2020-2021學(xué)年數(shù)學(xué)新教材蘇教版必修第一冊教學(xué)案：第7章 7.3.1　三角函數(shù)的周期性 Word版含解析

1、7.3.1三角函數(shù)的周期性學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1理解周期函數(shù)的定義(難點(diǎn))2知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最小正周期(重點(diǎn))3會求函數(shù)yasin(x)和yacos(x)以及yatan(x)的周期(重點(diǎn))通過學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng)觀察下列圖象，這些圖象具有怎樣的共同規(guī)律？1周期函數(shù)的定義(1)設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閍，如果存在一個非零的常數(shù)t，使得對于任意的xa，都有xta，并且f(xt)f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)t叫作這個函數(shù)的周期(2)對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么，這個最小的正數(shù)就叫作f(x)

2、的最小正周期(今后不加特殊說明，一般都是指函數(shù)的最小正周期)(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2k(kz且k0)都是它們的周期，它們的最小正周期都是2思考1：單擺運(yùn)動、時鐘的圓周運(yùn)動、四季變化等，都具有周期性變化的規(guī)律，對于正弦、余弦函數(shù)是否也具有周期性？請說明你的理由提示由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正弦、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象每當(dāng)角增加(或減少)2，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正弦、余弦函數(shù)值也分別相同即有sin(2x)sin x故正弦函數(shù)、余弦函數(shù)也具有周期性思考2：所有的周期函數(shù)都有最小正周期嗎？提示并不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，譬如，常數(shù)函數(shù)f(x)c，任

3、一個正實(shí)數(shù)都是它的周期，因而不存在最小正周期2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的周期一般地，函數(shù)yasin(x)及yacos(x)(其中a，為常數(shù)，且a0，0)的周期t函數(shù)yatan(x) (其中a，為常數(shù)，且a0，0)的周期為思考3：6是函數(shù)ysin x(xr)的一個周期嗎？提示是1思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)周期函數(shù)都一定有最小正周期()(2)周期函數(shù)的周期只有唯一一個()(3)周期函數(shù)的周期可以有無數(shù)多個()答案(1)(2)(3)2函數(shù)ysin的周期是_2t23函數(shù)f(x)2cos的周期是_t求三角函數(shù)的周期【例1】求下列函數(shù)的最小正周期(1)f(x)2sin；(2)f(x)

4、2tan；(3)y|sin x|；(4)f(x)2cos(a0)思路點(diǎn)撥利用周期函數(shù)的定義或直接利用周期公式求解解(1)t6，最小正周期為6(2)t，最小正周期為(3)由ysin x的周期為2，可猜想y|sin x|的周期應(yīng)為驗(yàn)證：|sin(x)|sin x|sin x|，由周期函數(shù)的定義知y|sin x|的最小正周期是(4)t，最小正周期為利用公式求yasin(x)或yacos(x)的最小正周期時，要注意的正負(fù)，公式可記為t.1已知f(x)cos的最小正周期為，則_10由題意可知，所以10周期性的應(yīng)用探究問題1若函數(shù)f(x)滿足f(xa)(f(x)0，a0)，則f(x)是否是周期函數(shù)？若是，

5、求其最小正周期提示f(x2a)f(xa)af(x)，t2a，即f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為2a2若f(x)滿足f(xa)f(x)(a0)，則f(x)是周期函數(shù)嗎？若是，求其最小正周期提示f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)是周期函數(shù)，且最小正周期為2a【例2】定義在r上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x時，f(x)sin x，求f的值思路點(diǎn)撥解f(x)的最小正周期是，fff又f(x)是r上的偶函數(shù)，ffsin，f1(變條件)將本例中的條件“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，其余不變，求f的值解f(x)的最小正周期為，fff，f(x)是r上

6、的奇函數(shù)，ffsin ，f2(變結(jié)論)本例條件不變，求f的值解f(x)的最小正周期為，fff，f(x)是r上的偶函數(shù)，ffsin f函數(shù)的周期性與其它性質(zhì)相結(jié)合是一類熱點(diǎn)問題，一般在條件中，周期性起到變量值轉(zhuǎn)化作用，也就是將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知求解.2若函數(shù)f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，且f(3)6，則f(1)f(6)_6因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，且f(3)f(1) f(1)6，則f(1) 6因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是以4為周期的奇函數(shù)，所以f(2)f(2)，f(2)f(2)，所以f(2)f(2)0，所以f(6) f(2)0，即f(1)f(6)61本節(jié)課重點(diǎn)是理解三角函數(shù)的周期性，難點(diǎn)是求正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期2本節(jié)課重點(diǎn)掌握求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法，即利用周期函數(shù)的定義求解(2)公式法，對形如yasin(x)或yacos(x)(a，是常數(shù)，a0，0)的函數(shù)，t(3)觀察法，即通過觀察函數(shù)圖象求其周期三種方法各有所長，要根據(jù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?函數(shù)y3sin的最小正周期為()abc d2ct2若函數(shù)ycos(0)的最小正周期是，則_2