高中數(shù)學(xué)專題131—函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題命題區(qū)間

1、專題131函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題命題區(qū)間目錄第一部分構(gòu)造輔助函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題.2技法一：“比較法”構(gòu)造函數(shù).2技法二：“拆分法”構(gòu)造函數(shù).3技法三：“換元法”構(gòu)造函數(shù).5技法四：二次(甚至多次)構(gòu)造函數(shù).8強(qiáng)化訓(xùn)練.10第二部分利用導(dǎo)數(shù)探究含參數(shù)函數(shù)的性質(zhì).14技法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.14技法二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.17技法三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值.19強(qiáng)化訓(xùn)練.22第三部分導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.29技法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根.29技法二：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.31技法三：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題.34技法四：利用導(dǎo)數(shù)研究存在性與任意性問(wèn)題.44技法五：利用導(dǎo)數(shù)研究探究性問(wèn)

2、題.47強(qiáng)化訓(xùn)練.50第一部分構(gòu)造輔助函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題對(duì)于證明與函數(shù)有關(guān)的不等式，或已知不等式在某個(gè)范圍內(nèi)恒成立求參數(shù)取值范圍、討論一些方程解的個(gè)數(shù)等類型問(wèn)題時(shí)，常常需要構(gòu)造輔助函數(shù)，并求導(dǎo)研究其單調(diào)性或?qū)で笃鋷缀我饬x來(lái)解決；題目本身特點(diǎn)不同，所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式，解題的繁簡(jiǎn)程度也因此而不同，這里給出幾種常用的構(gòu)造技巧技法一：“比較法”構(gòu)造函數(shù)典例(2017廣州模擬)已知函數(shù)f(x)exax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為1(1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，x2ex解(1)由f(x)exax，得f(x)exa因?yàn)閒(0)1a1，所以

3、a2，所以f(x)ex2x，f(x)ex2，令f(x)0，得xln2，當(dāng)xln2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xln2時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xln2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)eln22ln22ln4，f(x)無(wú)極大值(2)證明：令g(x)exx2，則g(x)ex2x由(1)得g(x)f(x)f(ln2)0，故g(x)在r上單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(0)10，即x2ex方法點(diǎn)撥在本例第(2)問(wèn)中，發(fā)現(xiàn)“x2，ex”具有基本初等函數(shù)的基因，故可選擇對(duì)要證明的“x2ex”構(gòu)造函數(shù)，得到“g(x)exx2”，并利用(1)的結(jié)論求解對(duì)點(diǎn)演練x已知函數(shù)f(

4、x)ex，直線yg(x)為函數(shù)f(x)的圖象在xx0(x01)處的切線，求證：f(x)g(x)證明：函數(shù)f(x)的圖象在xx0處的切線方程為yg(x)f(x0)(xx0)f(x0)令h(x)f(x)g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，則h(x)f(x)f(x0)ex1x1x0ex01xex01x0exx0ex解(1)f(x)aexlnxxx2(x0)，設(shè)(x)(1x)ex0(1x0)ex，則(x)ex0(1x0)ex，x01，(x)0，(x)在r上單調(diào)遞減，又(x0)0，當(dāng)xx0時(shí)，(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，h(x)0，當(dāng)xx0時(shí)，h(x)0，h(x)在區(qū)間(，x

5、0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(x0，)上為減函數(shù)，h(x)h(x0)0，f(x)g(x)技法二：“拆分法”構(gòu)造函數(shù)bex1典例設(shè)函數(shù)f(x)aexlnxx，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線為ye(x1)2(1)求a，b；(2)證明：f(x)11bex1x1由于直線ye(x1)2的斜率為e，圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，f12，b2，a1，所以即解得f1e，aee，b2.2ex1(2)證明：由(1)知f(x)exlnxx(x0)，2從而f(x)1等價(jià)于xlnxxexe所以當(dāng)x0，e時(shí)，g(x)0，當(dāng)xe，時(shí)，g(x)0，故g(x)在0，e上單調(diào)遞減，在e，上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g

6、ee“aexlnxx1”合理拆分為“xlnxxexe”，再分別對(duì)左右兩邊構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)構(gòu)造函數(shù)g(x)xlnx，則g(x)1lnx，1111112構(gòu)造函數(shù)h(x)xexe，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0；故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，1從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1)e綜上，當(dāng)x0時(shí)，g(x)h(x)，即f(x)1方法點(diǎn)撥bex1bex1對(duì)于第(2)問(wèn)“aexlnxx1”的證明，若直接構(gòu)造函數(shù)h(x)aexlnxx1，求導(dǎo)以后不易分析，因此并不宜對(duì)其整體進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，而應(yīng)先將不等式bex12而達(dá)到證明原不等式

7、的目的qq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落對(duì)點(diǎn)演練已知函數(shù)f(x)alnxbx1x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為x2y30(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnxalnx解：(1)f(x)x2(x0)x1x1x1xb21由于直線x2y30的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)(1,1)，ff1，11，故12b1，即a12b2.a1，解得b1.(2)證明：由(1)知f(x)lnx1所以f(x)xx11x2x1x(x0)，lnx1x212lnxx21考慮函數(shù)h(x)2lnxx(x0)，22x2x21則h(x)xx2x1x22故當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，可得

8、1h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0，可得h(x)0所以當(dāng)x1時(shí)，h(x)0而h(1)0，1x2qq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落11x2x1從而當(dāng)x0，且x1時(shí)，f(x)lnx0，即f(x)lnx(2)求證：當(dāng)nm0時(shí)，lnnlnmnmx1技法三：“換元法”構(gòu)造函數(shù)f典例已知函數(shù)f(x)ax2xlnx(ar)的圖象在點(diǎn)(1，(1)處的切線與直線x3y0垂直(1)求實(shí)數(shù)a的值；mn解(1)因?yàn)閒(x)ax2xlnx，(2)證明：要證lnnlnmnm，所以gmg(1)0，對(duì)“待證不等式”等價(jià)變形為“l(fā)nmnm0”后，觀察可知，對(duì)“m”進(jìn)行換元，(3)設(shè)(2)中所確定的s關(guān)于

9、t的函數(shù)為sg(t)，證明：當(dāng)te2時(shí)，有所以f(x)2axlnx1，因?yàn)榍芯€與直線x3y0垂直，所以切線的斜率為3，所以f(1)3，即2a13，故a1mnnmnnmn即證lnmnm，只需證lnmnm0n1令mx，構(gòu)造函數(shù)g(x)lnxxx(x1)，11則g(x)xx2111因?yàn)閤1，)，所以g(x)xx210，故g(x)在(1，)上單調(diào)遞增n由已知nm0，得m1，nnmn即證得lnmnm0成立，所以命題得證方法點(diǎn)撥nmnn11變?yōu)椤發(fā)nxxx0”，構(gòu)造函數(shù)“g(x)lnxxx(x1)”來(lái)證明不等式，可簡(jiǎn)化證明過(guò)程中的運(yùn)算對(duì)點(diǎn)演練已知函數(shù)f(x)x2lnx(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)

10、證明：對(duì)任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)；25lngtlnt12解：(1)由已知，得f(x)2xlnxxx(2lnx1)(x0)，令f(x)0，得x1e當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：1，xf(x)f(x)0，e1e0極小值1e所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0，單調(diào)遞增區(qū)間是，11ee(2)證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，t0，當(dāng)0x1時(shí)不存在tf(s)令h(x)f(x)t，x1，)由(1)知，h(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增h(1)t0，h(et)e2tlnettt(e2t1)0故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立(3)證明：因?yàn)閟g(t)，由(2)知，tf(s)

11、，且s1，從而lngtlntlnslnslnfslns2lns2lnslnlns2ulnulnsu，其中ulns2lngt要使5lnt1u2成立，只需0lnu2當(dāng)te2時(shí)，若sg(t)e，則由f(s)的單調(diào)性，有tf(s)f(e)e2，矛盾所以se，即u1，從而lnu0成立u11另一方面，令f(u)lnu2，u1，f(u)u2，令f(u)0，得u2當(dāng)1u2時(shí)，f(u)0；當(dāng)u2時(shí)，f(u)0故對(duì)u1，f(u)f(2)0，u因此lnu2成立2lngt綜上，當(dāng)te2時(shí)，有5lnt12技法四：二次(甚至多次)構(gòu)造函數(shù)典例(2017廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)exmx3，g(x)ln(x1)2(1)

12、若曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)m1時(shí)，證明：f(x)g(x)x3解(1)因?yàn)閒(x)exmx3，所以f(x)exm3x2因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線斜率為1，所以f(0)em1，解得m0(2)證明：因?yàn)閒(x)exmx3，g(x)ln(x1)2，所以f(x)g(x)x3等價(jià)于exmln(x1)20當(dāng)m1時(shí)，exmln(x1)2ex1ln(x1)2要證exmln(x1)20，只需證明ex1ln(x1)20設(shè)h(x)ex1ln(x1)2，則h(x)ex11x1設(shè)p(x)ex11x1，則p(x)ex11x120，所以函數(shù)p(x)h(x)ex

13、1在(1，)上單調(diào)遞增因?yàn)閔2e220，h(0)e10，1x111所以函數(shù)h(x)ex11在(1，)上有唯一零點(diǎn)x0，且x02，0x11因?yàn)閔(x0)0，所以ex01，1x01即ln(x01)(x01)當(dāng)x(1，x0)時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(x0，)時(shí)，h(x)0，所以當(dāng)xx0時(shí)，h(x)取得最小值h(x0)，所以h(x)h(x0)ex01ln(x01)21x01(x01)20即t對(duì)任意的x(0，)恒成立令f(x)，則f(x)x2exexlnx，綜上可知，當(dāng)m1時(shí)，f(x)g(x)x3qq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落方法點(diǎn)撥本題可先進(jìn)行適當(dāng)放縮，m1時(shí)，exmex1，再兩次構(gòu)

14、造函數(shù)h(x)，p(x)對(duì)點(diǎn)演練t(2016合肥一模)已知函數(shù)f(x)exxlnx，g(x)extx2x，r，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)若g(x)f(x)對(duì)任意的x(0，)恒成立，求t的取值范圍解：(1)由f(x)exxlnx，知f(x)elnx1，則f(1)e1，而f(1)e，則所求切線方程為ye(e1)(x1)，即y(e1)x1(2)f(x)exxlnx，g(x)extx2x，tr，g(x)f(x)對(duì)任意的x(0，)恒成立等價(jià)于extx2xexxlnx0對(duì)任意的x(0，)恒成立，exxexxlnxx2exxexxlnxx2xexe

15、x2exxlnx12exx32ex令g(x)exexlnx，則g(x)ex2xexexxx1x21exx22exx0對(duì)任意的x(0，32(3)設(shè)g(x)xx，比較f(x)與g(x)的大小1a(2)因?yàn)閍，b1，)恒成立2exg(x)exexlnx在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，即當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，f(x)f(1)1，t1，即t的取值范圍是(，1強(qiáng)化訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f(x)x2ex1ax3bx2，已知x2和x1為f(x)的極值點(diǎn)(1)求a，b的值

16、；(2)討論f(x)的單調(diào)性；23解：(1)因?yàn)閒(x)ex1(2xx2)3ax22bxxex1(x2)x(3ax2b)，又x2和x1為f(x)的極值點(diǎn)，所以f(2)f(1)0，6a2b0，因此33a2b0，解得3，b1.13所以f(x)x(x2)(ex11)，令f(x)0，解得x12，x20，x31因?yàn)楫?dāng)x(，2)(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2,0)(1，)時(shí)，f(x)0(3)由(1)可知f(x)x2ex1x3x21x3x(2)求證：當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)2x(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)kx3對(duì)x(0,1)恒成立，求k的最大值3x(2)證明：令g(x)f(x)2x所以f(x)1，f(0

17、)2則g(x)f(x)2(1x2)所以f(x)在(2,0)和(1，)上是單調(diào)遞增的；在(，2)和(0,1)上是單調(diào)遞減的13故f(x)g(x)x2ex1x3x2(ex1x)，令h(x)ex1x，則h(x)ex11令h(x)0，得x1，因?yàn)楫?dāng)x(，1時(shí)，h(x)0，所以h(x)在(，1上單調(diào)遞減；故當(dāng)x(，1時(shí)，h(x)h(1)0；因?yàn)楫?dāng)x1，)時(shí)，h(x)0，所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增；故x1，)時(shí)，h(x)h(1)0所以對(duì)任意x(，)，恒有h(x)0；又x20，因此f(x)g(x)0故對(duì)任意x(，)，恒有f(x)g(x)1x2(2015北京高考)已知函數(shù)f(x)ln(1)求曲線yf(x)

18、在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；3；x3解：(1)因?yàn)閒(x)ln(1x)ln(1x)(1x1)，11x1xqq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落又因?yàn)閒(0)0，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y2x3，2x41x2因?yàn)間(x)0(0x1)，3x即當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)2x3x(3)由(2)知，當(dāng)k2時(shí)，f(x)kx3x當(dāng)k2時(shí)，令h(x)f(x)kx因此h(x)在區(qū)間0，3x即f(x)kx3x所以當(dāng)k2時(shí)，f(x)kx則h(x)f(x)k(1x)24k2所以g(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增所以g(x)g(0)0，x(0,1)，33對(duì)x(0,1)恒成立3

19、，kx4k21x24k2所以當(dāng)0xk時(shí)，h(x)0，上單調(diào)遞減k4k2故當(dāng)0xk時(shí)，h(x)h(0)0，3qq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落3并非對(duì)x(0,1)恒成立綜上可知，k的最大值為23(2016廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)mexlnx1(1)當(dāng)m1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程；(2)當(dāng)m1時(shí)，證明：f(x)1解：(1)當(dāng)m1時(shí)，f(x)exlnx1，1所以f(x)exx所以f(1)e1，f(1)e1f所以曲線yf(x)在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程為y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x(2)證明：當(dāng)m1時(shí)，f(x)mexlnx1exlnx1

20、(x0)因?yàn)間2e220，g(1)e10，要證明f(x)1，只需證明exlnx201設(shè)g(x)exlnx2，則g(x)exx11設(shè)h(x)exx，則h(x)exx20，1所以函數(shù)h(x)g(x)exx在(0，)上單調(diào)遞增11在(0，)上有唯一零點(diǎn)x0，且x02，1所以函數(shù)g(x)ex11x因?yàn)間(x0)0，所以ex0x，即lnx0x0故g(x)g(x0)ex0lnx02xx0204(2017石家莊質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)axex(x0)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1x2)，設(shè)tx，證明：x1x2隨著t的增大而解：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex(x0)，10當(dāng)x(0，x

21、0)時(shí)，g(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，g(x)0所以當(dāng)xx0時(shí)，g(x)取得最小值g(x0)10綜上可知，當(dāng)m1時(shí)，f(x)1qq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落x2數(shù)(1)當(dāng)a0時(shí)，判斷函數(shù)yf(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；x21增大x2xx2f(x)2xexx2ex2exex，令f(x)0，得x2，當(dāng)x(0,2)時(shí)，f(x)0，yf(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)0，yf(x)單調(diào)遞增，所以x2是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)，即函數(shù)yf(x)有一個(gè)極值點(diǎn)(2)證明：令f(x)axex0，得x2aex，所以x11aex1，x2aex2，可得2lnx1lnax1，x2tx1，又

22、xt，則t1，且3x2x1lnt，222tlntx23因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1x2)，3332232lnx2lnax2333x2故x2x12lnx22lnx12lnx1x2133lntt1t1解得x1，x2t13所以x1x22t1lnt令h(x)x1lnxx1，x(1，)，則h(x)12lnxxxx121x1令u(x)2lnxxx，得u(x)x2當(dāng)x(1，)時(shí)，u(x)0因此，u(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故對(duì)于任意的x(1，)，u(x)u(1)0，由此可得h(x)0，故h(x)在(1，)上單調(diào)遞增因此，由可得x1x2隨著t的增大而增大第二部分利用導(dǎo)數(shù)探究含參數(shù)函數(shù)的性質(zhì)技法一：利用

23、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性典例已知函數(shù)g(x)lnxax2bx，函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1)處的切解(1)依題意得g(x)x2axb(x0)線平行于x軸(1)確定a與b的關(guān)系；(2)若a0，試討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性1由函數(shù)g(x)的圖象在點(diǎn)(1，g(1)處的切線平行于x軸得：g(1)12ab0，b2a1(2)由(1)得x2ax1g(x)2ax22a1x1x1x函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?0，)，x1當(dāng)a0時(shí)，g(x)x由g(x)0，得0x1，由g(x)0，得x1，1當(dāng)a0時(shí)，令g(x)0，得x1或x2a，11若2a1，即a2，1由g(x)0，得x1或0x2a，1由g(x)0，得2ax1；11若

24、2a1，即0a2，1由g(x)0，得x2a或0x1，1由g(x)0，得1x2a，11若2a1，即a2在(0，)上恒有g(shù)(x)0綜上可得：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；1當(dāng)0a2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在1，2a上單調(diào)遞減，在2a，上單調(diào)遞增；當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)g(x)在0，2a上單調(diào)遞增，在2a，1上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增(3)本題(2)求解應(yīng)先分a0或a0兩種情況，再比較2a和1的大小111當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，111方法點(diǎn)撥(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論(2)劃分函數(shù)的

25、單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)1對(duì)點(diǎn)演練(2016太原一模)已知函數(shù)f(x)xalnx(ar)(1)當(dāng)a2時(shí)，求曲線yf(x)在x1處的切線方程；1a(2)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)x，求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)x2lnx，f(1)1，即切點(diǎn)為(1,1)，2f(x)1x，f(1)121，曲線yf(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y1(x1)，即xy201a(2)由題意知，h(x)xalnxx(x0)，a1ax2ax1a則h(x)1xx2x2x1xx21a，當(dāng)a10，即a1時(shí)，令h(x)0，x0，x1a，令h(x)0，x0，0x1a典例

26、設(shè)a0，函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1lnx)解(1)由已知，得f(x)x(a1)x(x0)，當(dāng)a10，即a1時(shí)，h(x)0恒成立，綜上，當(dāng)a1時(shí)，h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，a1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(a1，)；當(dāng)a1時(shí)，h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間技法二：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值12(1)若曲線yf(x)在(2，f(2)處的切線與直線yx1垂直，求切線方程(2)求函數(shù)f(x)的極值a又由題意可知yf(x)在(2，f(2)處切線的斜率為1，所以f(2)1，a即2(a1)21，解得a0，此時(shí)f(2)220，故所求的切線方程為yx2(2)f(x)x(a1)ax2a1xxxax1

27、xxa(x0)當(dāng)0a1時(shí)，若x(0，a)，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(a,1)，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(1，)，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)xa是f(x)的極大值點(diǎn)，x1是f(x)的極小值點(diǎn)，1函數(shù)f(x)的極大值是f(a)2a2alna，1極小值是f(1)2當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1x20，所以函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，f(1)，極小值是f(a)a2alna當(dāng)a0，x0，2a時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)，故無(wú)極值當(dāng)a1時(shí)，若x(0,1)，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(1，a)，則f(x)0，函數(shù)f

28、(x)單調(diào)遞減；若x(a，)，則f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)x1是f(x)的極大值點(diǎn)，xa是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是11221綜上，當(dāng)0a1時(shí)，f(x)的極大值是2a2alna，1極小值是2；當(dāng)a1時(shí)，f(x)沒(méi)有極值；11當(dāng)a1時(shí)f(x)的極大值是2，極小值是2a2alna方法點(diǎn)撥對(duì)于解析式中含有參數(shù)的函數(shù)求極值，有時(shí)需要分類討論后解決問(wèn)題討論的思路主要有：(1)參數(shù)是否影響f(x)零點(diǎn)的存在；qq群545423319微信公眾號(hào)：中學(xué)數(shù)學(xué)研討部落(2)參數(shù)是否影響f(x)不同零點(diǎn)(或零點(diǎn)與函數(shù)定義域中的間斷點(diǎn))的大?。?3)參數(shù)是否影響f(x)在零點(diǎn)左右的符號(hào)(如果

29、有影響，需要分類討論)對(duì)點(diǎn)演練(2016山東高考)設(shè)f(x)xlnxax2(2a1)x，ar(1)令g(x)f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由f(x)lnx2ax2a，可得g(x)lnx2ax2a，x(0，)112ax所以g(x)x2ax當(dāng)a0，x(0，)時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；1x2a，時(shí)，g(x)0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，2a，單調(diào)減區(qū)間為2a，0，由(1)知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，2a可得當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x1，2a時(shí)，f(x)0所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減

30、，在1，2a內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)x2a，1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為2，1所以當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)；11(2)由(1)知，f(1)0當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意11當(dāng)0a2時(shí)，2a1，111所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意11當(dāng)a2時(shí)，2a1，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意11當(dāng)a2時(shí)，02a1，1當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)

31、0，f(x)單調(diào)遞減所以f(x)在x1處取極大值，符合題意1技法三：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值典例已知函數(shù)f(x)lnxax(ar)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值單調(diào)遞減區(qū)間為a，(2)當(dāng)a1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值當(dāng)a2，即0a2時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值當(dāng)1a2，即2a1時(shí)，函數(shù)f(x)在1，a上是增函數(shù)，在a，2上是故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，a，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，a，單調(diào)遞減區(qū)間為a，1解(1)由題意，f(x)xa(x0)，1當(dāng)a0時(shí)

32、，f(x)xa0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)11當(dāng)a0時(shí)，令f(x)xa0，可得xa，11ax當(dāng)0xa時(shí)，f(x)x0；11ax當(dāng)xa時(shí)，f(x)x0，11綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；111是f(2)ln22a11是f(1)a1111減函數(shù)又f(2)f(1)ln2a，1所以當(dāng)2aln2時(shí)，最小值是f(1)a；當(dāng)ln2a1時(shí)，最小值為f(2)ln22a綜上可知，當(dāng)0aln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a；當(dāng)aln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是ln22a方法點(diǎn)撥(1)在閉區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)一定存在最大值和最小值，在不是閉區(qū)間的情況下，函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的最大值

33、和最小值可能都存在，也可能只存在一個(gè)，或既無(wú)最大值也無(wú)最小值；(2)在一個(gè)區(qū)間上，如果函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)對(duì)點(diǎn)演練1若函數(shù)f(x)x(a0)在1，)上的最大值為3，則a的值為(x2a3)a33b3x2a2c31解析：選df(x)x2a2x2d31ax2x2a2若a1，即0a1時(shí)，在1，)上f(x)0，f(x)maxf(1)31af(x)maxf(a)a2a3令f(x)0，得xa或xa(舍去)，13解得a31，符合題意若a1，即a1時(shí)，在1，a)上f(x)0，在(a，)上f(x)0，所以3，3解得a41，不符合題意，綜上知，a312已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)(x2ax3)ex(a為實(shí)數(shù))(1)當(dāng)a5時(shí)，求函數(shù)yg(x)在x1處