第七章解三角形高中數(shù)學競賽標準教材

1、第七章解三角形（高中數(shù)學競賽標準教材）第七章 解三角形一、基礎(chǔ)知識 在本章中約定用A，B，C分別表示ABC的三個內(nèi)角，a, b, c分別表示它們所對的各邊長， 為半周長。 1正弦定理： =2R（R為ABC外接圓半徑）。 推論1：ABC的面積為SAB推論2：在ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推論3：在ABC中，A+B= ，解a滿足 ，則a=A. 正弦定理可以在外接圓中由定義證明得到，這里不再給出，下證推論。先證推論1，由正弦函數(shù)定義，BC邊上的高為bsinC，所以SABC= ；再證推論2，因為B+C= -A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBA，兩邊同乘以2R

2、得bcosC+ccosB=a；再證推論3，由正弦定理 ，所以 ，即sinasin( -A)=sin( -a)sinA，等價于 cos( -A+a)-cos( -A-a)= cos( -a+A)-cos( -a-A)，等價于cos( -A+a)=cos( -a+A)，因為0 -A+a， -a+A . 所以只有 -A+a= -a+A，所以a=A，得證。 2余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA ，下面用余弦定理證明幾個常用的結(jié)論。 （1）斯特瓦特定理：在ABC中，D是BC邊上任意一點，BD=p，DC=q，則AD2= （1） 【證明】 因為c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcos ， 所以

3、c2=AD2+p2-2ADpcos 同理b2=AD2+q2-2ADqcos ， 因為 ADB+ ADC= ， 所以cos ADB+cos ADC=0， 所以q+p得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 注：在（1）式中，若p=q，則為中線長公式 （2）海倫公式：因為 b2c2sin2A= b2c2 (1-cos2A)= b2c2 (b+c) -a2a2-(b-c) 2=p(p-a)(p-b)(p-c). 這里 所以SAB二、方法與例題 1面積法。 例1 （共線關(guān)系的張角公式）如圖所示，從O點發(fā)出的三條射線滿足 ，另外OP，OQ，OR的長分別為u, w, v，這里，+(

4、0, )，則P，Q，R的共線的充要條件是 【證明】P，Q，R共線 (+)= uwsin+ vwsin ，得證。 2正弦定理的應(yīng)用。 例2 如圖所示，ABC內(nèi)有一點P，使得 BPC- BAC= CPA- CBA= APB- ACB。 求證：APBC=BPCA=CPAB。 【證明】 過點P作PD BC，PE AC，PF AB，垂足分別為D，E，F(xiàn)，則P，D，C，E；P，E，A，F(xiàn)；P，D，B，F(xiàn)三組四點共圓，所以 EDF= PDE+ PDF= PCA+ PBA= BPC- BAC。由題設(shè)及 BPC+ CPA+ APB=3600可得 BAC+ CBA+ ACB=1800。 所以 BPC- BAC=

5、CPA- CBA= APB- ACB=600。 所以 EDF=600，同理 DEF=600，所以DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsin ACB=APsin BAC=BPsin ABC，兩邊同時乘以ABC的外接圓直徑2R，得CPBA=APBC=BPAC，得證： 例3 如圖所示，ABC的各邊分別與兩圓O1，O2相切，直線GF與DE交于P，求證：PA BC。 【證明】 延長PA交GD于M， 因為O1G BC，O2D BC，所以只需證 由正弦定理 ， 所以 另一方面， ， 所以 ， 所以 ，所以PA/O1G， 即PA BC，得證。 3一個常用的代換：在ABC中，記點A，B，C

6、到內(nèi)切圓的切線長分別為x, y, z，則a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在ABC中，求證：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc. 【證明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，則 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3ab三角換元。 例5 設(shè)a, b, cR+，且abc+a+c=b，試求 的最大值。 【解】 由題設(shè) ，令a=tan, c=tan,

7、 b=tan, 則tan=tan(+), P=2sinsin(2+)+3cos2 ， 當且僅當+= ，sin= ，即a= 時，Pmax= 例6 在ABC中，若a+b+c=1，求證: a2+b2+c2+4abc 【證明】 設(shè)a=sin2cos2, b=cos2cos2, c=sin2, . 因為a, b, c為三邊長，所以c , c|a-b|， 從而 ，所以sin2|cos2cos2|. 因為1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)2cos

8、2+sin2cos2cos4cos2 = 1-cos22+(1-cos22)cos4cos2 = + cos2(cos4-cos22cos4-cos2) + cos2(cos4-sin4-cos2)所以a2+b2+c2+4abc 三、基礎(chǔ)訓練題 1在ABC中，邊AB為最長邊，且sinAsinB= ，則cosAcosB的最大值為_. 2在ABC中，若AB=1，BC=2，則 的取值范圍是_. 3在ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+ tanCtanB，則ABC的面積為_. 4在ABC中，3sinA+4cosBA+4sinB=1，則 =_. 5在ABC中，“ab”是“sinAsin

9、B”的_條在ABC中，sinA+cosA0, tanA-sinA0，則角A的取值范圍是_. 7在ABC中，sinA= ，cosB= ，則cosC=_. 8在ABC中，“三邊a, b, c成等差數(shù)列”是“tan ”的_條在ABC中，若sinC=2cosAsinB，則三角形形狀是_. 10在ABC中，tanAtanB1，則ABC為_角三角形三角形有一個角是600，夾這個角的兩邊之比是8：5，內(nèi)切圓的面積是12 ，求這個三角形的面積。 12已知銳角ABC的外心為D，過A，B，D三點作圓，分別與AC，BC相交于M，N兩點。求證：MNC的外接圓半徑等于ABD的外接圓半徑。 13已知ABC中，sinC=

10、，試判斷其形狀。 四、高考水平訓練題 1在ABC中，若tanA= , tanB= ，且最長邊長為1，則最短邊長為_. 2已知nN+，則以3，5，n為三邊長的鈍角三角形有_個. 3已知p, qR+, p+q=1，比較大?。簆sin2A+qsin2B_pqsin2在ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，則ABC 為_角三角形. 5若A為ABC 的內(nèi)角，比較大?。?_若ABC滿足acosA=bcosB，則ABC的形狀為_. 7滿足A=600，a= , b=4的三角形有_個. 8設(shè) 為三角形最小內(nèi)角，且acos2 +sin2 -cos2 -asin2 =a+1，則

11、a的取值范圍是_. 9A，B，C是一段筆直公路上的三點，分別在塔D的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km，求塔與公路AC段的最近距離。 10求方程 的實數(shù)解。 11求證： 五、聯(lián)賽一試水平訓練題 1在ABC中，b2=ac，則sinB+cosB的取值范圍是_. 2在ABC中，若 ，則ABC 的形狀為_. 3對任意的ABC， -(cotA+cotB+cotC)，則T的最大值為_. 4在ABC中， 的最大值為_. 5平面上有四個點A，B，C，D，其中A，B為定點，|AB|= ，C，D為動點，且|AD|=|DC|=|BC|=1。記SABD=S，SBCD=T，則S2+T2的取值范圍

12、是_. 6在ABC中，AC=BC， ，O為ABC的一點， ， ABO=300，則 ACO=_. 7在ABC中，ABC ，則乘積 的最大值為_，最小值為_. 8在ABC中，若c-a等于AC邊上的高h，則 =_. 9如圖所示，M，N分別是ABC外接圓的弧 ，AC中點，P為BC上的動點，PM交AB于Q，PN交AC于R，ABC的內(nèi)心為I，求證：Q，I，R三點共線。 10如圖所示，P，Q，R分別是ABC的邊BC，CA，AB上一點，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求證：AB+BC+CA2（PQ+QR+RP）。 11在ABC外作三個等腰三角形BFC，ADC，AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB

13、， ADC=2 BAC， AEB=2 ABC， BFC=2 ACB，并且AF，BD，CE交于一點，試判斷ABC的形狀。 六、聯(lián)賽二試水平訓練題 1已知等腰ABC，AB=AC，一半圓以BC的中點為圓心，且與兩腰AB和AC分別相切于點D和G，EF與半圓相切，交AB于點E，交AC于點F，過E作AB的垂線，過F作AC的垂線，兩垂線相交于P，作PQ BC，Q為垂足。求證： ，此處 = B。 2設(shè)四邊形ABCD的對角線交于點O，點M和N分別是AD和BC的中點，點H1，H2（不重合）分別是AOB與COD的垂心，求證：H1H2 MN。 3已知ABC，其中BC上有一點M，且ABM與ACM的內(nèi)切圓大小相等，求證： ，此處 (a+b+c), a, b, c分別為ABC對應(yīng)三邊之長。 4已知凸五邊形ABCDE，其中 ABC= AED=900， BAC= EAD，BD與CE交于點O，求證：AO BE。 5已知等腰梯形ABCD，G是對角線BD與AC的交點，過點G作EF與上、下底平行，點E和F分別在AB和CD上，求證： AFB=900的充要條件是AD+BC=CD。 6AP，AQ，AR，AS是同一個圓中的四條弦，已知 PAQ= QAR= RAS，求證：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。 7已知一凸四邊形的邊