【解析】C2、如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花壇，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花壇內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了（）步，卻踩傷了花草（假設(shè)2步為1米）A2 B4 C5 D6【解析】B3、一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在高竹子底端3尺處，則折射處高地面的高度為（）（這是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的一個(gè)問(wèn)題，其中的丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）A3尺 B4尺C4.55尺 D5尺【解析】C4、如圖，在底面半徑為2，（取3）高為8的圓柱體上有只小蟲(chóng)子在A點(diǎn)，它想爬到B點(diǎn)，則爬行的最短路程是（）A10 B8C5 D4【解析】A5、已知螞

16、蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是8的長(zhǎng)方形紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是（）A8 B10C12 D16【解析】B6、木工做一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，量得桌面的長(zhǎng)為60cm，寬為32cm，對(duì)角線為68cm，這個(gè)桌面合格（填”合格”或”不合格”）7、有一塊土地的形狀如圖所示，B=D=90，AB=20m，BC=15m，CD=7m，則這塊土地的面積為234m28、如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面車(chē)速檢測(cè)儀A處的正前方30m的C處，過(guò)了2s后，測(cè)得小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀間的距離為50m，則這輛小汽車(chē)的速度是多少？【解析】在RtABC中，AC=30m，AB=50m；據(jù)勾股定

17、理可得：BC=40（m），故小汽車(chē)的速度為v=20m/s故答案為：209、如圖，在高3米，坡面線段AB長(zhǎng)為5米的樓梯表面鋪地毯，已知樓梯寬1.5米，地毯售價(jià)為40元/平方米，若將樓梯表面鋪滿(mǎn)地毯，則至少需多少元？【解析】如圖所示：在RtABC中，由勾股定理可知：BC=4米地毯的總長(zhǎng)=BC+AC=4+3=7米地毯的面積=71.5=10.5平方米地毯的總價(jià)=4010.5=420元故答案為：420元10、在甲村至乙村的公路旁有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆破，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上另一?？空綛的距離為400米，且CACB，如圖，為了安全起見(jiàn)，爆破點(diǎn)C周?chē)霃?50米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問(wèn)在進(jìn)行爆破時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)，是否而需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明【解析】如圖，過(guò)C作CDAB于D，BC=400米，AC=300米，ACB=