三次樣條插值的MATLAB實現(xiàn)

1、MATLAB程序設計期中考查 在許多問題中，通常根據(jù)實驗、觀測或經(jīng)驗得到的函數(shù)表或離散點上的信息， 去研究分析函數(shù)的有關特性。其中插值法是一種最基本的方法，以下給出最基本 的插值問題一一三次樣條插值的基本提法： 對插值區(qū)間a,b進行劃分：a Xo XiXn b，函數(shù)y f x在節(jié)點 Xi上的值 y f Xi i 0,1,2, n，并且如果函數(shù) S x在每個小區(qū)間 Xi,x上 是三次多項式，于a,b上有二階連續(xù)導數(shù)，則稱Sx是a,b上的三次樣條函數(shù)， 如果S x在節(jié)點Xi上還滿足條件 S Xiyii 0,1, n 則稱S x為三次樣條插值函數(shù)。 三次樣條插值問題提法：對 a, b上給定的數(shù)表如下

2、 X X0 X1 Xn y y。 y1 yn 求一個分段三次多項式函數(shù)S x滿足插值條件S Xi y i 0,1, n式，并在 插值區(qū)間a,b上有二階連續(xù)導數(shù)。這就需要推導三次樣條插值公式： 記f x在節(jié)點Xi處的值為f Xi mi (i 0,1, n )(這不是給定插值問題數(shù) 表中的已知值)。在每個小區(qū)間Xi ,Xi 1利用三次Hermite插值公式，得三次插值 公式： S x i x yi i 1 x yi 1 i Xj mji m 1， x Xi, Xi 1。為了得到這個公 式需要4n個條件： (1).非端點處的界點有2n個；(2).一階導數(shù)連續(xù)有n 1個條件；(3).二階導數(shù) 連續(xù)有n

3、 1個條件，其中邊界條件：。1 S X0 m S Xnm. Word資料 S xn x 4S Xo Xn 6S Xn Yn Xo Xn X00 Xn 0 其中: Xj 0, 1, xj0 i Xj 0 且(i,j 0,1)。 i Xj 0, 1, mi 為對應變量的一階導數(shù)。 其推導過程如下: 為了確定mi的值，把 展開為: Sx 2 . Xix Xi hi 2 Xi 1 x Yi h? Yi 1 這里hi 考慮S 2 Xi 1 X Xi 2 X xiX mi-廠 hi Xi 1 mi 1, Xi 1Xi 連續(xù)求兩次導，得: 6x 2xi 4Xi 1 hi2 mi 6x 4xi 2xi 1 h

4、i2 mi 在節(jié)點Xi處的右極限值，得: S xi 0 42 mimi hihi 6 hi2 同理, 在相鄰小區(qū)間 Xi 1, Xi上可得S 6x 2xi 1 hi12 6x 4xi 6 xi Yi i 及S x在節(jié)點Xi處的左極限值為: S xi 0 mi hi 1 mi hi 1 6 hi12 的連續(xù)性條件 S xi S xi xi 1 2x hYi1 Yi 。 x的表達式為: Yi yi 。于是 0，這里i 2xi6 xi 1 xi 2x mi Yi Yi 1 。利用S x二階導數(shù)于節(jié)點Xi處 n 1，有下式成立: 1 Word資料 1 2 hi 1 111 mimi hi 1hihi

5、3 yi 1 yiyiy 1 i 1322 hihi 1 ，用右 hi 1 除等式兩 hi 邊，并注意 yi yi 1 yi hi f Xi, Xi 1 ,上式可簡記為: i mi 1 2mi i 1,2 hi 1 gi 3 i f i f Xi , Xi i 最后求得m1 mn的線性方程組為： 210 0 0 1 g1 2 22 0 0 0 m2 g2 (*) 0 0 0 2 n 1n 1 mn 1 gn 1 n 00 0 n 2 mn gn Xi i, Xi i h i h 1 hi 且 i h i hi 通過以上復雜的求解和迭代, 就可以求解出插值函數(shù)的近似表達式 得出來的表 Word資

6、料 達式就可以用MATLAB軟件來求解。具體求解過程如下: 已知n對數(shù)據(jù)點X1,y1,X2, y2,X3, ya ,Xn,yn,，假設函數(shù)關系為 y f x，但解析式不確定，數(shù)據(jù)插值就是構造函數(shù)關系式y(tǒng) g x，使 Xi i 1,2,3, ,n，滿足關系 g Xif Xi。 例題：求滿足下面函數(shù)表所給出的插值條件的三次自然樣條函數(shù)。 X 1 2 4 5 y f x 1 3 4 2 分析：表中所列出的是函數(shù)對點，首先要把對應的插值函數(shù)求出來，再用 MATLAB軟件來求區(qū)間1,5上間隔為0.5的各點的值。 求解過程如下： 因自然樣條插值函數(shù)的邊界條件為 S Xo S Xn 0, 這里n 3，故確定

7、m,mi,m2,m3的方程組形式形如上面的(*)式，其中系數(shù)i, i 和gi可按如下步驟進行: hi : ho211, h14 2 h25 41; hi2 h2 i gi: 1 1 g1 g2 go g3 h0 h13 1 f X1,X2 h1 h2 1 f Xo,X1 3 2f X2,X32f X1,X2 3f Xo,X1 ho 7yo 6； 將上述參數(shù)帶入(*)式，得到以下方程組: 2 1 o o 2 1 mo 2 - o 3 3 m1 o 1 2 m2 2 - 33 m3 o o 1 2 解得： 3f X2,X3 h2 6. 6 9 2 7 2 6 177 m。其圖像如下 884 3.5 3 2.5 y 2 1.5 1 0.5 11.522.533.54 x 命令如下： x=1:4;y=(-1/8)*x43+(2/8)*x.A2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4; y1=i nterp1(x,y,xi,spli