《彈性力學》試題參備考資料答案解析與彈性力學深刻復(fù)知識題

1、彈性力學復(fù)習資料一、簡答題1 試寫出彈性力學平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān)系？在應(yīng)用這些方程時，應(yīng)注意些什么問題？答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個微分方程中包含著三個未知函數(shù)ox、砒、Txy= iyx ，因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意當物體的位移分量完全確 定時，形變量即完全確定。反之，當形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面應(yīng)力問題和平面

2、應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。2 按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為那幾類邊界問題？試作簡要說明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標的已知函數(shù)。應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點都是坐標的已知函數(shù)。混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件；另一部分邊界則具有應(yīng)力邊界條件。3 彈性體任意一點的應(yīng)力狀態(tài)由幾個應(yīng)力分量決定？試將它們寫出。如何確定它們的正負號？答：彈性體任意一點的應(yīng)力狀態(tài)由6個應(yīng)力分量決

3、定，它們是：x、 y、z、xy、 yz、 zx。正面上的應(yīng)力以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。負面上的應(yīng)力以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方 向為負。4 在推導(dǎo)彈性力學基本方程時，采用了那些基本假定？什么是“理想彈性體”？試舉例說明。答：答：在推導(dǎo)彈性力學基本方程時，采用了以下基本假定：（1）假定物體是連續(xù)的。（2）假定物體是完全彈性的。（3）假定物體是均勻的。（4）假定物體是各向同性的。（5）假定位移和變形是微小的。符合（1 ） （ 4 ）條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可近似視為“理想彈性體”。5 .什么叫平面應(yīng)力問題？什么叫平面應(yīng)變問題？各舉一個工程中

4、的實例。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類。平面應(yīng)變問題是指很長的柱型體，它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面而且也不沿長度變化，即內(nèi)在因素和外來作用都不沿長度而變化。6在彈性力學里分析問題，要從幾方面考慮？各方面反映的是那些變量間的關(guān)系？答：在彈性力學利分析問題，要從3方面來考慮：靜力學方面、幾何學方面、物理學方面。平面問題的靜力學方面主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的關(guān)系也就是平面問題的平衡微分方程。平面問題的幾何

5、學方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學方面主要反映的是形變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的物理方程。7 按照邊界條件的不同，彈性力學平面問題分為那幾類？試作簡要說明答：按照邊界條件的不同，彈性力學平面問題可分為兩類：(1 )平面應(yīng)力問題 ：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類問題可以簡化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在x、y、 xyyx三個應(yīng)力分量。(2 )平面應(yīng)變問題 ：很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，而且體力也平行于橫截面

6、且不沿長度變化。這一類問題可以簡化為平面應(yīng)變問題。例如擋土墻和重力壩的受力分析。該種問題xz zx 0； yz zy 0而一般 z并不等于零。8 什么是圣維南原理？其在彈性力學的問題求解中有什么實際意義？圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力(主矢量相同，對于同一點的主矩也相同)，那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠處所受的影響可以不計.彈性力學的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達明確的情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解。9 什么是平面應(yīng)力問題？其受力特點如何，試舉例予以說明。答：平面應(yīng)力

7、問題 是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，這一類問題可以簡化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在x、 y、 xyyx三個應(yīng)力分量。10 什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來表示,把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題?；静罘止饺缦拢篺f1 f3x02h2ff1 f32f02 2x0hff2 f4y02h2ff2 f42f。2.2y0h、計算題1 已知過點的應(yīng)力分量15Mpa y 25Mpa, xy 20Mpa。求過 P 點，0

8、lcos30 、 mcos600斜面上的Xn、解：Xnx m xy cos30 15cos60020 22.99MpaYny l xy cos60 25cos3O0 20 29.82MpaI2x m2 y 2lm xycos2 30015 cos2 600252 cos300 cos600 2034.82Mpa2 2lm( y x) (l m )cos300 cos600 (25 15) (cos2 300 cos2 600 ) 2014.33Mpaxy2 .在物體內(nèi)的任一點取一六面體，x、y、z方向的尺寸分別為 dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明:yzyyzxyXCdzz dzy11xxzxy

9、yx；xzdxx-Y*1y“ |* 2)自然成立。3 1h2y)(6)1 -2 、 qo ihy) qox（1 ）梁左端的邊界（x = 0 ）:xdyxyxdy 0代入后可見：自然滿足。（2 ）梁右端的邊界（x =l )：h2h2idy2qxlh3dyih2h2xy垮 3qx2h2lh3 (yh2)dylqih2h2i ydyh2h22qx3dy2ql333lhql2可見，所有邊界條件均滿足。檢驗應(yīng)力分量Xy xy Jy是否滿足應(yīng)力相容方程:常體力下的應(yīng)力相容方程為將應(yīng)力分量2( xy)2-)(xyy)xi xy)代入應(yīng)力相容方程,y)罟xy，lhy)車ylh3y)2(顯然，應(yīng)力分量x, xy

10、, y不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6 ）并不是該該問題的正確解。3 . 一端固定，另一端彈性支承的梁， 其跨度為I，抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷 q作用，如圖所示。試：（1）構(gòu)造兩種形式（多項式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)w（x）；（2 ）用最小勢能原理或 Ritz法求其多項式形式的撓度近似解（取 1項待定系數(shù)）。（13 分）w(x) x2(A1A2xA3X2)n2m x、w(x)Am (1cosl )m1l此時有:w(x)x2(AA2xAjX2)0 0x 0w (x)2x( A A2xA3X2)x2(A2A3Xn2m x、w(x)Am(1 COS1 /0m 1lx 0n 一l2mxw (x)Amsin0m 1 2mlx 0解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為即滿足梁的端部邊界條件。多項式函數(shù)形式三角函數(shù)形式梁的總勢能為iEIod 2wdx2dxoqw(x)dxk w(l) 222?。簑( x) AiX，有d 2w dx22Ai ,2w(l)AJ代入總勢能計算式，有I20EI(2Ai)2dx1212 2o qx Adxk(A* )22EIlA1qAi ,3由n 0，有4EIlAi Z 卽 0ql3(4EII kl4)代入梁的撓度試函數(shù)表達式，得一次近似解為w(x)X23(4EIIkl4)4.已知受力物體內(nèi)某一點的