§_3.4實際問題與一元一次方程

1、實際問題與一元一次方程（知識要點）一、銷售問題在生活中，人們購買商品和銷售商品時，經(jīng)常會遇到進價、原價（標價）、售價、打折等概念，在了解這些概念后，還必須熟悉銷售問題中的兩個基本關系式：利潤 利潤=售價進價；利潤率=X 100%.進價在式中若等式左邊的 “利潤”為正，就是盈利；若為負，就是虧損；由和式可以得到： 利潤=售價進價=利潤率X進價?！纠?】 某商店將某種服裝按進價提高30%乍為標價，又以九折優(yōu)惠賣出，結(jié)果仍可獲利17元，則這種服裝每件進價是多少元？分析：此題要用的等量關系是：利潤=售價-進價，如果把進價設為x元，則標價為（1 +30%）x，打九折后售價為X （1 + 30%）x,再減

2、去進價x元得到的就是利潤17元。解：設這種服裝每件的進價為 x元，依題意列方程為：X （1 + 30%）x x= 17解得x= 100答：這種服裝的進價是 100元。練習：某商店對一種商品進行調(diào)價，按原價的八折出售，打折后利潤率是20%已知商品的原價是63元，求該商品的進價？二、行程問題1、相遇問題：主要是指兩車（戓人）從兩地同時相向而行。其基本等量關系為兩車（戓人） 所行的路程這和恰好等于兩地的距離；兩車（或人）人開始行駛到相遇所用的時間相等。2、追趕問題：主要是指甲、乙同向而行，快者追慢者稱為追趕問題。 基本公式：速度差X追趕時間=被追趕的路程； 對于同向同地不同時出發(fā)的問題有相等關系：追

3、趕者行進路程=被追趕者行進路程； 對于同時同向不同地出發(fā)的問題有等量關系：追趕者的行駛時間=被追趕者的行駛時間。3、 航行問題：基本公式： 順水速度=靜水速度+水速，逆水速度=靜水速度-水速順風速度=無風速度+風速，逆風速度=無風速度-風速符號公式：V 順水=V靜水+ V水 V 順風 =V無風+ V風V逆水=V靜水V水 V 逆風=V無風V風4、行程問題一般都能通過畫線段示意圖來分析，通過線段示意圖，等量關系就能直觀地顯示出來，進而用方程表示出來。【例2】某中學組織學生到校外參加義務植樹活動，一部分學生先騎自行車先走，速度為9km/h，40min后其余學生乘汽車出發(fā)，速度為45km/h，結(jié)果他們

4、同時到達目的地，則目的地距學校有多少km?分析：題目中的等量關系為：汽車行程=自行車行程；騎自行車的時間一乘汽車時間=40min。解：（方法一）設目的地距學校有 x千米，則騎自行車的所用的時間為x/9小時，乘汽車所用的時間為x/45 h。依據(jù)題意列方程為：xx _ 40945 60解得x =所以目的地距學校。（方法二）設汽車行駛了 x小時，則汽車x小時的行程=自行車 40分鐘的行程+ x小時的行程。如圖所示:依題意列方程為:汽車x小時的行程45x = 9 （x +）601解得x =61所以45 X =6即目的地距學校千米。自行車40分鐘的 自行車x小時的行程 行程練習：1、A B兩地相距100

5、千米，甲、乙兩人騎自行車分別從 A B兩地相向而行，甲的 速度為23千米/時，乙的速度為21千米/時，甲騎了 1小時后乙從B地出發(fā)，問甲出發(fā)后經(jīng)過幾 小時與乙相遇？2、一輛汽車以每小時 40千米的速度由甲地駛向乙地，車行了3小時后，因遇雨，平均速度被迫每小時減少10千米，結(jié)果到乙地比預計的時間晚了45分鐘，求甲、乙兩地的距離。三、工程問題我們在解決工程類問題應用題時，常常把工作總量看成 “1”工作量、工作時間、工作人數(shù)、工作效率之間的關系為：工作量=工作效率X工作時間X工作人數(shù)。【例3】一項工作，甲單獨做 8天完成，乙單獨做12天完成，丙單獨做 24天完成，現(xiàn)甲、 乙合做3天后，甲因事離去，由

6、乙、丙合做，則乙、丙還要幾天才能完成這項工作？分析：題中的等量關系為：全部工作量=甲、乙合做3天的工作量+乙、丙合做的工作量。解：設乙、丙還要x天才能完成這項工作，根據(jù)題意列方程為：丄x 3+121121x24解得x 3.答：乙、丙還要3天才能完成這項工作。練習：某工程，甲隊單獨做 12天完成，乙隊單獨做 3天完成，甲隊做苦干天后，因另有任 務被調(diào)走，余下的由乙隊完成，從甲隊開始做到乙隊完成任務共用6天，求甲隊做的天數(shù)。四、儲蓄問題存入銀行的錢叫做本金； 銀行付出的酬金叫做利息； 存入銀行的時間叫做期數(shù)； 每個期數(shù)內(nèi) 的利息與本金的比叫做利率， 每個期數(shù)內(nèi)，利息=本金x利率。本金與利息和叫做本

7、息和， 本息 和=本金+利息。【例4】 某銀行一年定期儲蓄的年利率為%小明的奶奶當時按一年定期存入一筆錢，一年到期后取出本金及利息共元，則小明的奶奶存入銀行的錢為多少元？分析：題中利用的等量關系：本息和=本金+利息=本金+本金X利率，可求得本金。解：設小明的奶奶存入銀行的錢為x元，根據(jù)題意列方程為：x 2.250ox 1022.5解得x 1000.答：小明的奶奶存入銀行的錢為1000元。練習：小紅的父親前年存入了一種年利率為勺兩年儲蓄，今年到期后，所得利息正好給小紅買了一個價格為元的計算器，那么小紅的父親前年存入了多少錢？五、調(diào)配問題調(diào)配問題是指從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定的數(shù)量

8、關系；或者從第三方調(diào)甲處人（或物）數(shù)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定的數(shù)量關系。其基本關系為:+乙處人（或物）數(shù)=總?cè)耍ɑ蛭铮?。【?】某廠甲車間有工人 32人，乙車間有62人，現(xiàn)從廠外招聘工人 98名分配到兩車間， 問應該如何分配才能使乙車間人數(shù)是甲車間人數(shù)的3倍。分析：設分配x人到甲車間，則分配（98- x）人到乙車間，甲車間分配后人數(shù)為（32+x）人，乙車間分配后人數(shù)為（62 + 98- x）人。等量關系是：乙車間人數(shù)=3 X甲車間人數(shù)。解：設分配x人到甲車間，則分到乙車間的人數(shù)為（98-x），依題意列方程為：62+ 98 - x= 3（32 + x）解得x 16則分到乙車間的

9、人數(shù)為：98- 16= 82 （人）.答：應分配16人到甲車間，82人到乙車間。練習：如圖，天平的A、B盤內(nèi)分別有51克、45克鹽，則應該從A盤內(nèi)拿出多少克鹽放到B盤內(nèi)，才能使天平平衡？六、數(shù)字問題數(shù)字問題是指已知一個數(shù)各位上的數(shù)字之間的關系，要求寫出這個數(shù)，解這類問題一般要設間接未知數(shù)，如 a、b分別是一個數(shù)的個位和十位上的數(shù)字，則這個兩位數(shù)可以表示為10b + a.【例6】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小1,十位與個位上的數(shù)學之和是這個兩位數(shù)的1/5，求這個兩位數(shù)。分析：題中已知的等量關系是：十位上的數(shù)字+個位上數(shù)字=1/5 X兩位數(shù).解：設十位上的數(shù)字為 x，則個位上的數(shù)字為（x+

10、1），依題意列方程為：1x （x 1）10x （x 1）5解得 x 4個位上的數(shù)字這：4+ 1 = 5所以這個數(shù)兩位數(shù)是為 45.練習：一個兩位，個位上的數(shù)字是十位上的數(shù)字的2倍，如果把十位與個位上數(shù)字對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36,求原兩位數(shù)。七、積分問題比賽中的積分規(guī)則由比賽的規(guī)定決定， 各類比賽不盡相同， 弄清比賽規(guī)則是解決問題的先決 條件。這類問題基本選題關系為：比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)。比賽總積分=勝場積分負場積分平場積分 。【例 7】 足球比賽的積分規(guī)則：勝一場得 3分，平一場得 1分，輸一場得 0分。一支點球 隊在某個賽季中共比賽 14場，現(xiàn)已比賽了 8 場，輸

11、了 1 場，得 17分，請問：(1) 前 8 場比賽中，這支球隊共勝了多少場？( 2)這支球隊打滿 14 場比賽，最高能得多少分？(3)通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14 場比賽得分不低于 29分就可以達到預期的目標，請你分析一下，在后面的 6 場比賽中，這支球隊至少要勝幾場才能達到預期目標？解：本題中的數(shù)據(jù)較多，要特別注意讀題、審題，從中找出等量關系：總積分=勝場積分+ 負場積分平場積分 .解：(1)設前8場比賽中，這個球隊共勝了 x場，則平了( 8- 1 - x)場.根據(jù)題意列方程為： 3x+( 8 1 - x)= 17.解得 x = 5(2) 打滿14場比賽最高得分為：17 + 3

12、(14 - 8)= 35 (分)(3) 由題意知，以后的 6場比賽中，只要得分不低于 12分即可達到預期目標。所以當勝場不少于4場時得分大于17 + 3X 4 = 29分，一定能達到預期目標；而勝3場平3場時得分為：17+ 3X 3+ 3X 1 = 29分，正好達到預期目標。所以這個球隊在以后的6場比賽中至少要勝 3場平 3場才能達到預期的目標。練習： 某區(qū)中小學足球聯(lián)賽共賽 8輪(即每隊均需參賽 8場)，勝一場得 3分，平一場得 1 分，負一場得 0分，在這足球聯(lián)賽中，猛虎隊平的場數(shù)是負的場數(shù)的 2倍，且 8場比賽共得分 17分，則該隊共勝多少場？八、方案設計問題一般步驟： ( 1)運用一元

13、一次方程解應用題的方法，求解使設計方案值相等的情況；( 2)用特殊值試探法選擇方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比較兩種方案的 優(yōu)劣后下結(jié)論。【例8】某地上網(wǎng)有兩種收費方式，用戶可以任選其一：A 計時制： 1 元/小時， B 包月制：80 元/月，此外，每一種上網(wǎng)方式都加收通訊費元/ 小時。( 1 ) 某用戶每月上網(wǎng) 40 小時，選用哪種上網(wǎng)方式比較合算？( 2) 某用戶每月有 100 元錢用于上網(wǎng)，選用哪種上網(wǎng)方式比較合算 ?( 3) 請你為用戶設計一個方案，使用戶能合理地選擇上網(wǎng)方式 .分析：(1 )分別計算出兩種上網(wǎng)方式上網(wǎng)40小時的消費額，進行比較即可知道;(2) 分別計算出兩

14、種方式下的上網(wǎng)時間進行比較；(3)設每月上網(wǎng)m小時，兩種上網(wǎng)方式的消費額相等，再進行分析解：(1)用戶上網(wǎng)40小時,選擇A種上網(wǎng)方式應支付網(wǎng)費 40X 1 + 40X= 44元(元)，選擇 B種上網(wǎng)方式應支付網(wǎng)費 80+ 40X= 84 (元)，所以選用A種方式比較合算；(2)設用戶選擇 A方式100元可上網(wǎng)x小時，選擇B方式可上網(wǎng)y小時，依題意，得j (1 +) x= 100丫 80 + = 100 解得x 91I y = 200即用戶選擇A方式100元可上網(wǎng)91小時，選擇B方式可上網(wǎng)200小時，所以選用 B種方式 合算(3) 設每月上網(wǎng)m小時兩種上網(wǎng)方式的消費額相等，依題意列方程為：(10.1)m800.1m解得m 80所以當每月上網(wǎng)不足 80小時時，先用A方式上網(wǎng)比較合算；當每月上網(wǎng)80小時時，兩種方式的消費額相等；當每月上網(wǎng)超過80小時時，選用B方式比較合算練習：某校長暑假將帶該校市“三好生”去參加旅游，甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優(yōu)惠”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)全部按全票的6折優(yōu)惠” 若全票為240 元.(1) 當學生是多少時，兩家費用一樣？(2) 當學生是多少時，選甲旅行