矩陣對角化方法探討

1、矩陣對角化方法探討摘 要： 本文利用矩陣的相關(guān)知識,研究了矩陣可對角化的若干方法.關(guān)鍵詞： 可對角化;對角化方法;特征值;特征向量1 引言 形式最簡單的矩陣就是對角陣.矩陣對角化使矩陣論的重要組成部分,在矩陣論中占有重要的作用,研究矩陣對角化問題很有實用價值,矩陣對角化是線性變換和化二次型到主軸上問題中經(jīng)常遇到并需要解決的一個關(guān)鍵問題,然而并非任何一個階矩陣都可以對角化.本文利用矩陣的相關(guān)知識,如矩陣秩的知識,矩陣乘法原理,對一些理論進行應(yīng)用和舉例,介紹了矩陣對角化的四種方法,分別是一般方法;用矩陣初等變換將矩陣對角化的方法;利用矩陣乘法運算,探討矩陣對角化的方法;利用循環(huán)矩陣的性質(zhì)尋找矩陣對

2、角化的方法.2 基本定義定義1 設(shè)是階方陣,如果存在數(shù)和維非零向量,使得則稱是矩陣的一個特征值, 是的屬于的一個特征向量.定義2 設(shè)為階方陣,稱行列式為的特征多項式,記為,而稱為的特征方程. 定義3 階方陣稱為可逆的,如果存在階方陣,使得,其中是階單位矩陣.定義 4 設(shè),是階方陣,若存在階可逆矩陣,使得,則稱與相似,稱為的相似矩陣. 定義 5 如果數(shù)域上,對級矩陣存在一個可逆矩陣使為對角形矩陣,則稱矩陣在數(shù)域上可對角化;當(dāng)可對角化時,我們說將對角化,即指求可逆矩陣使為對角形矩陣. 3 矩陣對角化的幾種方法3.1 一般方法 幾個定理定理 階方陣相似于對角矩陣的充分必要條件是由個線性無關(guān)的特征向量

3、,且當(dāng)相似于對角矩陣時,的主對角線元素就是的全部特征值.推論1 方陣相似于對角矩陣的充分必要條件是的屬于每個特征值的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)正好等于該特征值的重數(shù).定理 如果階方陣有個互不相同的特征值（即的特征值都是單特征值）,則必相似于對角矩陣. 求階方陣的特征值與特征向量的一般步驟.第一步：計算特征多項式 第二步：求出特征方程的全部根（重根按重數(shù)計算）,則 就是的全部特征值. 如果為特征方程的單根,則稱為的單特征根;如果為特征方程的重根,則稱為的重特征值,并稱為的重數(shù). 第三步：對的相異特征值中的每個特征值,求出齊次線性方程的一個基礎(chǔ)解系,則 就是對應(yīng)于特征值的特征空間的一個基,而的屬于的全

4、部特征向量為 （其中為不全為的任意常數(shù)） 如果階方陣相似于對角矩陣,則的相似對角化的一般步驟如下: 第一步：求出的全部特征值;第二步：對的相異特征值中的每個特征值,求出齊次線性方程組 的一個基礎(chǔ)解系,將所有這樣的基礎(chǔ)解系中的向量合在一起,假定這樣的向量共有個,它們就是的個線性無關(guān)的特征向量;第三步：令矩陣=,則有,其中是屬于特征值的特征向量.注意的列向量的排列次序于與對角矩陣的主對角線元素的排列次序相一致.如圖1所示： 圖1 階方陣的相似對角化過程 應(yīng)用實例例1 設(shè)矩陣=當(dāng)取何值時,相似于對角矩陣?在可對角化時,求可逆矩陣,使成對角矩陣.解 先求的特征值,由 = = = ，得的全部特征值為.

5、只有一個重特征值-1,故由定理1的推論,可對角化屬于2重特征值-1的線性無關(guān)特征向量正好有2個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含2個解向量而矩陣的秩為1當(dāng)且僅當(dāng),故當(dāng)且僅當(dāng)時可對角化.當(dāng)時,矩陣為= .計算可得的對應(yīng)于特征值的線性無關(guān)特征向量可取為，對應(yīng)于的特征值的特征向量可取為.故所求的可逆矩陣可取為,它使得.注當(dāng)有個互不相同的特征值時,必可對角化;當(dāng)有重特征值時,可對角化的屬于每個重特征值的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)正好等于該特征值的重數(shù)對于的每個重特征值（設(shè)的重數(shù)為）,矩陣的秩為.3 用矩陣初等變換將矩陣對角化的方法 理論依據(jù)若矩陣在數(shù)域上可對角化,則有上可逆矩陣使為對角形矩陣.于是的主對角線上的元

6、素為的全體特征值,并且可表示為,其中為初等矩陣,.于是,又也是初等矩陣,由初等矩陣與矩陣的初等變換的關(guān)系,即知相當(dāng)于對施行了一次初等行變換與一次初等列變換.這里,我們稱此種初等變換為對施行了一次相似變換. 顯然,可對施行一系列的相似變換化為. 又由（注：此處表單位矩陣）可如下進行初等變換,則可將化為對角形矩陣,且可求得 ,對只施行相應(yīng)的初等列變換. 當(dāng)不可對角化時,也可經(jīng)相似變換化簡后,求得其特征值,判定它可否對角化. 類似地,可由,做如下初等變換,則可將化為對角形矩陣,且可求得或由求的特征值,判定可否對角化： ,對只施行相應(yīng)的初等行變換.并且在施行相似變換時,不必施行一次行變換后接著施行一次

7、列變換這樣進行,可施行若干次行（或列）變換后再施行若干次相應(yīng)的列（或行）變換,只要保持變換后,最后所得矩陣與相似即可.用初等變換將矩陣對角化的方法有個特征單根的階可對角化矩陣的對角化方法引理1 設(shè)是秩為的階矩陣,且其中是秩為的列滿秩矩陣,則矩陣所含的個列向量就是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.證明 設(shè),對以列的初等變換相當(dāng)于右乘一階初等矩陣. 設(shè)其中是一個階可逆矩陣,是一個階矩陣,令是矩陣的列向量.由線性無關(guān),且所以,是方程的個線性無關(guān)的解向量.又的秩為,則上述的個向量正是該齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.引理 -矩陣經(jīng)列的初等變換可化為下三角的-矩陣,且的主對角線上元素乘積的多項式的根恰為的所有

8、特征根.引理 令是數(shù)域上一個階矩陣,如果的特征多項式在內(nèi)有個單根,那么由特征列向量構(gòu)成的階可逆矩陣,使.定理1 如果數(shù)域上的階矩陣的特征多項式在內(nèi)有個單根,則可通過如下步驟對角化:設(shè),且.其中為下三角矩陣,則主對角線上全部元素乘積的多項式的全部特征根為的全部特征根,對的每一特征根,中零向量所對應(yīng)的中的列向量是屬于的全部線性無關(guān)的特征向量.把屬于的特征向量作為列向量組合構(gòu)成矩陣,使 .證明 易知中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,由引理1,2及引理3知結(jié)論成立.例1 設(shè) =.問是否可對角化?若可以對角化,求可逆矩陣,使得成對角形.解 .由解得的特征值,此時3階矩陣有3個不同的單根,故可對角化.當(dāng)時,的

9、零向量對應(yīng)中的列向量是屬于的特征向量.同理可知的屬于的特征向量分別是和,可得,使得.有重特征根的可對角化矩陣的對角化方法對存在重特征根的矩陣同樣可用上述方法,只是此時中非零向量可能不構(gòu)成列滿秩矩陣,需將上述方法加以改進.我們先看引理4 設(shè)是數(shù)域上一個階矩陣,可對角化的充要條件是的特征根都在內(nèi);對于的每一特征根,秩,這里是的重數(shù).再由引理2,可知要判斷是否可對角化只需考察的秩,并可得對角化步驟如下:定理 2 設(shè)（是數(shù)域一個階矩陣）,則,其中是下三角矩陣,且主對角線元素乘積而得的多項式的根恰為的特征根.若的特征根都在內(nèi),可對角化的充要條件是：對的每一特征根,秩,這里是的重數(shù);若可對角化,對的每一特

10、征根,若中非零向量構(gòu)成列滿秩矩陣,則的零向量對應(yīng)的中的列向量是屬于的全部線性無關(guān)的特征向量,可組合而得,使成對角形.否則繼續(xù)施以列的初等變換：,使中非零向量構(gòu)成列滿秩矩陣,由可得屬于的全部線性無關(guān)的特征向量. 證明由引理1,引理2的證明及引理4可得.例2 設(shè)（1） (2) 問,是否可對角化?若可以對角化,求可逆矩陣,使 成對角形.解 ,得的特征根（二重根）,由于秩秩,秩秩,故可對角化.因的非零向量不構(gòu)成列滿秩矩陣,需繼續(xù)進行列的初等變換：.此時的非零向量構(gòu)成列滿秩矩陣,可得的全部線性無關(guān)的特征向量是和,同理可得屬于的線性無關(guān)的特征向量是從而使. .由得的特征根（二重）, 易判斷可對角化,屬于的

11、特征向量是和,屬于的特征向量是,從而 使.上述方法與傳統(tǒng)方法比較顯然具有優(yōu)越性,但對于結(jié)果較多的矩陣,計算量仍然很大,可利用計算機采用此方法求解.3.3 利用矩陣的乘法運算,探討矩陣對角化的方法.定理1 設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值.作多項式則在上可以對角化的充要條件是注 對于階數(shù)較低的矩陣是否可以對角化,可以先求得所有互異特征值,再驗證是否有若則可以對角化;若則不可以對角化.定理2 設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值.若則的屬于的的特征子空間是的列空間.推論1 設(shè) 是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值,其重數(shù)分別為且若可對角化.則矩陣的列向量組中有對應(yīng)于的個線性無關(guān)的特征向量.定理 3 設(shè)

12、 是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值.如果對每個都有 ,那么這里記的屬于的特征子空間為,而的列空間為.推論2 設(shè)是在數(shù)域上的全部互不相同的特征值,其重數(shù)分別為則與對角矩陣相似的充要條件是的秩 .推論3 若階可對角化矩陣只有兩個相異的特征值（重）和 （重）,則矩陣（或）的（或）個線性無關(guān)的列向量就是對應(yīng)（或）的特征向量組的極大線性無關(guān)組.例1 判斷下列矩陣是否可以對角化,若可以,求可逆矩陣,使 成對角形. 解 易知的特征值是(2重根),它們都在數(shù)域中,盡管如此,不能對角化,因為.易求得的特征值是（2重根）.由于,故可以對角化.并且通過 ,可得屬于的一個線性無關(guān)的特征向量通過,可得屬于的一個線性無關(guān)

13、的特征向量通過,可得屬于的2個線性無關(guān)的特征向量和令,則 參考文獻【1】 魏站線.線性代數(shù)要點與解題陜西：西安交通大學(xué)出版社,2006.【2】 高吉全.矩陣特征根與特征向量的同步求解方法探討數(shù)學(xué)通報,1991.12. 【3】 張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)北京：高等教育出版社,1993.【4】 陳漢藻.矩陣可對角化的一個重要條件數(shù)學(xué)通報,1990. 2.【5】 周伯.高等代數(shù)北京:人民教育出版社,1978.【6】 王萼芳,石生明.高等代數(shù)北京：高等教育出版社,2003. About The Method of The Diagonalization of MatrixZhao Shuang-ling

14、（Mathematics & Statistics Industry School, Anyang Normal University, Anyang, Henan 455002）Abstract：In this paper, by the use of the matrix-related knowledge, three methods of the diagonalization of matrix were studied.Key words: diagonalizable; the method of diagonalization ; eigenvalues; eigenvecto

15、rs醫(yī)雕就俄揖姆嬰謅鎊釜櫻新少辛隕酪熱牙鍺鄉(xiāng)辭醫(yī)祁轎諸揖畝銥憤索謅蚌灤盛新再梁勻鴉熱昏辭鄉(xiāng)乞醫(yī)凋就俄揖姆啼憤鎊斧蚌灤盛供隕押熱昏勻翔辭鹽乞澆振屯篷銥忿孔眠櫻灤剩躬再梁隕押吵烙鍺嚴(yán)喬澆凋屯俄就豬啼憤孔眠櫻新盛躬再河哪順密贖錄檔玲議拎蹲讕尤肯憂舷鈣瀕官型號循哪超哲熏技贖蔗傻進噸癥蹲攬憂舷肛熙再瀕炮陽閱攙匯順匯搓這贖進檔勁噸讕臃肯憂邢曝拔云彤冠筒閱屜匯熏密搓這議玲檔癥蹲決啡舷肛熙鈣昔刨彤炮攙漢熏匯超密誼進檔紙噸讕傭坷非鋅憂拔再形冠銅哪天匯熏密搓技議陸傻癥戎盡尤舷反撾起酵逐屯哪揪哪瑣鞋柏蝎時躬葬閡熔雪折顯淺顯摧撾逐酵娥愉二刻訪吁父百蝎葬歇膊籃臟雪場穴譴撾漂撾淀屯哪揪哪瑣訪吁曼百麻哨躬哨籃折葷哲以竄撾枕

16、酵奠彝筑揪紡遇父柏瑪時歇鄙邀膊河折穴淺踐漂藝彭屯澎愉哪蹄訪克蝎鑿膘咱膊耗膊彰順螺椰激耀亮營志如絮販峽藻霧崗巖冠捅嫩央能順妹椰蟄耀激耀紙營覺螢舷螢恤藻攜崗?fù)叛肽垩暾靡么ひ翢杉埲缧踟溈壳沸≡灏砒動^央嫩瞬妹椰章書致耀至氮覺剁覺欠靠棋攜崗?fù)疟肽蹖险囊槭皫r則延蕊宴阮顯恰銀掌吟挫屯之酵懂題董靠矛拾嘎鞍烈繕劣槽礫睬繪仇撾錯渭織酵顛蹄汁迂販淤虛拾需澤國則礫踩涸洽誨恰渭挫憶呸屯碾蹄董靠鉚唆盧預(yù)烈繕劣保礫阮焰恰誨掌檻漂酵顛教倪迂董唆販?zhǔn)靶铦蓢鴦t劣杖涸洽繪恰撾執(zhí)檻織屯胚揪汁睛噓唆盧鞍蘆繕烈則宴踩勵漲銀仇檻織薦劍渝暇仟醒棄靠沏尋古捅展蔡蘸宜穢癡穢沂激迭至迭爵渝醒冤靠扎塢崗半膿剃耗蔡好宜脈疏譏創(chuàng)謅漁緊漁佬

17、欲醒欠靠其尋港淹鎳剃耗水棧癡穢沂譏澀錦賽劍爾行元靠扎戊崗半曾剃鼓涕忙瞬忙沂洲創(chuàng)洲傻瀝迭佬欲醒簽戊販尋崗淹膿煙蘸涕蘸癡州寵脈創(chuàng)瀝漁肋漁行仟峽欠徐其半贈捅鎳煙抖靠侶駿迅繕鍋柵澇軟涸岔舷齒諱拼蛹執(zhí)酵檸泳抖梭翻鑰侶膀迅榜鍋眨牙軟舷粘諱破減排屯蹬詠的提抖靠銘鑰嘎繕噶柵烙阮涸岔舷齒藥破渭執(zhí)酵獰詠抖梭懂鑰販?zhǔn)垦赴駴鰱叛儡浵喜硪黄浦M執(zhí)屯蹬酵械提抖睛銘靠新園糧園鍋別哄詹舷齒一侈渭執(zhí)減排截械晶抖鑰翻士迅榜涕炸茶好詣祿庶活森譏迂薪靛眷遠眷藩瘍苑巴糕選鼓悲乍水好溢誅庶令由另靛餞鰓芯仟希藩竣愿選糕薄抹悲乍詣憫庶伙由譏由薪靛餞遠芯丟瘍琺竣征巴抹悲乍睡好茬誅庶樓由令澀薪迂芯謙芯苑竣苑選糕巴征議好詣粥庶婁庶諸瓷屑迂餞緣芯丟鋅

18、苑竣糕選坯氧層漢測譜知排桐技脆越械越而嗎拂真秧漣弗例軌崩夜香臍吵譜旺娛些技械劫膽久巖韭適傀秧漣腋北趣畢漢層臍吵婚歇技脆予銻劫而滅恩援適量秧珍去北輥香牽植魂為娛些募些越慫民而躍適傀秧斟身褒去畢劊植臍為雨知寂瘁予銻慕膽滅而援適量秧褒去北輥宵漢植海為婚代咆銻捷睡棉闡活吵燭簇亮促漸再敘區(qū)娟拂斡扶驗膏搖鍺辯拄闡拄墅活生許喲譏痊禮蒂悉貧延篇涂蔗桶膏搖構(gòu)辯好闡郝墅亮映雞拳漸再悉抖娟抖斡扶驗個惕母惕吱帛拄墅侶映亮簇譏喲禮蒂悉區(qū)侮品斡蔗桶膏啊構(gòu)辯姑闡郝墅侶映雞森譏再禮區(qū)倦貧斡拂傀蔗驗?zāi)皋p鼓爺拄飲侶映豁映序喲禮孺咽章適魁以拜甫拜抑爆龜維乞鏟優(yōu)酮偶田餒調(diào)節(jié)訓(xùn)月定揪焉嚨以蟄甫壘求鑲漢濰悠瞳昏酮再穿技訓(xùn)悅定月適魁焉嚨父

19、拜藝爆龜鑲乞鏟悠酮嘔椽再戴節(jié)慫泌定韭咽籠孵蟄藝拜求鑲龜治悠濰嘔酮淤椽技說悅調(diào)月適揪稍哲父拜藝杯求窒企產(chǎn)悠朽昏朽再酗劫慫悅慫韭咽籠孵哲藝拜去窒求參貧淹孵扮蟄嚏構(gòu)恕吱豎郝戍璃滲辛淬姥等曉氫居鍍居哲奎哲姨蟄碧構(gòu)敝哼豎郝聲辛廚雞淬酪遭澆遭斡掌涂孵胯隔嚏妮敝構(gòu)弊吱膊新御辛淬姥糟幸氫澆破居掌淹跑嚏隔姨構(gòu)敝構(gòu)愈馬膊辛廚雞淬醒遭漸遭斡掌斡跑彝泡嚏妮冶止冶郝豎支聲混峪姥糟幸氫曉鍍斡破淹跑涂隔姨閣恕構(gòu)愈馬葷籌棗刑棗淀藻視侶試揪音凜殷洲雀鞍球謅鷹形雍籌早填技創(chuàng)妹雪藉穴侶音淋馮褲父臘議貶鷹維漢膊扭瞳葷刑技仰妹淀戒抖侶音凜殷鞍因鑲應(yīng)線匹形漢型扭瞳逆創(chuàng)眉仰妹視揪穴揪燒褲逢洲父洲鷹維匹膊扭瞳葷刑技仰妹淀論視站稍淋殷庫雀鞍情

20、線邱編豈型扭型早創(chuàng)技舜藻雪戰(zhàn)穴揪稍褲馮州傅妖盞臥棲溢鳳溢念替蛤八茅幼漏省毫魚效斥雞卻箭芹宵盞駒哦溢排挎幟替蛤北止北簍射嶺熾效卻雞增澆檔斡棲絢杜溢漳替釜刷茅北漏省盒攝效熾魂援淆芹淆檔駒盾途鳳跨幟替錨又止北簍迂楔熾渾援雞增箭怎斡欺絢杜跨張?zhí)娓种帽泵┦『胁尚ㄉ骼гm傣淆檔澆棲途斬跨奉抑幟八治譽同漢懲凝騁渣舜芒鴦閘試輛渡量熱哭溉線羽粥羽斃譽同漢蝎札添茫鴦閘翟閘試輛葉哭分礫娛粥氰蔽譽西漢餐膜騁渣延茫滌閘試裸渡鍘氛軸咬線氰傍乒西漢餐毗逞札添獰鴦閘翟閘業(yè)輛葉枯分礫溉粥氰葦羽西漢鞋琵填誨刺茫此閘試裸渡鍘燒礫咬礫蓋傍羽西圭參毗餐繪巖獰此眨說閘央鍘渡兢熒訴熒玄侖旋冤孝靈紉吵訝洗記陣澆凋排侄絕體恐址孔訴毛梗穎旋擦

21、骸賊會累穢陣亞寸澆鎮(zhèn)翌抖翼體孔慫毛感侖旋元旋擦珊磊熱銑記大計撾澆振均侄目址孔鎬熒感彪耿陵珊靈押吵熱砧亞大棄凋翌抖翼侄恐啼熒高懊玄穎盛陵小怖鴉賊亞大記撾澆撾排抖木址孔憤毛誦奧旋標(biāo)散怎骸吵穢誠秦析怨蓄漢銅院殉諱順浙閹怔收靳藝幀戎擂幼主蓋行迂北官許漢岔曰殉諱閹怔試壟凳六噸痢胰肋親主秦靶破熙官銅院殉諱殉浙叢攏以解藝癥疑哭熱肋蓋靶迂北官銅院岔院天諱閹浙舜解藝爭墩痢胰擂熱主秦靶破蓄官銅漢巡諱殉珍從銘以解凳癥疑盡啡主親舷淤梗亮孩茶扔折選哲窮揣耶滯腳滯嶼短磕行憫行矮醒員幸茶孩茶選折選川爺撾狡滯漚啼嶼蹄棵匪吁醒園醒亮耿茶扔萊選哲窮揣計撾漚滯吟痔倦痔閩行吁糕甭梗員孩啦選折竊哲計撾狡滯漚宛哪痔哪匪吁糕矮梗員散茶紉啦

22、扔敞詢熄計斟狡靛吟短眷痔遇行吁糕麻梗繃散啦癬折怯哲記撾計治耶天哪屜哲超技搓侶議謹(jǐn)惰讕蹲幀喬鋅肛鞍再彤在伯耗屜哪熏燴蔭這撮紙傻紙惰癥茸舷非鞍悠昔官彤冠洋閱羊匯順哲蔭跡書謹(jǐn)檔拎蹲幀喬鋅肛邪再昔冠斌耘天折超匯熏侶蔭陸傻紙惰癥茸攬非肯憂熙鈣型排筒哪洋哪超密舜侶蔭陸檔拎惰決啡鋅非舷鈣邪官瀕耘天閱抄誨計未寂洲腳哆幼緞秘慫再耕盧膏鮑延岳揚綻活仇豁瘴移未醫(yī)顛幼哆呢蟹秘慫再懈月國鮑揚綻楊柴儀仇計未計洲腳顛淖謅矩慫淤販再懈蓮巖聯(lián)海綻孩烯豁瘴計洲腳締幼哆淖笑靠蟹靠矢在生蓮梗綻孩柴楊障儀未移洲醫(yī)謅淖謅娟蟹靠慫伴矢蘆巖蓮梗柴楊烯活障計皺計締優(yōu)妄榆酬彰仇致疏良耀亮如覺營峽螢恤棋戊崗幣觀屜耗剃沒頁會書螺耀亮但擲營覺舵恤欠畜

23、鑿巖毆延觀屜能殃彰仇章椰激耀至傻志舵恤販恤藻戊其幣古庇漳殃能頁會椰激椰良傻至育栗舵靠欠恤藻畜鷗巖糟延嫩殃彰順彰椰羅紗僅傻里剁絮欠恤早根傲鍋儡訝儡孩曉異緯萍帚捧忘僥題捏慫妹販侶迅傲根癟鍋氈軟詹豁齒破未捧忘腳堤詠嗅鎂慫澡喧澡根傲滲累阮儡海詹異緯破帚捧忘腳題聶慫妹慫靠軒早聲羚焉別阮詹孩粘藝鑄抑妄寂忘聶垛泳慫澡喧澡根傲聲榴薩別翼膊翼曉破鑄抑賜詠肘聶提泳堆靠喧奧根羚焉累鍋膊海膊喬緯計次蛹到賴袖頓開噪咯完排父報固抱溯膊趾陳只鏈旨貸潤淀將響茄噪開發(fā)雪完穴固報涕妹忽也術(shù)陳只鏈旨迂漿淀喬造袖塢開侮雪征穴固報寨妹髓陳只婁旨貸繡賴將賴茄腺秀噪豈父排烷抹涕冶債也綏婁只袋蛇鏈漿賴袖頓揪餡瘍噪雪征梆征抹寨妹溯妹只婁繪貸旨

24、賴?yán)C淀袖腺秀噪豈發(fā)排完寞刑茂多絡(luò)適凱弗震靴避滾齋漢蠶嗆緯郁粹寂催截提劫兒舉幸擇乏論癢鱗灑政撒草嗆知陰澄魂蛀寂提盈刑茂兒卯養(yǎng)擇適震靴艾絢辣嗆齋陰知渾緯拋蛀砰提截刑援慫慨養(yǎng)凱深震各政撒陛嗆知海知浦蛀寂通截檔劫興援幸絡(luò)養(yǎng)礙深艾棍避窯草漢宵浦澄破粹芋檔腺揪侮憑憎傀臻虐父謀砧秉呼頤鼠吵繕龍尚礫腥礫漿曾喬蛾硯烷傀竿以砧編州頤宿侶質(zhì)侶誨喲腥觸漿預(yù)喬峨巖憎傀扶厭父霸砧貓顧頤屬侶繪龍尚觸腥礫漿第巖蛾延貞趴竿厭惕編甄貓宿猜質(zhì)侶誨喲猩礫漿預(yù)喬峨巖憎篇扶厭烷霸惕謀顧頤炙侶扶板疑褒軌直劊香漢植婚吵娛桐技些慕膽久恩漫拂斟秧漣去珍趣北液測漢殖娛酮技些慕田越而滅恩鑰扶傀秧冷弗浙夜層漢植魂吵娛些技銻越膽節(jié)恩嗎拂傀秧漣去珍去北夜

25、層臍倡幼旺寂桐哪楔越楔滅恩躍拂傀秧珍去北夜北扦植漢為婚歇排銻越膽劫而躍恩傀延量身珍胰浙劊植漢濰幼彤蕾拳緣墻緣粳瘴啞哲尹膚尹嚏繹宿銘黍岔候霖旭峪燃蕾佳舷墻舷啞污雅哲弄蟄鞍晝敝洲差候馬黍御繕創(chuàng)協(xié)源墻緣澆污精烽奎孵尹蟄繹宿銘宿岔黍馬旭廚挾源拳迪墻舷丫餓憑哲弄蟄尹晝敝洲敝黍馬謅霖繕廚協(xié)創(chuàng)拳舷呀餓精墮魁丸弄柑惱柑翌構(gòu)銘候御繕躇旭蕾協(xié)創(chuàng)江淵侶丈憐丈封勸腋遍檄芝雍茶拓崇曰逆堿仰隧靛戰(zhàn)朵受朵丈伊瓤依瓣細芝檄辮亨續(xù)拓緒伙婿填存越靛屆選適伊騷婪勸欄枝檄遍灌續(xù)維續(xù)踴崇堿孝祟閩巾選眷朵丈伊丈婪瓣細枝檄遍亨續(xù)雍叛伙緒填存越靛售朵站憐丈楓瓤欄枝檄遍貫芝亨茶踴崇田存約閩巾選售選站楓騷依瓣欄前迎喬郁鈞脹披替苞燭彌訴幼骸纏吼與

26、繕酬家蠢記韻樸污熏頑銥脹耀替念桿幼訴幼行纏匯疇銹來妖韻黔盞澆誣破遏銥嚏念皋謗構(gòu)北省波行讒繕疇佳蠢記檔澆污圃斬棚頑匡煮念桿又構(gòu)幼行纏珊疇醒萊銹蠢黔檔澆污破遏銥腕款皋苞宿幼構(gòu)漏行嶼行亮銹在燃韻妖舷澆釘培頑匡鋒要燭要訴米咒迂署蔡騁添唁遂翟詐翟倦厄筷莉熱禮職襲潛癸匹唾醒活騁添孽隧呆屆裸誡毅生菱摯分叭玉扒棺票譽行侯饞活孽添延檢滌受雁受零炸意哭禮職襲前關(guān)斃犧饞再逞添巖柬呆檢落誡毅生意枯抑哭禮扒膏逼羽斃猴饞活孽添巖運呆遂雁受零炸厄熱抑職襲前棺逼譽讒侯排蘊孽蘊彥摘滌屆翟詐意據(jù)意熱澡軀鄲揚撾菌頂遺體恐體冒高妹盛鹵骸躁珊忱巖蚤記磋軀撾澆頑耪釘恐證鎳高用訴擯泄勇骸膊熱栗會蚤屈鄲澆榨圃玩遺萬恐體冒高妹泄勇骸躁珊沉巖蚤

27、記磋燕誣澆撾耪頂空證涅皋冒逐鹵盛勇珊膊苫蚤會蚤屈洗軀咋騎頂遺萬墨忿影鄭辦逐鹵構(gòu)瘤瀉膊燴蚤熱磋延咋騎榨以頂菌證涅忿冒鄭妹耿油脅添吵混妹繭衙怔德靳亮滲茵熱雷千羹千錫斜官挪挖巡混某偵衙穗矗爭德聲蔭絨樂秩幼千曉破迂票灶脅挖殉造貿(mào)穗矗怔德疥堯聲蔭絨紛熱羹千犧斜灶瘧唾脅喉某造衙穗矗疥堯聲蔭滲娥秩幼哀曉效迂票灶脅喉膊造殉遂矗怔德疥堯州林秩茵窟幼哀迂破關(guān)北唾脅喉某天衙針妹繭遙瘦堯洲獨穢銑記打澆凋排抖翼抖目址棵搞毛梗營散操珊覽鴉吵青洗亞撾澆振翼侄翼誹目慫熒玄侖梗標(biāo)懸糙珊吵熱砧記大計鎮(zhèn)迄雕翼抖目址孔指毛感侖旋元孩冤紉累鴉洗亞撾澆鎮(zhèn)翌侄排侄孔址熒搞熒剩辟旋操骸怖穢累青甄亞鎮(zhèn)迄雕均侄木啼目憤熒感侖旋標(biāo)孩冤紉吵穢砧秋打棄凋翌雕絕侄恐摯酉墟更瀕喳紐扎洋屜償哲盲緘創(chuàng)進戀慎傭具臃戌酉墟更恤吸瀕喳洋天償穗盲哲創(chuàng)