兩次相遇行程問題地基本解法

1、標準兩次相遇行程問題的基本解法例 1 甲、乙兩車同時從 A 、B 兩地相向而行，在距 A 地 80 千米處相遇，相 遇后兩車繼續(xù)前進，甲車到達 B地、乙車到達 A 地后均立即按原路返回，第二 次在距 B地60 千米處相遇。求 A、B兩地間的路程。分析與解 根據(jù)題意可畫出下面的線段圖：由圖中可知，甲、乙兩車從同時出發(fā)到第二次相遇， 共行駛了 3 個全程，第 一次相遇距 A 地 80 千米，說明行完一個全程時，甲行了 8O 千米。兩車同時出 發(fā)同時停止，共行了 3 個全程，說明兩車第二次相遇時甲共行了 83240（千 米），從圖中可以看出來甲車實際行了一個全程多 60 千米，所以 A 、B 兩地間

2、 的路程就是：24060180 （千米）例2甲、乙兩車同時從 A、B兩地相向而行，在距 A地 80 千米處相遇， 相遇后兩車繼續(xù)前進，甲車到達 B地、乙車到達 A 地后均立即按原路返回，第 二次在距 A 地 60 千米處相遇。求 A、B 兩地間的路程。分析與解根據(jù)題意可畫出線段圖：文案標準由圖中可知，甲、乙兩車從同時出發(fā)到第二次相遇， 共行駛了 3 個全程，第 一次相遇距 A 地 8O 千米， 說明行完一個全程時， 甲行了 8O 千米。兩車同時出 發(fā)同時停止，共行了 3 個全程。說明兩車第二次相遇時甲車共行了： 803 24 O（千米），從圖中可以看出來甲車實際行了兩個全程少60 千米，所以

3、A 、B兩地間的路程就是：（24O 6O ）2150 （千米）可見，解答兩次相遇的行程問題的關(guān)鍵就是抓住兩次相遇共行三個全程， 然 后再根據(jù)題意抓住第一次相遇點與三個全程的關(guān)系即可解答出來。尋找最佳的解題方法有些題目， 如果從不同的角度去分析， 就會得到不同的解題方法， 也就是說從多 個角度去想就會有多種解法。 這樣做可以使思維更開闊， 也能從中找到最佳的解 題方法。下面的題目就可以用三種方法來解。例 某建筑工地，第一天用 6 輛汽車運沙子，共運 96 噸，第二天用同樣的 汽車 12 輛運沙子，第二天比第一天多運多少噸？解法一：先求一輛汽車一天運沙子的噸數(shù)，再求 12 輛汽車一天運沙子的噸 數(shù)

4、，減去第一天運的噸數(shù)，就得到第二天比第一天多運的噸數(shù)。6612 9696（噸）解法二：先求出 12 輛是 6 輛的多少倍，再求 12 輛汽車每天運的噸數(shù)，最 后減去 6 輛汽車每天運的噸數(shù)。文案標準96 （12 6） 96 96 （噸）解法三： 先求一輛汽車一天運的噸數(shù)， 再求第二天比第一天多幾輛車， 這多 的幾輛所運的沙子就是第二天比第一天多運的。966（126）96（噸）答：第二天比第一天多運 48 噸。你認為哪種算法最好？我們來看一道題，它可以有五種解法，甚至更多，看完后，請你想一想還有 沒有別的解法？例 某飯店買回一桶豆油，連桶稱共有 210 千克，用去一半后，連桶稱還有120 千克，

5、油桶重多少千克？解法一：把 120 千克擴大 2 倍，得到一桶豆油的重量和兩只桶重，從中去掉 210 千克（這是一桶豆油與一只桶的重量和），即得桶重。120 2210 30（千克）解法二：先求出半桶豆油的重量， 再從 120 千克中去掉這半桶豆油的重量， 也可得桶重。120 （ 210 120 ） 30 （千克）解法三：先求出兩只桶和兩桶油的重量，再求出兩只油桶和一桶油的重量， 這樣可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。210 （ 210 2 120 2 ） 30 （千克）解法四：基本上與解法三相同，也可以說是它的簡便算法， 但算理稍有不同文案標準210 （ 210 120 ）2 30 （千克）

6、 解法五：先求出半只桶重，再求出整個油桶的重量。（120 210 2 ）2 30 （千克） 答：油桶重 30 千克。我們再來看一道題：師傅要加工 3080 個零件，他用 4 天加工了 280 個零 件。照這樣計算，加工剩下的零件還需要多少天？解法一：先求每天加工多少個零件和還剩下多少個零件， 再求需要加工多少 天。（3080 280 ）（280 4）40 （天） 解法二：先求每天加工多少個零件， 再求加工這批零件一共需要多少天， 最 后求還需要加工多少天。3080 （280 4）440 （天）解法三：先求這批零件的總數(shù)是他 4 天加工零件的多少倍， 再求加工這批零 件一共需要多少天，最后求還需

7、要加工多少天。4（3080 280 ）440 （天）解法四：先求還要加工多少個零件， 然后求還加工的零件數(shù)是 4 天加工零件 數(shù)的多少倍，最后求還需要加工多少天。4（3080 280 ）28 40 （天） 答：加工剩下的零件還需要 40 天。文案標準一道思考題的三種解法題目是這樣的：選擇、中的運算符號，把下面各題連成算式，使它 們的得數(shù)分別等于 0 、1、2 、3、4、5、6、7、 8、9 。（1）2 2 2 2 2 0（2）2 2 2 2 2 1（3）2 2 2 2 2 2（4）2 2 2 2 2 3（5）2 2 2 2 2 4（6）2 2 2 2 2 5（7）2 2 2 2 2 6（8）2

8、 2 2 2 2 7（9）2 2 2 2 2 8（10 ）2 2 2 2 29下面向你介紹三種解這道題的方法， 希望你能受到啟發(fā)， 從而舉一反三， 學(xué) 會解更多的思考題。猜測法，也叫試驗法。它完全是靠邊猜測、 邊試驗的方式求解。 如（1）題， 先試 22 2220，后試 222220最后試得 22 222 0，成功了。猜到了一種答案，還可以繼續(xù)下去，以尋找第二、第三種答案。文案標準逆推法，就是從問題的要求或結(jié)果出發(fā)， 一步一步地進行逆向推理， 逐步靠 攏已知條件，把已知條件逐個用進去，直至求出問題的答案。如（ 2）題，因為 等號右邊的 1 比等號左邊的 2 小，所以只能在等號左邊第一個 2 前

9、面添上減號 或者除號。如添上減號，使原題變成 2 2 2 23。同理又因 32 ，故可在等號 左邊第二個 2 的前面添上加號， 使原題變成 2 2 21 。這時就很容易看出 22 21 了。綜合前兩步逆推，就得到 2222 21 的一種解法。如繼續(xù)作 其它逆推，還可得到第二、第三種解法。前面介紹的兩種方法你看懂了嗎？請不要著急， 慢慢地消化理解， 逐步加以 接受。下面請看第三種解法。湊數(shù)法，這是一種綜合運用知識的方法，它同樣要結(jié)合試驗才能順利進行。 如（ 3 ）題，可以讓等式左邊的 5 個 2 兩兩相減得 0，剩下的一個 2 當然就和等 式右邊的 2 相等了，即 222 22 2。從某種意義上

10、說， 它和猜測法有相同的地方， 那就是都要試驗， 但試驗的方 法是不同的，你能總結(jié)出它們的不同點嗎？怎么樣？這三種解法和你以前用過的方法一樣嗎？你還有更好的方法嗎？ 如果有，那真是太好了， 因為你現(xiàn)在的思路寬了， 解題的速度和正確率都會大大 提高的。好吧，看看你學(xué)習(xí)的效果怎樣，是不是真正能舉一反三。請做下面的題。選擇適當?shù)倪\算符號和括號，使下式成立。1）2 3 5 7 1 2 （2）2 3 5 7 14文案標準（3）2 3 5 7 1 6 （4）2 3 5 7 18找出等量關(guān)系解決復(fù)雜應(yīng)用題 同學(xué)們在解答較復(fù)雜的應(yīng)用題時， 往往不知從何下手。 如果根據(jù)條件找出相應(yīng)的 等量關(guān)系或能將其中的條件轉(zhuǎn)

11、化一下，那么問題就會迎刃而解了。題目 修一多公路，已修和未修長度的比是 1:3 ，再修 300 米后，已修和未 修長度的比是 1:2 。這條路長多少米？（九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第十二冊 思考題）分析與解解法一：這道題的條件是：再修 300 米后，已修和未修長度的比是 1: 2， 這里隱藏著一個等量關(guān)系， 如果抓住這個等量關(guān)系， 就可列方程解答。 設(shè)已修的 長度為 x 米，那么未修的長度為 3x 米。文案標準利用雙向思考解決奧數(shù)題早晨小明和爸爸、 媽媽一起跑步。 爸爸跑的路程比小明的 2 倍少 2O 米，比媽媽 的 2 倍多 10 米。小明和他媽媽誰跑的路程長些？（人教版九年義務(wù)教育五年制

12、小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊第 86 頁思考題）此題可以用三種方法來解。解法一：畫線段圖來解。由圖可見，小明比媽媽跑的路程長。解法二：用方程解。設(shè)小明跑了 100 米，爸爸跑的路程就是 100 220 180 （米），再設(shè)媽 媽跑了 x 米，列出方程： 2x10180 x85 （米）文案標準即媽媽跑了 80 米，可見小明比媽媽跑的路程長。解法三：設(shè)小明、爸爸、媽媽跑的路程分別為 x 米、y 米、 z米，根據(jù)題意 可以列出下面兩式，再做適當?shù)淖冃尉湍艿媒?。即：y2x20y2x20y2x10y2x10 （xz）即小明比媽媽跑的路程長。畫圖法解決奧數(shù)難題 一個山清水秀的村子里有三個好朋友： 小明、 小剛和小強，

13、他們常在一起合伙打 魚。一次，他們忙碌了大半天，打了一堆魚。實在太累了，就坐在河邊的柳樹下 休息，一會兒都睡著了。小明醒了想起家里有事，看小剛和小強睡得正香，沒有 吵醒他們。他把魚分成三份，自己拿一份走了。不一會兒小剛也醒了，要回家。 他也把魚分成三份，自己拿一份走了。太陽快落山了，小強才醒來。他想，小明 和小剛上哪去了？這么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把魚分成三份，自己 拿走一份。最后還剩下 8 條魚。第二天， 他們又合伙到河邊打魚， 才知道昨天分的魚不合理。 小明立即把剩 下的 8 條魚給小剛 3 條，小強 5 條。你能算出他們原來共打多少條魚嗎？這個問題直接從文字上分析有一定難度，

14、為了幫助我們理解題意， 啟發(fā)解題 思路，可以根據(jù)題意，畫出下面的線段圖。文案標準由于最后剩的 8條是小強分的三份中的兩份， 所以小強拿走的魚是 82條。 那么小剛拿走自己分的一份魚后剩下的魚是 82 3 條，這占小剛分的三份中的 兩份，所以小剛拿走的魚是（ 8 2 3）2；同樣可得知小明拿走的魚是（ 8 23）232 條。所以打的魚一共是 （823）2323 27（條）。當然，我們還可以從小強第一天拿走的魚是 8 一條和第二天又拿了 5 條知 道，每人平均拿了 825 條，所以打的魚一共是（ 825）327 （條）。小明、小剛和小強三個伙伴互相關(guān)心， 他們每個人無論有什么好事都忘不了 另外兩個

15、朋友。一次，小明從山里來了一筐山梨，他把小剛和小強找來，對他們說： “我把 這筐梨先分給你們一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半給了小剛， 然后又給小剛加了 1 個。接著，他又把剩下的給了小強一半， 也同樣給小強加了 1 個，最后剩下 5 個山梨，他自己留下了。你來算算，小明這一筐山梨共有多少個呢？可以按照上次的方法，先畫出下面的圖文案標準然后列出算式：（ 5l ）212621226 （個）答：筐里一共有 26 個山梨。你知道為什么可以用畫圖的方法來解題嗎？原來， 對于復(fù)雜的題目， 可以根 據(jù)題意畫一個直觀示意圖來幫助我們弄清題中的數(shù)量關(guān)系， 也就比較容易列出算 式、求出結(jié)果。逆向思維

16、的巧妙運用 逆向思維，是指將人們通常思考問題的思路反過來， 用對立的、 看上去似乎不可 能的辦法解決問題的思維方法。 利用這種思維方法， 可以巧妙地解決一些我們正 常思維所不能解決的問題。比如，我們在解下面的題目時，就可以應(yīng)用這種思維方法。小遠買 1角錢的郵票和 2 角錢的郵票共 100 ，一共花了 17 元錢。他買了 1 角和 2 角郵票各多少？解這一題目，假設(shè)買來的 100 都是 2 角郵票，那么總錢數(shù)應(yīng)為： 2100 2 00 （角） 20 （元）?？蓪嶋H上小遠只花了 17 元錢，比假設(shè)少 3 元錢，這是因為其中有 1 角錢的 郵票。若有一 1 角郵票，總錢數(shù)就相差 1 角。由此可求出

17、1 角郵票數(shù)為： 3 元30 角， 30130（）。文案標準2 角郵票數(shù)為： 100 30 70 （）。請你用這種方法算出下面的題目：三年級的 46 名同學(xué)去劃船，準備了可乘 6 人的船和可乘 4 人的船共 10 只， 如果所有的學(xué)生恰好分配在這 10 只船上而沒有剩余，那么大船和小船各幾只？利用周密的推理解決難題 解答奧數(shù)習(xí)題，除了演算之外，有些題需要進行周密的推理。在推理過程中，我 們要善于挖掘題中所隱含的條件， 把它作為推理的依據(jù)， 有次序地進行， 使前面 得出的結(jié)論，作為后面推理的依據(jù)，直到最終解決問題。有這樣的一道題： 甲、乙、丙三人進行一場田徑比賽， 比賽項目有： 100 米、 4

18、OO 米、 800 米、跳高、跳遠五項。已知每項第一、第二、第三名各得 5 分、 2 分、 l 分；乙 800 米賽跑得第一名。比賽結(jié)束后，每人的總分是：甲 22 分， 乙、丙各得 9 分。想想，這三人在五項比賽中各得到什么名次？由題中條件可知：乙 800 米賽跑得第一名，乙得 5 分；而甲總分是 22 ，只 有當他取得五項中的四項第一名、另一項為第二名時，才會得 22 分，很顯然， 甲只能是 800 米得第二名，其余四項均為第一名；由于參加比賽的只有三人， 每人每項至少能得第三名，拿 1 分；乙只有除 8OO 米外四項都得第三名，才會 獲得 9 分（5l1 1 1 ）；那么剩下的名次皆為丙的，即丙除 80