§_3.4實(shí)際問題與一元一次方程

1、實(shí)際問題與一元一次方程（知識(shí)要點(diǎn)）一、銷售問題在生活中，人們購(gòu)買商品和銷售商品時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到進(jìn)價(jià)、原價(jià)（標(biāo)價(jià)）、售價(jià)、打折等概念，在了解這些概念后，還必須熟悉銷售問題中的兩個(gè)基本關(guān)系式：利潤(rùn) 利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=X 100%.進(jìn)價(jià)在式中若等式左邊的 “利潤(rùn)”為正，就是盈利；若為負(fù)，就是虧損；由和式可以得到： 利潤(rùn)=售價(jià)進(jìn)價(jià)=利潤(rùn)率X進(jìn)價(jià)?！纠?】 某商店將某種服裝按進(jìn)價(jià)提高30%乍為標(biāo)價(jià)，又以九折優(yōu)惠賣出，結(jié)果仍可獲利17元，則這種服裝每件進(jìn)價(jià)是多少元？分析：此題要用的等量關(guān)系是：利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，如果把進(jìn)價(jià)設(shè)為x元，則標(biāo)價(jià)為（1 +30%）x，打九折后售價(jià)為X （1 + 30%）x,再減

2、去進(jìn)價(jià)x元得到的就是利潤(rùn)17元。解：設(shè)這種服裝每件的進(jìn)價(jià)為 x元，依題意列方程為：X （1 + 30%）x x= 17解得x= 100答：這種服裝的進(jìn)價(jià)是 100元。練習(xí)：某商店對(duì)一種商品進(jìn)行調(diào)價(jià)，按原價(jià)的八折出售，打折后利潤(rùn)率是20%已知商品的原價(jià)是63元，求該商品的進(jìn)價(jià)？二、行程問題1、相遇問題：主要是指兩車（戓人）從兩地同時(shí)相向而行。其基本等量關(guān)系為兩車（戓人） 所行的路程這和恰好等于兩地的距離；兩車（或人）人開始行駛到相遇所用的時(shí)間相等。2、追趕問題：主要是指甲、乙同向而行，快者追慢者稱為追趕問題。 基本公式：速度差X追趕時(shí)間=被追趕的路程； 對(duì)于同向同地不同時(shí)出發(fā)的問題有相等關(guān)系：追

3、趕者行進(jìn)路程=被追趕者行進(jìn)路程； 對(duì)于同時(shí)同向不同地出發(fā)的問題有等量關(guān)系：追趕者的行駛時(shí)間=被追趕者的行駛時(shí)間。3、 航行問題：基本公式： 順?biāo)俣?靜水速度+水速，逆水速度=靜水速度-水速順風(fēng)速度=無風(fēng)速度+風(fēng)速，逆風(fēng)速度=無風(fēng)速度-風(fēng)速符號(hào)公式：V 順?biāo)?V靜水+ V水 V 順風(fēng) =V無風(fēng)+ V風(fēng)V逆水=V靜水V水 V 逆風(fēng)=V無風(fēng)V風(fēng)4、行程問題一般都能通過畫線段示意圖來分析，通過線段示意圖，等量關(guān)系就能直觀地顯示出來，進(jìn)而用方程表示出來。【例2】某中學(xué)組織學(xué)生到校外參加義務(wù)植樹活動(dòng)，一部分學(xué)生先騎自行車先走，速度為9km/h，40min后其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，速度為45km/h，結(jié)果他們

4、同時(shí)到達(dá)目的地，則目的地距學(xué)校有多少km?分析：題目中的等量關(guān)系為：汽車行程=自行車行程；騎自行車的時(shí)間一乘汽車時(shí)間=40min。解：（方法一）設(shè)目的地距學(xué)校有 x千米，則騎自行車的所用的時(shí)間為x/9小時(shí)，乘汽車所用的時(shí)間為x/45 h。依據(jù)題意列方程為：xx _ 40945 60解得x =所以目的地距學(xué)校。（方法二）設(shè)汽車行駛了 x小時(shí)，則汽車x小時(shí)的行程=自行車 40分鐘的行程+ x小時(shí)的行程。如圖所示:依題意列方程為:汽車x小時(shí)的行程45x = 9 （x +）601解得x =61所以45 X =6即目的地距學(xué)校千米。自行車40分鐘的 自行車x小時(shí)的行程 行程練習(xí)：1、A B兩地相距100

5、千米，甲、乙兩人騎自行車分別從 A B兩地相向而行，甲的 速度為23千米/時(shí)，乙的速度為21千米/時(shí)，甲騎了 1小時(shí)后乙從B地出發(fā)，問甲出發(fā)后經(jīng)過幾 小時(shí)與乙相遇？2、一輛汽車以每小時(shí) 40千米的速度由甲地駛向乙地，車行了3小時(shí)后，因遇雨，平均速度被迫每小時(shí)減少10千米，結(jié)果到乙地比預(yù)計(jì)的時(shí)間晚了45分鐘，求甲、乙兩地的距離。三、工程問題我們?cè)诮鉀Q工程類問題應(yīng)用題時(shí)，常常把工作總量看成 “1”工作量、工作時(shí)間、工作人數(shù)、工作效率之間的關(guān)系為：工作量=工作效率X工作時(shí)間X工作人數(shù)。【例3】一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)做 8天完成，乙單獨(dú)做12天完成，丙單獨(dú)做 24天完成，現(xiàn)甲、 乙合做3天后，甲因事離去，由

6、乙、丙合做，則乙、丙還要幾天才能完成這項(xiàng)工作？分析：題中的等量關(guān)系為：全部工作量=甲、乙合做3天的工作量+乙、丙合做的工作量。解：設(shè)乙、丙還要x天才能完成這項(xiàng)工作，根據(jù)題意列方程為：丄x 3+121121x24解得x 3.答：乙、丙還要3天才能完成這項(xiàng)工作。練習(xí)：某工程，甲隊(duì)單獨(dú)做 12天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 3天完成，甲隊(duì)做苦干天后，因另有任 務(wù)被調(diào)走，余下的由乙隊(duì)完成，從甲隊(duì)開始做到乙隊(duì)完成任務(wù)共用6天，求甲隊(duì)做的天數(shù)。四、儲(chǔ)蓄問題存入銀行的錢叫做本金； 銀行付出的酬金叫做利息； 存入銀行的時(shí)間叫做期數(shù)； 每個(gè)期數(shù)內(nèi) 的利息與本金的比叫做利率， 每個(gè)期數(shù)內(nèi)，利息=本金x利率。本金與利息和叫做本

7、息和， 本息 和=本金+利息?！纠?】 某銀行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率為%小明的奶奶當(dāng)時(shí)按一年定期存入一筆錢，一年到期后取出本金及利息共元，則小明的奶奶存入銀行的錢為多少元？分析：題中利用的等量關(guān)系：本息和=本金+利息=本金+本金X利率，可求得本金。解：設(shè)小明的奶奶存入銀行的錢為x元，根據(jù)題意列方程為：x 2.250ox 1022.5解得x 1000.答：小明的奶奶存入銀行的錢為1000元。練習(xí)：小紅的父親前年存入了一種年利率為勺兩年儲(chǔ)蓄，今年到期后，所得利息正好給小紅買了一個(gè)價(jià)格為元的計(jì)算器，那么小紅的父親前年存入了多少錢？五、調(diào)配問題調(diào)配問題是指從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定的數(shù)量

8、關(guān)系；或者從第三方調(diào)甲處人（或物）數(shù)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系。其基本關(guān)系為:+乙處人（或物）數(shù)=總?cè)耍ɑ蛭铮??！纠?】某廠甲車間有工人 32人，乙車間有62人，現(xiàn)從廠外招聘工人 98名分配到兩車間， 問應(yīng)該如何分配才能使乙車間人數(shù)是甲車間人數(shù)的3倍。分析：設(shè)分配x人到甲車間，則分配（98- x）人到乙車間，甲車間分配后人數(shù)為（32+x）人，乙車間分配后人數(shù)為（62 + 98- x）人。等量關(guān)系是：乙車間人數(shù)=3 X甲車間人數(shù)。解：設(shè)分配x人到甲車間，則分到乙車間的人數(shù)為（98-x），依題意列方程為：62+ 98 - x= 3（32 + x）解得x 16則分到乙車間的

9、人數(shù)為：98- 16= 82 （人）.答：應(yīng)分配16人到甲車間，82人到乙車間。練習(xí)：如圖，天平的A、B盤內(nèi)分別有51克、45克鹽，則應(yīng)該從A盤內(nèi)拿出多少克鹽放到B盤內(nèi)，才能使天平平衡？六、數(shù)字問題數(shù)字問題是指已知一個(gè)數(shù)各位上的數(shù)字之間的關(guān)系，要求寫出這個(gè)數(shù)，解這類問題一般要設(shè)間接未知數(shù)，如 a、b分別是一個(gè)數(shù)的個(gè)位和十位上的數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b + a.【例6】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小1,十位與個(gè)位上的數(shù)學(xué)之和是這個(gè)兩位數(shù)的1/5，求這個(gè)兩位數(shù)。分析：題中已知的等量關(guān)系是：十位上的數(shù)字+個(gè)位上數(shù)字=1/5 X兩位數(shù).解：設(shè)十位上的數(shù)字為 x，則個(gè)位上的數(shù)字為（x+

10、1），依題意列方程為：1x （x 1）10x （x 1）5解得 x 4個(gè)位上的數(shù)字這：4+ 1 = 5所以這個(gè)數(shù)兩位數(shù)是為 45.練習(xí)：一個(gè)兩位，個(gè)位上的數(shù)字是十位上的數(shù)字的2倍，如果把十位與個(gè)位上數(shù)字對(duì)調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36,求原兩位數(shù)。七、積分問題比賽中的積分規(guī)則由比賽的規(guī)定決定， 各類比賽不盡相同， 弄清比賽規(guī)則是解決問題的先決 條件。這類問題基本選題關(guān)系為：比賽總場(chǎng)數(shù)=勝場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)數(shù)。比賽總積分=勝場(chǎng)積分負(fù)場(chǎng)積分平場(chǎng)積分 ?！纠?7】 足球比賽的積分規(guī)則：勝一場(chǎng)得 3分，平一場(chǎng)得 1分，輸一場(chǎng)得 0分。一支點(diǎn)球 隊(duì)在某個(gè)賽季中共比賽 14場(chǎng)，現(xiàn)已比賽了 8 場(chǎng)，輸

11、了 1 場(chǎng)，得 17分，請(qǐng)問：(1) 前 8 場(chǎng)比賽中，這支球隊(duì)共勝了多少場(chǎng)？( 2)這支球隊(duì)打滿 14 場(chǎng)比賽，最高能得多少分？(3)通過對(duì)比賽情況的分析，這支球隊(duì)打滿14 場(chǎng)比賽得分不低于 29分就可以達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)，請(qǐng)你分析一下，在后面的 6 場(chǎng)比賽中，這支球隊(duì)至少要?jiǎng)賻讏?chǎng)才能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)？解：本題中的數(shù)據(jù)較多，要特別注意讀題、審題，從中找出等量關(guān)系：總積分=勝場(chǎng)積分+ 負(fù)場(chǎng)積分平場(chǎng)積分 .解：(1)設(shè)前8場(chǎng)比賽中，這個(gè)球隊(duì)共勝了 x場(chǎng)，則平了( 8- 1 - x)場(chǎng).根據(jù)題意列方程為： 3x+( 8 1 - x)= 17.解得 x = 5(2) 打滿14場(chǎng)比賽最高得分為：17 + 3

12、(14 - 8)= 35 (分)(3) 由題意知，以后的 6場(chǎng)比賽中，只要得分不低于 12分即可達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。所以當(dāng)勝場(chǎng)不少于4場(chǎng)時(shí)得分大于17 + 3X 4 = 29分，一定能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)；而勝3場(chǎng)平3場(chǎng)時(shí)得分為：17+ 3X 3+ 3X 1 = 29分，正好達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。所以這個(gè)球隊(duì)在以后的6場(chǎng)比賽中至少要?jiǎng)?3場(chǎng)平 3場(chǎng)才能達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。練習(xí)： 某區(qū)中小學(xué)足球聯(lián)賽共賽 8輪(即每隊(duì)均需參賽 8場(chǎng))，勝一場(chǎng)得 3分，平一場(chǎng)得 1 分，負(fù)一場(chǎng)得 0分，在這足球聯(lián)賽中，猛虎隊(duì)平的場(chǎng)數(shù)是負(fù)的場(chǎng)數(shù)的 2倍，且 8場(chǎng)比賽共得分 17分，則該隊(duì)共勝多少場(chǎng)？八、方案設(shè)計(jì)問題一般步驟： ( 1)運(yùn)用一元

13、一次方程解應(yīng)用題的方法，求解使設(shè)計(jì)方案值相等的情況；( 2)用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比較兩種方案的 優(yōu)劣后下結(jié)論。【例8】某地上網(wǎng)有兩種收費(fèi)方式，用戶可以任選其一：A 計(jì)時(shí)制： 1 元/小時(shí)， B 包月制：80 元/月，此外，每一種上網(wǎng)方式都加收通訊費(fèi)元/ 小時(shí)。( 1 ) 某用戶每月上網(wǎng) 40 小時(shí)，選用哪種上網(wǎng)方式比較合算？( 2) 某用戶每月有 100 元錢用于上網(wǎng)，選用哪種上網(wǎng)方式比較合算 ?( 3) 請(qǐng)你為用戶設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使用戶能合理地選擇上網(wǎng)方式 .分析：(1 )分別計(jì)算出兩種上網(wǎng)方式上網(wǎng)40小時(shí)的消費(fèi)額，進(jìn)行比較即可知道;(2) 分別計(jì)算出兩

14、種方式下的上網(wǎng)時(shí)間進(jìn)行比較；(3)設(shè)每月上網(wǎng)m小時(shí)，兩種上網(wǎng)方式的消費(fèi)額相等，再進(jìn)行分析解：(1)用戶上網(wǎng)40小時(shí),選擇A種上網(wǎng)方式應(yīng)支付網(wǎng)費(fèi) 40X 1 + 40X= 44元(元)，選擇 B種上網(wǎng)方式應(yīng)支付網(wǎng)費(fèi) 80+ 40X= 84 (元)，所以選用A種方式比較合算；(2)設(shè)用戶選擇 A方式100元可上網(wǎng)x小時(shí)，選擇B方式可上網(wǎng)y小時(shí)，依題意，得j (1 +) x= 100丫 80 + = 100 解得x 91I y = 200即用戶選擇A方式100元可上網(wǎng)91小時(shí)，選擇B方式可上網(wǎng)200小時(shí)，所以選用 B種方式 合算(3) 設(shè)每月上網(wǎng)m小時(shí)兩種上網(wǎng)方式的消費(fèi)額相等，依題意列方程為：(10.1)m800.1m解得m 80所以當(dāng)每月上網(wǎng)不足 80小時(shí)時(shí)，先用A方式上網(wǎng)比較合算；當(dāng)每月上網(wǎng)80小時(shí)時(shí)，兩種方式的消費(fèi)額相等；當(dāng)每月上網(wǎng)超過80小時(shí)時(shí)，選用B方式比較合算練習(xí)：某校長(zhǎng)暑假將帶該校市“三好生”去參加旅游，甲旅行社說：“如果校長(zhǎng)買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價(jià)優(yōu)惠”乙旅行社說：“包括校長(zhǎng)在內(nèi)全部按全票的6折優(yōu)惠” 若全票為240 元.(1) 當(dāng)學(xué)生是多少時(shí)，兩家費(fèi)用一樣？(2) 當(dāng)學(xué)生是多少時(shí)，選甲旅行