南京郵電大學(xué)2013-2014第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)A下期末自測試題及答案詳解

1、 20南京郵電大學(xué) 2013-2014 學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)（a 下）自測模擬試題及詳細(xì)答案 1 1極限 lim 1 +x x y 22 x 2x +y=e 22設(shè) z =j(x2+y )+xy，其中 j 具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，2z則 =2xxyj( x2+y ) +xy -1(y ln x +1)p3 曲面 z =arctan( xy ) 在點(diǎn) p (1,1, ) 處的法線方程為4x -112=y -112=z -p4-14 函數(shù) f ( x , y, z ) =z -e 2 +2 xy +1 在點(diǎn)（2,1,0）處的方向?qū)?shù)的最大值為 2 5 x =-u +v +z u z5 設(shè) 確定 u=u

2、(x,y,z),v=(x,y,z), 則 =- y =u +vz x 1 +2 zu ( x -1)2 n6冪函數(shù) 的收斂區(qū)域是9nn =1( -2,4)-x, -1x 07設(shè) f ( x ) =1 -x 2,0 0) 所12圍成的空間封閉圖形。求（1）v 的體積；（2）v 的表面積 解：v 的體積 =0dzdxdy +2 aadz5dxdy = p6a3x +y azx +y (2 a -z)2利用 ds = 1 +(z z) 2 +( ) 2 dxdy ， x yv 的表面積 =1aa 2 +4 x 2 +4 y 2 dxdy +2dxdy =pa26 2 +5 5 -16。x2+y2a2

3、x2+y2a2五 （ 8 分 ） 確 定 參 數(shù) l的 值 ， 使 得 在 不 經(jīng) 過 直 線 y=0 的 區(qū) 域 上 ， 曲 面 積 分i =lx( x 2 +y 2 ) l x 2 ( x 2 +y 2 ) ldx -y y 2dy 與路徑無關(guān)，并求當(dāng) l 為從 a（1,1）到 b(0,2)時 i的值2 / 4-102+解：因?yàn)榍娣e分 i =lx( x2+y 2 ) l x 2 ( x 2 +y dx -y y 22)ldy 與路徑無關(guān)，則p q=y x1 解得 l=- ，2i =(0,2)(1,1)x ( x2 +y 2 ) y-12dy -x 2 ( x 2 +y 2 ) y 2-1

4、2dy取路徑（1,1）（0,1）?（0, 2）， i =x( x 2 +1) 2 dx -0dy =1 - 2 。1 1六（10 分）求函數(shù) z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在由直線 x+y=6、x 軸和 y 軸所圍成的閉區(qū)域 d 上的最大值和最小值解：由 f =0, f =0 ，得區(qū)域 d 內(nèi)的駐點(diǎn)（2,1）。x y比較區(qū)域 d 邊界的駐點(diǎn)，得：最大值為駐點(diǎn)（2,1）上的值 4，最小值為區(qū)域邊界 x+y=6 上的駐點(diǎn)值 f(4,2)= -64七（8 分）計(jì)算 y2dydz +z2dzdx +x2dxdy ，其中 s 為旋轉(zhuǎn)拋物面 z=x2+y2被平面 z=1所截得部分的外側(cè)解：加輔助面，用高斯公式y(tǒng)2dydz +z2dzdx +x2dxdy -y2dydz +z2dzdx +x2dxdy 1 1=0dv-y2dydz+z2dzdx+x2dxdy w 1=-dxyx2dxdy =-p4八（8 分）已知函數(shù) y=y(x)滿足微分方程 y =x +y ，且 y(0)=1，證明 1 1 y( ) -1-n nn =1絕對收斂解：由 y ( x ) =y (0) +y (0)( x -0) +y (0)(x -0)2!2+o( x ) 2 ，1 1 y (0) 1 1 1 1 1 y ( ) =y (0) +y (0) + +o( ) =1