平面直角坐標系和應用

1、平面直角坐標系（基礎）知識講解【學習目標】1. 理解平面直角坐標系概念，能正確畫出平面直角坐標系 .2. 能在平面直角坐標系中 , 根據(jù)坐標確定點 , 以及由點求出坐標，掌握點的坐標的特征 .3. 由數(shù)軸到平面直角坐標系 , 滲透類比的數(shù)學思想 .【要點梳理】 要點一、有序數(shù)對 定義： 把有順序的兩個數(shù) a 與 b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作 （a，b） 要點詮釋：有序，即兩個數(shù)的位置不能隨意交換， （a，b）與（b，a） 順序不同，含義就不同，如電影 院的座位是 6排 7號，可以寫成 （6 ，7）的形式，而 （7 ， 6）則表示 7排 6號 要點二、平面直角坐標系與點的坐標的概念1. 平面

2、直角坐標系在平面畫兩條互相垂直、 原點重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標系 . 水平的數(shù)軸稱為 x 軸或 橫軸， 習慣上取向右為正方向； 豎直的數(shù)軸稱為 y 軸或縱軸， 取向上方向為正方向，兩坐標 軸的交點為平面直角坐標系的原點 （ 如圖 1）.要點詮釋： 平面直角坐標系是由兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成的 .2. 點的坐標平面任意一點 P，過點 P 分別向 x 軸、 y 軸作垂線，垂足在 x 軸、 y 軸上對應的數(shù) a， b 分別叫做點 P 的橫坐標、縱坐標，有序數(shù)對（ a,b ）叫做點 P 的坐標，記作 :P（a,b） ，如圖 2.隔開要點詮釋：（1）表示點的坐標時，約定橫坐標寫在前，縱坐標

3、寫在后，中間用2）點 P（a，b）中， |a| 表示點到 y軸的距離； |b| 表示點到 x軸的距離 .（3） 對于坐標平面任意一點都有唯一的一對有序數(shù)對（x ，y）和它對應 , 反過來對于任意一對有序數(shù)對， 在坐標平面都有唯一的一點與它對應， 也就是說， 坐標平面的點與有序數(shù)對是 一對應的要點三、坐標平面1. 象限 建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分成如圖所示的、 四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下圖要點詮釋：（1）坐標軸 x 軸與 y 軸上的點 （包括原點 ） 不屬于任何象限（2）按方位來說：第一象限在坐標平面的右上方，第二象限在左上方， 第三象

4、限在左下方，第四象限在右下方 .2. 坐標平面的結(jié)構(gòu)坐標平面的點可以劃分為六個區(qū)域： x 軸， y 軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四 象限 . 這六個區(qū)域中，除了 x 軸與 y 軸有一個公共點（原點） 外，其他區(qū)域之間均沒有公共 點.要點四、點坐標的特征1. 各個象限和坐標軸上點的坐標符號規(guī)律要點詮釋：（ 1）對于坐標平面任意一個點，不在這四個象限，就在坐標軸上.（2）坐標軸上點的坐標特征： x 軸上的點的縱坐標為 0；y 軸上的點的橫坐標為 0（3）根據(jù)點的坐標的符號情況可以判斷點在坐標平面上的大概位置；反之，根據(jù)點在坐標 平面上的位置也可以判斷點的坐標的符號情況2. 象限的角平分線上

5、點坐標的特征 第一、三象限角平分線上點的橫、縱坐標相等，可表示為（a ， a） ；第二、四象限角平分線上點的橫、縱坐標互為相反數(shù)，可表示為（a ，-a） 3. 關于坐標軸對稱的點的坐標特征P（a， b）關于 x 軸對稱的點的坐標為 （a,-b） ；P（a， b）關于 y 軸對稱的點的坐標為 （-a,b） ；P（a ， b） 關于原點對稱的點的坐標為 （-a,-b） 4. 平行于坐標軸的直線上的點平行于 x 軸的直線上的點的縱坐標相同；平行于 y 軸的直線上的點的橫坐標相同 .【典型例題】類型一、有序數(shù)對1如果將一“13排 10號”的電影票簡記為 （13,10），那么（10,13）表示的電影票是

6、排號.【思路點撥】 在平面上， 一個數(shù)據(jù)不能確定平面上點的位置 須用有序數(shù)對來表示平面點的【答案】 10,13.【解析】 由條件可知：前面的數(shù)表示排數(shù)，后面的數(shù)表示號數(shù) .【總結(jié)升華】 在表示時，先要“約定”順序，一旦順序“約定” ，兩個數(shù)的位置就不能隨意 交換， （a ，b） 與（b ，a） 順序不同，含義就不同舉一反三：【變式】某地 10:00 時氣溫是 6，表示為 （10 ，6） ，那么（3 ， -7） 表示【答案】 3:00 時該地氣溫是零下 7類型二、平面直角坐標系與點的坐標的概念2. 如圖，寫出點 A、 B、C、D 各點的坐標 .思路點撥】 要確定點的坐標，要先確定點所在的象限，再

7、看點到坐標軸的距離答案與解析】解：由點 A向 x軸作垂線，得 A點的橫坐標是 2，再由點 A向 y軸作垂線，得 A點的縱坐 標是 3，則點 A 的坐標是 （2 ，3） ，同理可得點 B、 C、D 的坐標所以，各點的坐標： A（2 ， 3） ， B（3 ， 2） ， C（-2 ，1），D（-1，-2） 【總結(jié)升華】 平面直角坐標系任意一點到 x 軸的距離是這點縱坐標的絕對值， 到 y 軸的距離 是這點橫坐標的絕對值舉一反三：【變式】在平面直角坐標系中，如果點A既在 x軸的上方，又在 y 軸的左邊，且距離 x 軸，y 軸分別為 5 個單位長度和 4 個單位長度，那么點 A 的坐標為 （ ）.A （

8、5 ， -4） B （4 ，-5） C （-5 ，4） D （-4 ，5） 【答案】 D.3.在平面直角坐標系中，描出下列各點A（4， 3） ，B（-2 ，3），C（-4，1），D（2，-2） 答案與解析】解：因為點 A 的坐標是 （4 ，3） ，所以先在 x 軸上找到坐標是 4 的點 M，再在 y 軸上找到坐 標是 3 的點 N然后由點 M作 x 軸的垂線，由點 N作 y 軸的垂線，過兩條垂線的交點就是點 A，同理可描出點 B、C、 D序數(shù)對， 在坐標平面都有唯一的一點與它對應， 也就是說， 坐標平面的點與有序?qū)崝?shù)對是一 一對應的舉一反三：【變式】在平面直角坐標系中， O為坐標原點，已知：

9、A（3， 2），B（5，0），則 AOB的面 積為 【答案】 5.類型三、 坐標平面及點的特征4. 指出下列各點所在的象限或坐標軸A（4 ，5）、B（-2，3）、C（-4，-1） 、D（2.5，-2）、E（0，-4） 、F（3，0）、G（0，0）. 【思路點撥】 先判斷所求點的橫縱坐標的符號，進而判斷所在象限【答案與解析】解：點 A在第一象限，點 B 在第二象限，點 C在第三象限，點 D在第四象限，點 E在 y 軸 上，點 F 在 x 軸上，點 G在原點上【總結(jié)升華】 本題主要考查點的坐標的性質(zhì)， 解決本題的關鍵是記住平面直角坐標系中各個 象限點的符號，但注意坐標軸上的點不屬于任何象限，原點既

10、在 x 軸上，又在 y 軸上舉一反三：【變式 1】點 A（3 ， n）在第四象限，到 x軸的距離為 4則點 A的坐標為 【答案】 （3 ， -4） 【高清課堂：第一講 平面直角坐標系 1 369934 練習 3 】 【變式 2】若點 P （a ,b） 在第二象限，則：1）點 P1（a ,-b） 在第 象限；2）點 P2（-a ,b） 在第 象限；3）點 P3（-a ,-b） 在第 象限；4）點 P4（ b ,a ） 在第 象限 .【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.5. 已知點 A（-3 ，2）與點B（x ，y）在同一條平行于 y軸的直線上， 且點B到x軸的距離等于 3， 求點 B

11、 的坐標【思路點撥】 由“點 A（-3 ，2）與點 B（x， y）在同一條平行于 y 軸的直線上”可得點 B的橫坐 標；由“點 B到 x 軸的距離等于 3”可得 B的縱坐標為 3或 3，即可確定 B的坐標 【答案與解析】 解：如圖， 點 B 與點 A 在同一條平行于 y 軸的直線上， 點 B 與點 A 的橫坐標相同， x -3 點 B到x 軸的距離為 3， y 3或 y-3 點B的坐標是 （-3 ，3）或（-3 ，-3）【總結(jié)升華】 在點 B的橫坐標為 -3 的條件下， 點 B到 x 軸的距離等于 3，則點 B 可能在第二 象限，也可能在第三象限，所以要分類討論，防止漏解舉一反三：【變式 1】

12、若 x 軸上的點 P到 y 軸的距離為 3，則點 P的坐標為（）.A （ 3，0）B （ 3， 0）或（ 3， 0)C（0，3）D （ 0，3）或（0， 3）答案】 B.高清課堂：第一講 平面直角坐標系1 369934 練習 4（ 5）】【變式 2】在直角坐標系中，點 P（x,y） 在第二象限且 P到 x軸，y 軸的距離分別為 2，5，則 P的坐標是 ；若去掉點 P在第二象限這個條件，那么 P 的坐標是 .答案】（-5,2 ）；（5，2），（-5,2 ），（5，-2），（-5 ，-2）平面直角坐標系（提高）鞏固練習【鞏固練習】一、選擇題1A 地在地球上的位置如圖，則 A 地的位置是（）A. 東

13、經(jīng) 130，北緯 50 B.東經(jīng) 130，北緯 60C. 東經(jīng) 140，北緯 50 D.東經(jīng) 40，北緯 502. 點 A（ a， -2 ）在二、四象限的角平分線上，則a 的值是（ ） 211 -2223已知點 M到 x 軸、y 軸的距離分別為 的坐標為 （ ） .A （4， -6） B （-4 ，6） C4和 6，且點 M在 x軸的上方、（6 ，-4） D （-6 ，4）y 軸的左側(cè)，則點 M4已知 A（a，b） 、 B（b， a）表示同一個點，那么這個點一定在（ ） .A第二、四象限的角平分線上B 第一、三象限的角平分線上C平行于 x 軸的直線上D 平行于 y 軸的直線上5. 已知點 M

14、（a ， b） ，過 M 作 MHx 軸于 H ，并延長到 N ，使 NH MH ，且 N 點坐標為 （ 2， 3），則 a b （ ） . 0 1 1 56. （） 在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點，且規(guī)定，正方形的 部不包含邊界上的點觀察如圖所示的中心在原點，一邊平行于 x 軸的正方形：邊長為 1 的正方形部有一個整點，邊長為 2 的正方形部有 1 個整點，邊長為 3 的正方形部有 9 個整 點，則邊長為 8 的正方形部的整點的個數(shù)為 （ ） .A 64 B 49 C 36 D 25二、填空題7. 已知點 P（2a，3a2） 到兩坐標軸的距離相等，則 P點的坐標為

15、8. 線段 AB的長度為 3 且平行 x 軸，已知點 A的坐標為（ 2，-5 ），則點 B的坐標為 .9.如果點 A（0，1），B（3，1），點C在 y軸上，且 ABC的面積是 5，則C點坐標10.設x、y為有理數(shù)，若 x 2y 2 2xy60，則點（x，y）在第象限.11111觀察下列有序數(shù)對： （3 ，-1） 、 5, ， 7, 、 9, 、根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)234律，第 100 個有序數(shù)對是 12在平面直角坐標系中，點 A、B、C的坐標分別為： A（-2，1）、B（-3，-1），C（-1，-1） ，且 D在 x 軸上方 . 順次連接這 4 個點得到的四邊形是平行四邊形， 則 D點的坐標為 1

16、3已知平面直角坐標系兩點 M（5，a） ，N（b， -2） （1）若直線 MNx 軸，則 a， b；（2）若直線 MNy，軸，則 a， b14（） 若點 P（x ，y）的坐標滿足 x+yxy，則稱點 P為“和諧點” ，請寫出一個“和諧點”的 坐標，如 三、解答題15如圖，棋子“馬”所處的位置為 （2，3） （1） 你能表示圖中“象”的位置嗎？（2） 寫出“馬”的下一步可以到達的位置 （象棋中“馬”走“日”字或“”字 ）16如圖，若 B（ x1，y1）、 C（ x2，y2）均為第一象限的點， O、B、C三點不在同一條直線上 （1） 求 OBC的面積（用含 x1、x2、y1、y2的代數(shù)式表示） ；

17、（2） 如圖，若三個點的坐標分別為 A（ 2,5 ）， B（ 7,7 ）， C（ 9,1 ），求四邊形 OABC的面積.17. 如圖所示，在平面直角坐標系中，第一次將三角形OAB變換成三角形 OA1B1，第二次將三 角形 OA1B1變換成三角形 OA2B2，第三次將三角形 OA2B2變換成三角形 OA3B3，已知 A（1，2） ，A1（2 ， 2） ， A2（4 ， 2） ， A3（8 ， 2） ；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）OA3B3變換成三角形 OA4B4，則 A4的坐標是 ， B4的坐標是 ；（2）若按（1）中找到的規(guī)律將三角形 OAB進行 n次變換，得

18、到三角形 OAnBn，推測 An的坐 標是 ， Bn 的坐標是 （3）求出 O的面積【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】 C.2. 【答案】 A； 【解析】因為（ a，-2 ）在二、四象限的角平分線上，所以a+（-2）=0 ，即 a=2.3. 【答案】 D； 【解析】根據(jù)題意，畫出下圖，由圖可知M（-6 ， 4）.4. 【答案】 B；【解析】由題意可得： a b ，橫坐標等于縱坐標的點在一三象限的角平分線上 .5. 【答案】 B； 【解析】由題意知： 點 M（a，b）與點 N（-2，-3）關于 x 軸對稱，所以 M（-2,3） .6. 【答案】 B； 【解析】邊長為奇數(shù)的正方形所含整點個數(shù)為奇數(shù)的平方，而邊長為偶數(shù)的正方形所含整點個數(shù)與邊長比此偶數(shù)少1 的奇數(shù)的正方形所含整點個數(shù)相同二、填空題7. 【答案】 P（ 1，1）或P（2， -2 ）；【解析】2a3a2 ，得 a 0或 a 1，分別代入即可8.答案】 B（ 5， -5 ）或（ -1，-5 ）；解析】 xB 2 3 5或-1，而 y