第二講不等式的證明及著名不等式

1、第二講不等式的證明及著名不等式1. 基本不等式定理：如果a, bR,那么a2 + b2 2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a = b時(shí)，等號(hào)成立.a + b定理(基本不等式)：如果a, b0 ,那么2 ab,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.也可以表述為：兩個(gè)一的算術(shù)平均 它們的幾何平均.利用基本不等式求最值：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x,y, 如果它們的和s是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)，它們的積P取得最 值； 如果它們的積p是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)一時(shí)，它們的和s取得最 值.2. 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式a+ b+ c 3(1)定理如果a, b, c均為正數(shù)，那么3 3abc,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.即三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均 它們的幾何平均.基本

2、不等式的推廣ai + a2 H + 對(duì)于n個(gè)正數(shù)ab a2, - , an,它們的算 它們的幾何平均，即 術(shù)平均 n aia2- an,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.3. 柯西不等式設(shè)a, b, c, d均為實(shí)數(shù)，則(a2 + b2)(c2+d2)(ac + bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad= be時(shí)等號(hào)成 立.(2)設(shè) ai, a2, a3, , an, bi, b2, b3, - , bn是實(shí)數(shù)，貝lj(a勺+a?2+ a2n)(bi2+b22+ + b2n)(aibi +a2b2+- + anbn)2,當(dāng)且僅當(dāng) bi=0(i = 1,2, - ,n)或存在一個(gè)數(shù) k,使得ai = kbi(i = 1,2,

3、 - , n)時(shí),等號(hào)成立.柯西不等式的向量形式：設(shè)a,卩是兩個(gè)向量，則|a|p|,當(dāng)且僅當(dāng)卩是零向 量，或存在實(shí)數(shù)k,使a=k卩時(shí)，等號(hào)成立.4 證明不等式的方法 比較法求差比較法知道ab?a-b0, ab?a- bb,只要證明 即可，這種方法稱為求 差比較法.求商比較法a由abo?bi且a0, b0,因此當(dāng)a0, b0時(shí)要證明ab,只要證明 即可，這種方法稱為求商比較法.分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè) 已成立的不等式（已知條件、定理等）這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因的證明方法.綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過(guò)推理論證，推導(dǎo)出所

4、 要證明的不等式 成立，即“由因?qū)す姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法. 反證法的證明步驟 第一步：作出與所證不等式 的假設(shè)；第二步：從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而 證明原不等式成立.放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)?,以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得到欲證不等式成立.數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：證明起始命題P#或P0）成立；（2）在 假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk+1也成立，那么可以斷定Pn對(duì)一切自然數(shù)成立.題型一柯西不等式的應(yīng)用例 1 已知 3x2+2y2 6,求證：2x + yW

5、11.思維升華使用柯西不等式時(shí)，關(guān)鍵是將已知條件通過(guò)配湊，轉(zhuǎn)化為符合柯西不等式條 件的 式子，二維形式的柯西不等式（a + b?） （c2 + d2） M （ac + bd） 2,當(dāng)且僅當(dāng)ad = bc時(shí)等號(hào)成立若3x+ 4y= 2,則x2+y2的最小值為題型二用綜合法或分析法證明不等式例 2 已知 a, b, cW (0, + ),且 a+ b + c = 1,111求證： (1 ) (a 1 )(b1)(c1)$8；(2) a+ b+ cW 3.思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?分析法證明不等式是“執(zhí) 它們 果索因是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述 簡(jiǎn)單、

6、條理清楚，所 以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此 可見(jiàn)，分析法與綜合法相互 轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可 以增加解題思路，開(kāi)闊視野.設(shè) a, b, c0,且 ab + bc + ca= 1.求證： (1) a+ b+ cM 3;acb3 ( a+ b+ c)題型三放縮法或數(shù)學(xué)歸納法n N*, Sn= 1 X 2+ 2 X 3 + nn + 1 ,求證：n n2 1 Sn n 21 .思維升華與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明問(wèn)題，如果用常規(guī)方法有困難，可以考慮利 用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，在第二步驟中，要注意利 用歸納假設(shè).同 時(shí)，這

7、一步驟往往會(huì)涉及分析法、放縮法等綜合方法.本題可用數(shù)學(xué) 歸納法進(jìn)行證明，但較麻煩.放縮法證明不等式，就是利用不等式的傳遞性證明不等關(guān)系.常見(jiàn)的放縮變換有 p1 11121 2 *kk+11,1k k+2k+i.上面不等式中 kEN k1.31111123 n4-1 11 +212+ 3勺 + n12|b|;a + b2; bv2a_b.其中正確的是2.若 Ti= 2S , T2 = sm+n,則當(dāng) s, m, nWR+時(shí)，與 T2的大小為 m+ n 2mn13. 設(shè) Ovxvl,貝Ij a= 2x, b = 1 +x, c = 中最大的一個(gè)是1 x114. 已知x, yR,且xy=1,則(1+

8、X) d+y)的最小值為 、幾Xt y M= +則M、N的大小關(guān)系為5. 設(shè) X0, y0, M = 2+X xPyN 2+x 2+y6. 若 a, bWR+,且 a=Ab, M= a + b , N= a+ b,貝lj M、N 的大小關(guān)系為7. 若 a, b, cE (0, + ),且 a + b + c = 1,則 a+ b+ c 的最大值為8.已知a,b,c為正實(shí)數(shù)，且a + 2b + 3c = 9,則3a+ 2b+ c的最大值為9.（2013 -天津）設(shè) a + b = 2, b0,則當(dāng) a=時(shí)，1 +囘取得最小值.2|a|b2ab 222210設(shè) a0, b0,則以下不等式 aba+

9、b,a|a b| b;a2 + b24ab3b2;ab +ab2中恒成立的序號(hào)是_B組專項(xiàng)能力提升191. 已知x0, yi且x1+9y=1,貝lj x + y的最小值為2. 函數(shù)y= X?(1 3x)在0,31上的最大值是3. (2013陜西)已知a, b, m, n均為正數(shù)，且a + b = 1, mn = 2,貝I (am +bn) (bm + an)的最小值為 4. 已知a, b為實(shí)數(shù)，且a0, b0.則a+ b+ a1 a2 + 1b+ aS的最小值為_(kāi)xyz5. P= + +(x0, y0, z0)與3的大小關(guān)系是x + 1 y+ 1 z + 16. 已知 x2 + 2y2 + 3

10、z2= i187,貝ll 3x+ 2y+ z 的最小值為1117. 設(shè)a, b, c都是正數(shù)，那么三個(gè)數(shù)a bc+a .(填序號(hào)) 都不大于2; 都不小于2; 至少有一個(gè)大于2; 至少有一個(gè)不小于2.答案 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1-鼻a= b正數(shù)不小于(即大于或等于)(3)x= y大x = y小2. 鼻 a= b= c不小于不小于三 ai=a2 = - = ana4. a-b0b1充分條件相反放大或縮小夯基釋疑1. ab2. MNa a+ m m a b解析 M- N= =vO,即 Mbc解析 分子有理化得a 1, b =bc.4. PWQ解析 21lg (1 +a) + Ig (1 + b

11、) = Ig 1 + a 1 + b .T (1 +a) (1 +b) =1+ (a+b) + ab$l+2ab+ ab= (1 + ab) 2, .I l+al+b$ 1 + ab, /.Ig (1+ ab) Wig 1+a 1+b =12lg (1 +a) +lg (1+b),1即 Ig (1+ ab) 2lg (1 +a) +lg (1+b) . .I PWQ.5. 2解析 T (a + b + c) 2a+ 2b+ c2 = ( a) 2+ ( b) 2+ ( c) 2(a2)2 +b2)2 +222 + + a b c$2.2c) 2+ xjc 222-a2 + b2+ /的最小值為

12、2.題型分類深度剖析例1證明 由于2x+ y希(羽x) +由柯西不等式(aibi+ a2b2)23 (a2 be 2 ac 2 ab-* abc(2) -a, b, cW (0, + ),a + b三 2 ab, b + c$2 be, c + a2 ca, (a+ b + c) $2ab+ 2 bc+ 2 ca, 兩邊同加 a+ b+ c 得 3 (a+b + c) $a + b+ c+2 ab+ 2 bc+ 2 ca =i + a22) (b2i+ b22)得(2x+)窘+(護(hù)屛第,x6 = VX6=A，2X+ 亦 1 川汰+ 応 11 跟蹤訓(xùn)練1 ；5解析由柯西不等式(32+護(hù))(x?+

13、y2) $ (3x + 4y) 2,得25 (x2+ y2) 2 4,所 以 x2+y222又 a + b+ c= 1,( a+ b+ c) 3,5.不等式中當(dāng)且僅當(dāng)x= y時(shí)等號(hào)成立,343x+4y=2,Xa + b+ cW 3. + y67取得最小值，由方程組xy解得x_ yF3=45y=25-因此當(dāng)x= 2跟蹤訓(xùn)練2證明(1)要證a+b+ 3,5 , y =5時(shí)，X2 +護(hù)取得最小值，最小值為245例 2 證明(1) / a, b, ce (0, + 8),.a + bM 2 ab, b + c$2bc, c + a2 ca,11*b+ ca + ca+b(a+ b+ c)abc由于a,

14、 b, c0,因此只需證明（a + b+ c） 23.222即證：a2 + b2+c2 + 2 (ab + bc + ca) $3，而 ab + bc+ ca = 1,故需證明：a2+b2+c2+ 2 (ab + bc+ ca) $3 (ab + bc+ ca).即證：a2+b2 + c2 ab+ bc+ ca.222222a + b b +c c +a222而這可以由ab+bc + caW 2 + 2 + 2 =a2+b2+c2 （當(dāng)且僅當(dāng)a = b = c時(shí)等號(hào)成立）證得.原不等式成立.c a+ b+ cab abc 因此要證原不等式成立，只需證明2 a+ b +在(1)中已證a+ b+

15、cM 3.c.艮卩證 a bc+ b ac+ cabW 1,艮卩證 abc + bac+cabW ab + bc + ca.ab+ acab + bcbc + ac而 a bc =abW ab + bc +,bacW 2, c abW 2.- a bc + b ac + cca (a= b = c= 3時(shí)等號(hào)成立)原不等式成立.例 3 證明 Tn (n+ 1) n2,n n+ 1，snl+2 + - + n= o/n+ n+ 2n + l_ 丨.又 Vn(n+ 11222111 n n + lnn 2+2 nn + 1 2 nn+ 1n + 1 2sn (1 +2) +(2+2) + + (n

16、+ 2) = 2 +2 2 2 .2 Snk2k (k1) ,k2,111k k+ 1 7 k1即 1 1 12 11k k+ 1 k k 1，分別令k= 2,3,n得11112_32212；111113 4322 3;將上述不等式相加得：11111 2 3 十3 4 +nn+ 11122 + 32+- +n211111廠2+2飛+ V/n*11111 w2n+i22T32T Tn21nf1 + 2+ 2+ + 2a2, a0, b0 得 ba.1又 cb=1 x(11 1 X+ x) = 0得cb,知 c取大1 X 1 XX24. 4ab巒不恒輕X.a+b2 ab. .*中a+b|a- b|

17、恒成立.中 a2 + b2-4ab + 3b2 = a2-4ab + 4b2= (a_2b) 20,故不恒成立. 中由ab0及ab豐ab2 22恒成立， 因此只有正確.B組1. 1619解析x0,y0,1+9 = 1,xyx+y= (x+y) x1+9y =xy+9yx+l0$6+ 10 = 16,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立. xy19 又 x + y=1,X = 4, y= 1 2 時(shí)，(x + y) min= 1 6.42.2243解析 由 y= x?(13x) 32x 32x (13x)32解塹,由勰專不薄式(a$軍+ )(c2+ d2 ) N (ac + bd) 2,當(dāng)且僅當(dāng)ad = bc時(shí)bn) (bm + an)( am an+ bm bn ) 2= mn (a+ b) 2 = 2.4. 9所以 a+ ；+paXb解析 因?yàn)閍0,b0, a1=33b0,由及不等式的性a+ b + a1 a2+5. P3解析1 _ 10,/.P3.11= + +x+ 1 v+ 1 z+ 16.解析(3x +(x2+2y2 +2y 2+ 3z 13)2= (3x+2y+z)當(dāng)且僅當(dāng)x= 3y= 9z時(shí)，等號(hào)成立./- (3x + 2y+z) 212, 即一23W3x + 2y+zW