立體幾何中的實際應(yīng)用問題

1、3立體幾何中的實際應(yīng)用問題【例】現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，如圖，上部分的形狀是正 四棱錐 pa b c d ，下部分的形狀是正四棱柱 abcda b c d ，并要求正四棱柱1 1 1 1 1 1 1 1的高 o o 是正四棱錐的高 po 的四倍 .1 1(1)若 ab6 m，po 2 m，則倉庫的容積是多少？1(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為 6 m，則當 po 為多少時，倉庫的容積最大？1解 (1) 容積為下部正四棱柱的容積與上部正四棱錐的容積的和，則v 16242 623 126224 312(m 3).(2)設(shè) po x m.1則 a o 62x2 (0x6)，a b 2（62

2、x2）. 1 1 1 1v2(36 x21)4x 2(36x2 3)x 1 262(36x2 )x4 (x336x)， 3 3v26x2122626(x212)，令 v0，得 x2 3.當 0x0， v 是單調(diào)增函數(shù)；當 2 3 x6 時，v3) 千元.設(shè)該容器的建造費用為 y 千元.(1)求 y 關(guān)于 r 的函數(shù)解析式，并求該函數(shù)的定義域； (2)求該容器的建造費用最小時半徑 r 的值.解(1)因為容器的體積為803 m3，4 80 80 4 420 所以 r3r2 l ，解得 l r r，3 3 由于 l2r，所以 03，所以 c20，當 r320c2時，即 y0，令320c2m，則 m0

3、，所以 y8（c2）r2(rm)(r2mrm2).9當 0m 時，當 rm 時，y0；2當 r(0，m)時，y0，所以當 rm 時，函數(shù) y 取得極小值，也是最小值.9當 m2，即 3c 時，2當 r(0，2)時，y0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以 r2 時函數(shù) y 取得最小值 .9 9綜上，當 3 時，建造費用最小時 r2 2320c2.【訓(xùn)練 2】如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為 32 cm，容器的底面對角線 ac 的長為 10 7 cm，容器的兩底面對角 線 eg，e g 的長分別為 14 cm 和 62 cm. 分別在容器和容器中注入水，水深1 1均為 12 cm.

4、現(xiàn)有一根玻璃棒 l，其長度為 40 cm.( 容器厚度、玻璃棒粗細均忽略 不計).(1)將 l 放在容器中， l 的一端置于點 a 處，另一端置于側(cè)棱 cc 上，求 l 沒入1水中部分的長度；(2)將 l 放在容器中， l 的一端置于點 e 處，另一端置于側(cè)棱 gg 上，求 l 沒入1水中部分的長度 .解 (1)由正棱柱的定義，cc 平面 abcd，1所以平面 a acc 平面 abcd，cc ac.1 1 1記玻璃棒的另一端落在 cc 上點 m 處.因為 ac10 7，am40 ，11 116.211 ，所以 mc 402（10 7）230，3從而 sinmac .記 am 與水面的交點為

5、p ，4 1過 p 作 p q ac，q 為垂足，1 1 1 1則 p q 平面 abcd，故 p q 12，1 1 1 1從而 ap 1p qsinmac答：玻璃棒 l 沒入水中的部分的長度為 16 cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為 24 cm) (2)如圖，o，o 是正棱臺的兩底面中心.1由正棱臺的定義，oo 平面 efgh，所以平面 e egg 平面 efgh，o oeg.1 1 1 1同理，平面 e egg 平面 e f g h ，o oe g .1 1 1 1 1 1 1 1 1記玻璃棒的另一端落在 gg 上點 n 處.1過 g 作 gke g ，k 為

6、垂足，則 gkoo 32.1 1 1因為 eg14，e g 62，1 1所以 kg 16214224，從而 gg kg21 1gk2 24232240.設(shè)egg ，eng，1 4則 sin sin kgg coskgg . 5因為 3 ，所以 cos .2 5在eng 中，由正弦定理可得40 14sin sin 52 27解得 sin .25因為 0 24，所以 cos . 2 25于是 sinnegsin( )sin()4 24 3 7 3sin cos cos sin .5 25 25 5記 en 與水面的交點為 p ，過 p 作 p q eg，q 為垂足，則 p q 平面 efgh，2 2 2 2 2 2