2020版高考數(shù)學(xué)培優(yōu)考前練理科通用版練習(xí)：4.1數(shù)列基礎(chǔ)題Word版含解析

1、專(zhuān)題四數(shù)列4.1數(shù)列基礎(chǔ)題命題角度 1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式高考真題體驗(yàn) 對(duì)方向nn2n+ 1n*,則1.(2016 浙江 13)設(shè)數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ,若 S = 4,a = 2S+ 1,n Na1=,S5=.答案1 121解析由題意 ,可得 a1+a 2= 4,a2= 2a1+ 1,所以 a1= 1,a2= 3.再由 an+ 1= 2Sn+ 1,an= 2Sn-1 + 1(n 2),得 an+ 1-an= 2an,即 an+ 1= 3an(n 2).又因?yàn)?a2= 3a1,所以數(shù)列 an 是以 1 為首項(xiàng) ,3 為公比的等比數(shù)列.1- 35所以 S5= 1 -3 = 121.2.(

2、2015 全國(guó)16)設(shè) S是數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和 ,且 a=- 1,a=S S ,則 S =.nn1n+ 1n n+ 1n答案-1?1解析 由 an+ 1=S n+1-Sn=Sn Sn+ 1,得 ? - ?11111?= 1,即?- ?=- 1,則 ? 為等差數(shù)列 ,首項(xiàng)為?=- 1,公差為?+1?+1?1d=- 1, 1 =-n ,Sn=- 1 .?典題演練提能 刷高分1.(2019 四川廣元萬(wàn)達(dá)中學(xué)、八二一中學(xué)高一下學(xué)期期中考試)設(shè)數(shù)列 a 中 ,已知na = 1,a = 1+1(n 1),則 a = ()?1n3?-1853A. 5B.3C.2D.2答案C解析 因?yàn)?a1n12131

3、=3= 1,a= 1+ ?(n 1),所以 a = 1+ ?= 2,a= 1+ ?2.故選 C.?-112321.2.已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 Sn= 2 n+ 2n,則 a5=答案14解析由題意得 a55 4 325-32=S -S = 25 +224 + 2 =14.Sn是數(shù)列 an的前n,log3Sn+ 1 =n+ 1, an的通項(xiàng)公式為.3 已知項(xiàng)和 且則數(shù)列答案an= 8,?=1,2 3?,? 2解析由 log 3nnn+ 1,( S +1)=n+ 1,得 S + 1= 3當(dāng) n= 1 時(shí) ,a1=S1= 8;當(dāng) n2 時(shí) ,an=Sn-Sn-1= 23n,所以數(shù)列

4、 an 的通項(xiàng)公式為 an= 8,?=1,23?,? 2 .4.已知數(shù)列 an 前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 Sn= 2an-2n,則 Sn=.答案 n2n解析 Snn nn n- 1nnn- 1n= 2a -2 = 2(S -S )-2 ,整理得S -2S= 2 ,等式兩邊同時(shí)除以2n 有?2?-1-2?-1= 1,又 S1= 2a1-2=a 1,可得 a1=S1=2,?所以數(shù)列 bn?1 為首項(xiàng) ,1 為公差的等差數(shù)列,所以?n可看作以n.=2 ?2 ?=n ,所以 S =n 25.已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和是 Sn,且 an+Sn= 3n-1,則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式an=.答案3-12

5、 n- 2解析由題得 an+Sn= 3n-1,an- 1+Sn-1= 3n-4 ,13兩式相減得an=2 an- 1+ 2 ,1an-3= 2 (an-1-3), an-3 是一個(gè)等比數(shù)列,1n-11n-1,所以 an-3= (a1-3) 2=(1- 3) 2an= 3-1n-2.2故填 3- 12n- 2.命題角度 2 等差數(shù)列基本量的運(yùn)算高考真題體驗(yàn) 對(duì)方向1.(2019 全國(guó)9)記 S為等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和 .已知 S = 0,a= 5,則 ()nn45A. an= 2n-5B. an =3n-10212C.Sn= 2n -8nD.Sn =2 n -2n答案A?4 = 4?1 +

6、430,? = -3,?=2解析由題意可知 ,2解得 1故 ann?=2 .= 2n-5,S =n -4n,故選 A .?5 = ?1 + 4?=5,2.(2018 全國(guó)4)記 S 為等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和 ,若 3S =S+S,a = 2,則 a = ()nn32415A .-12B.-10C.10D.12答案B解析 因?yàn)?3S3 2433 334343.設(shè)公差為11=S+S ,所以3S = (S -a )+ (S +a),即 S =a-ad,則 3a+3d=d ,又由 a = 2,得d=- 3,所以 a5=a 1+ 4d=- 10.3.(2017 全國(guó) 4)記 Sn 為等差數(shù)列 an

7、 的前 n 項(xiàng)和 .若 a4 +a 5= 24,S6= 48,則 an 的公差為 ()A .1B.2C.4D.8答案C解析設(shè)首項(xiàng)為 a145116165,公差為 d,則 a +a=a + 3d+a + 4d= 24,S = 6a +2 d= 48,聯(lián)立可得2? + 7?= 24 ,13-,得 (21-15)d= 24,即 6d= 24,所以 d= 4.6?1 + 15?= 48 ,4.(2017 全國(guó)9)等差數(shù)列 a 的首項(xiàng)為 1,公差不為0.若 a ,a ,a成等比數(shù)列 ,則 a 前 6 項(xiàng)的和為n23 6n()A. -24B. -3C.3D.8答案A解析設(shè)等差數(shù)列的公差為2262d,則 d

8、0,?=a= (1+d )(1 +5d),解得 d=- 2,所以3a ,即 (1+ 2d)65S6= 61+ 2 (-2)=- 24,故選 A .?5.(2019 全國(guó) 14)記 Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 .若 a10,a2= 3a1,則 ?10 =.5答案4解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d. a10,a2= 3a1, a1+d= 3a1,即 d= 2a1.10? +10 9?100?1210=1= 4. ?5425?55? +2?11典題演練提能 刷高分1.設(shè)等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ,若 a = 7,S= 12,則 a= ()nn3310A.10B.28C.30D.

9、145答案B?3 = ?1 + 2?=7,?1 = 1,解析由題意 ,設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為 d,則 ? = 3? + 3?=12 ,解得 所以31?= 3,a =a+ 9d= 1+93= 28,故選 B .1012.(2019 四川百校高三模擬沖刺)已知等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 S7 =28,則 a4= ()A.4B.7C.8D.14答案A7(? +? )解析S7=17 = 7a4= 28,故 a4= 4.故選 A.23.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)均輸中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有五人分五錢(qián),令上二人所得與下三人等,問(wèn)各得幾何?”其意思為 “已知甲、乙、丙、丁、戊五人分

10、5 錢(qián) ,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問(wèn)五人各得多少錢(qián)?”(“錢(qián) ”是古代一種重量單位).這個(gè)問(wèn)題中,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為()A. -1n+ 7(n N* ,n 5)66B.1 n+ 3 (nN * ,n 5)62C.1 n+ 7 (nN * ,n 5)66D.-1n+ 3(n N* ,n 5)62答案D解析依題意甲、乙、丙、丁、戊所分得錢(qián)分別為a- 2d,a-d ,a,a+d ,a+ 2d,由題意可知 a-2d+a-d=a+a+d+a+ 2d,所以 a=- 6d,又 a-2d+a-d+a+a+d+a+2d= 5a= 5,所以 a= 1,所以

11、此等差數(shù)列首項(xiàng)為4113*3,公差為 -6,故通項(xiàng)公式為an=- 6n+ 2(n N ,n 5),故選 D.4.在等差數(shù)列 an 中,a1+a 3+a 5 = 105,a2+a 4+a 6= 99,以 Sn表示 an 的前 n 項(xiàng)和 ,則使Sn 達(dá)到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18答案B解析因?yàn)?a1+a 3+a 5= 105,a2 +a 4+a 6= 99,所以 a3= 35,a4= 33,從而 d=- 2,a1= 39,Sn= 39n+ 1 n( n-1)(-2)=-n 2+ 40n,2所以當(dāng) n= 20 時(shí) ,Sn 取最大值 ,故選 B .5.(2019 廣東潮州高三二模

12、) 我國(guó)古代名著九章算術(shù)中有這樣一段話(huà): “今有金錘 ,長(zhǎng)五尺 ,斬本一尺 ,重四斤 ,斬末一尺 ,重二斤 .”意思是 :“現(xiàn)有一根金錘 ,長(zhǎng) 5 尺,頭部 1 尺 ,重 4 斤 ,尾部 1 尺 ,重 2 斤 ”,若該金錘從頭到尾 ,每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列 ,該金錘共重多少斤 ?()A.6 斤B.7 斤C.9 斤D.15 斤答案D解析因?yàn)槊恳怀叩闹亓繕?gòu)成等差數(shù)列 an, a1= 4,a5= 2, a1+a 5= 6,數(shù)列的前5 項(xiàng)和為?+?S5= 51 2 5= 53= 15.即金錘共重 15斤 ,故選 D .6.設(shè)等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ,若 S S S,則滿(mǎn)足 S S S7S

13、5,6576546a1+d 7a1+d 5a1+d,222 a7 0,13 (? +?12 (?+?S13=113 )112 )+a 7) 0,=13a7 0,S12= 6(a622滿(mǎn)足 SnSn+ 1 0 的最大的自然數(shù)n 是 ()A.7B.8C.9D.10答案C解析? = ? + ?= 7,解得? =9,21 1-2,?4= ?1 + 3?= 3,?=所以 Sn= 9n+ ?(?-1)(-2)=-n 2+ 10n,2所以 -n2+ 10n 0,所以 0n 0),4?1( 1-?)?1 =1,1 -?= 15,則42解得 ?=2,?1= 3?1 ? + 4?1,所以 a31 22=aq =

14、12 = 4.故選 C.2.(2017 全國(guó) 3)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層 ,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增 ,共燈三百八十一,請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈 ?”意思是 :一座 7 層塔共掛了381 盞燈 ,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2 倍 ,則塔的頂層共有燈 ()A .1 盞B.3 盞C.5 盞D.9 盞答案B?(1 -2 7)解析設(shè)塔的頂層共有x 盞燈 ,則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2 的等比數(shù)列,由1 -2= 381,可得 x= 3,故選 B .nn112653.(2019 全國(guó)=,?.14)記 S為等比數(shù)列 a 的前 n項(xiàng)和 .若 a34=a,則 S =答案1213解析設(shè)等比

15、數(shù)列 an 的公比為q,則 a4=a 1q3=1 q3,a6=a 1q5 = 1q5.3321615?4=a 6,9 q =3 q .q0,q= 3.?51(1 -35)121(1- ?)=3.S5= 11 -?1 -3=3?4.(2017 北京 10)若等差數(shù)列 an 和等比數(shù)列 bn 滿(mǎn)足 a1=b 1=- 1,a4=b 4= 8,則 ?2=.2答案1解析設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為d,等比數(shù)列 bn 的公比為q,由題意知 -1+ 3d=-q 3= 8,-1 +3?= 8,?=3,即 3解得 -? = 8,?=-2.?2-1+3故 ? = 1.2-1(-2)典題演練提能 刷高分1.Sn 是正

16、項(xiàng)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 ,a3= 18,S3= 26,則 a1= ()A.2B.3C.1D.6答案A2= 18 ,由題得 ?12解析?1+ ?1?+ ?1? = 26 ,?10, ?1 = 2,故選 A . ?= 3,2.等比數(shù)列 a 中各項(xiàng)均為正數(shù),S 是其前 n 項(xiàng)和 ,滿(mǎn)足 2S = 8a + 3a,a= 16,則 S = ()nn312 44A.9B.15C.18D.30答案D解析設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為 q(q 0). 2S3= 8a1 +3a2, 2(a1+a 2+a 3)= 8a1 + 3a2,即 2a3-a2-6a1= 0.32q2-q- 6= 0,q= 2 或 q

17、=- 2 (舍去 ). a4= 16,a1?4?42(1-2441(1 -?)= 3= 2,S =1 -2= 30.故選 D.?1 -?3.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“三百七十八里關(guān) ,出行健步不為難 ,次日腳痛減一半 ,六朝才得到其關(guān) ,要見(jiàn)次日行里數(shù) ,請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為 “有一個(gè)人走了 378 里路 ,第一天健步行走 ,從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了 6 天后到達(dá)目的地 ,請(qǐng)計(jì)算此人第二天走的路程 ”.該問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果為 ()A.24 里B.48 里C.96 里D.192 里答案C解析由題意得此人每天走的路程構(gòu)成公比為1 的等比數(shù)列 ,且前 6

18、項(xiàng)的和為 378,求該數(shù)列的第2 項(xiàng) .2? 1 -( 1) 61設(shè)首項(xiàng)為 a1,則有12= 378,解得 a1= 192,則 a2= 1922= 96(里 ).故選 C.11 -24.(2019 河北保定高三第二次模擬考試)等比數(shù)列 an 中,若 an 0,a2a4= 1,a1+a 2+a 3= 7,則公比 q= ()11A. 4B.2C.2D.4答案B解析設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1,公比為 q,且 q 0.由題意可得3 ?24 = ?1?1= 1,2= 7,?1 + ?2 + ?3 = ?1 + ?+1?1解得 q= 1.故選 B .25.已知公比q1 的等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和

19、為 Sn,a1= 1,S3 = 3a3,則 S5= ()3111A.1B.5C.48D.16答案D3解析由題意得?1(1-? )1211 -?= 3a q ,解得 q=- 2,q= 1(舍 ),51)5? (1 -? )1-( -11所以 S5=1=2= 16 ,故選 D .1- ?11 -(- 2)6.古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題:“今有蒲生一日 ,長(zhǎng)三尺 ;莞生一日 ,長(zhǎng)一尺 .蒲生日自半 ,莞生日自倍 .問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等?”意思是 :“今有蒲草第一天,長(zhǎng)為 3 尺; 莞生長(zhǎng)第一天 ,長(zhǎng)為 1 尺 .以后蒲的生長(zhǎng)長(zhǎng)度逐天減半 ,莞的生長(zhǎng)長(zhǎng)度逐天加倍.問(wèn)幾天后蒲的長(zhǎng)度與莞的長(zhǎng)度相等?”以下給

20、出了問(wèn)題的4 個(gè)解,其精確度最高的是(結(jié)果保留一位小數(shù),參考數(shù)據(jù) :lg 2 0.30,lg 30.48)()A.1 .3 日B.1.5 日C.2 .6 日D.3 .0 日答案C解析由題意可知蒲的長(zhǎng)度是首項(xiàng)為3,公比為1的等比數(shù)列 ,莞的長(zhǎng)度是首項(xiàng)為1,公比為 2 的等比數(shù)23(1 - 1)1( 1-2?lg2+lg3列,設(shè) n 天后長(zhǎng)度相等 ,由等比數(shù)列前n 項(xiàng)和公式有 :2?)1=1-2,解得 n= log26= lg2 2.6.故選 C.1 -27.在數(shù)列 a 中 ,a = 1,a=2a ,S為 a 的前 n 項(xiàng)和 ,若 S + 為等比數(shù)列 ,則 = ()n1n+ 1n nnnA. -1

21、B.1C.-2D.2答案B解析由題意 an nnnnn為等比數(shù)列 ,則 -1+= 0,即 = 1, 是等比數(shù)列 ,公比為 2, S = 2 -1,S + = 2 -1+, S + 故選 B .? + ? + ? = 26,8.已知遞減的等比數(shù)列 an, 各項(xiàng)均為正數(shù) ,且滿(mǎn)足 1239則數(shù)列 an 的公比 q 的值為11113?+? +?=2 ,123()1123A. 2B.3C.3D.4答案B解析因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列,故得到11+?1?21=?2?3 + ?1?3 + ?1?2?1?2?3? +? ?+? ?232212=? ?123?+? +?13=312= 2 ,?13242化簡(jiǎn)得到 a1

22、a3= ? =,a2= .293由 a1+a 2+a 3=26=?2+a 2+a 2q? q+110? q=1.9=33?2log? +19.已知等比數(shù)列 an 的首項(xiàng) a1 = 2,前 n 項(xiàng)和為 Sn,若 S5+ 4S3= 5S4,則數(shù)列 log2 ? 的最大項(xiàng)等于 ()2 ?-6319A. -11B. -5C. 3D.15答案D解析由已知得 S52log?+14?-14?-1的44 354nn-1= 22n- 12?,由函數(shù) y=-S = 4(S -S )? a = 4a ? q= 4,a = 24,所以 log2?-6= 2?-72?-7?2log2? +1圖象得到 ,當(dāng) n= 4 時(shí)

23、 ,數(shù)列 ?15.故選 D.log2? -6 的最大項(xiàng)等于?10.如圖所示 ,正方形上連接著等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再連接正方形, ,如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)形圖形 ,稱(chēng)為 “勾股樹(shù) ”.若某勾股樹(shù)含有 1 023 個(gè)正方形 ,且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為22 ,則其最小正方形的邊長(zhǎng)為.答案132解析由題意 ,正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以2 為首項(xiàng) ,以2 為公比的等比數(shù)列,現(xiàn)已知共得到1 023 個(gè)正方形 ,22則有1+ 2+ + 2n- 1= 1 023,則 n= 10,故最小正方形的邊長(zhǎng)為229=1.2232命題角度 4 等差、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用高考真題體驗(yàn) 對(duì)方向1.(2016 全國(guó) 15)

24、設(shè)等比數(shù)列 an 滿(mǎn)足 a1 +a 3= 10,a2 +a 4= 5,則 a1a2 an 的最大值為.答案64解析由已知 a1+a 3= 10,a2+a 4=a 1q+a 3q= 5,? +?10兩式相除得13=5 ,?(? +?13 )解得 q= 1,a1= 8,2所以 a1a2 an= 8n(1)21+2+ + (?-1)-1 27?177= 22? +2 ,拋物線(xiàn) f(n)=- 2n2+ 2n 的對(duì)稱(chēng)軸為 n=-21= 3.5,2( -2)1273又 nN * ,所以當(dāng) n= 3 或 4 時(shí) ,a1a2 an 取最大值為 2- 23+ 2 =26= 64.2.(2015 廣東 10)在等

25、差數(shù)列 an 中 ,若a3+a 4+a 5+a6+a 7 = 25,則a2+a 8=.答案10解析根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),得 a3+a 4 +a 5+a 6+a 7= 5a5= 25,解得 a5 = 5.又 a2+a 8=2a5,所以 a2+a 8 =10.典題演練提能 刷高分1.在等差數(shù)列 a 中,前 n 項(xiàng)和 S滿(mǎn)足 S -S = 45,則 a = ()nn7 25A.7B.9C.14D.18答案 B解析S7-S2=a 3 +a 4+a 5+a 6+a 7= 5a5= 45,所以 a5= 9,故選 B .2.(2019 東北三省三校高三第三次模擬)等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) ,a1= 1,

26、a1 +a 2+a 3= 7,則a3+a 4+a 5= ()A.14B.21C.28D.63答案C解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q. a1= 1,a1+a 2+a 3= 7,a1(1+q+q 2)=1+q+q2= 7,即 q2+q- 6= 0,解得 q= 2或 q=- 3.又 an0, q= 2.a3+a4+a 5=q 2(a1+a 2+a 3)= 47= 28.故選 C.n568?- ?2 0162 0183.已知等比數(shù)列 a 中 ,a = 2,aa = 8,則?- ?=()2 0142 012A.2B.4C.6D.8答案A解析 數(shù)列 an 6 82 7 2? 是等比數(shù)列8,57=2,從而, a a

27、= ?=7a = 22(與 a 同號(hào) ),q =?5?-?2 0182 016=q 4= (2)2=2.故選 A .?-?20142 012?4.(2019 吉林長(zhǎng)春高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)四)設(shè) Sn 是各項(xiàng)均不為0 的等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 ,且 S13= 13S7,則?74等于()A.1B.3C.7D.13答案C解析因?yàn)?Sn是各項(xiàng)均不為n1370 的等差數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和 ,且 S= 13S ,所以13 (?+?7(?+?113 )17 )7472= 132,即 a = 7a ,所以?= 7.故選 C.45.(2019 四川綿陽(yáng)高三下學(xué)期第三次診斷性考試)已知 a 是正項(xiàng)等比數(shù)列 ,

28、且 a a = 4a ,a與 2a 的等n1 85 46差中項(xiàng)為 18,則 a5= ()A.2B.4C.8D.16答案 C解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列 an 的公比為q,且 q 0, a1a8= 4a5,a4 與 2a6 的等差中項(xiàng)為 18,274? = 4?, 11? + 2? = 36,462741? = 4?,?1 =,即 131解得 25?=?1(? + 2? ) = 36 ,2,則 a5=a 1q4=8.故選 C.6.已知等比數(shù)列 an 中 ,a2a5a8=- 8,S3=a 2+ 3a1,則 a1= ()11A. 2B. -221C.-9D.-9答案B解析3=- 8,a5 =- 2,因?yàn)?S3=a 2+ 3a1,所以 a1+a 2+a 3=a 2+ 3a1,所以 a3= 2a1,所以因?yàn)?a2a5a8=- 8,所以 ?5q2=