微分方程選擇題及答案

1、選擇題 （50）1）知識(shí)、概念層次，難度等級(jí) 11、列四個(gè)微分方程中，4為三階方程的有1）d3ydx3d2ydx22y23）3d3ydx312ey（A）1 答案： 難度等級(jí) 1B)2C）知識(shí)點(diǎn)：常微分方程的階的定義dy6x3dydxdxd3ydyedx3sin ydxD）432）4）x ye分析： 根據(jù)微分方程的階的定義， 微分方程的階是指方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的2、 函數(shù)（）是微分方程 4y最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，因此， （1），（ 3），（4）均是三階微分方程，故應(yīng)選（ C）(A)y1 x 12x(B) y Ce2x21( C ) y C1e2x C21 2 2(D)x1yCe2x122y x 的

2、通解 . （）答案 D難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：常微分方程通解的定義分析： 判斷一個(gè)函數(shù)是否是微分方程的通解， 首先是函數(shù)代入方程能使方程變 為恒等式， 其次函數(shù)中所含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)應(yīng)與方程的階數(shù)一致，選項(xiàng)（ A）中不含任意常數(shù)，是方程的特解， 選項(xiàng)（ C）中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)多于一個(gè)，因此不能選， （B）不 滿足方程，故應(yīng)選（ D）3、 下列等式中（）是線性微分方程 .(A)y2x2y2(C)y2 yx e(B)y2 x0(D)yy2xy2答案：B難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：線性常微分方程的定義分析：線性常微分方程是指方程中所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均是一次有理整式，因?yàn)?(A),(C),(D)選項(xiàng)中出現(xiàn)了

3、非線性項(xiàng)2y2, 故應(yīng)選（ B）4、 微分方程exdnye2xd(n1y)Len dye(n1)ye(n2)x 是()dxndx(n 1) dx（A） n階常系數(shù)非齊次線性常微分方程（ B） n階常系數(shù)齊次線性常微分方程（C） n階變系數(shù)非齊次線性常微分方程（ D） n階常變系數(shù)齊次線性常微分方程答案 ： C難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：齊次線性常微分方程的定義分析： 所給方程中所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)均是一次有理整式， 故應(yīng)為線性常微分方程， 又因?yàn)槠湎禂?shù)是變量 x的函數(shù)， 故應(yīng)是變系數(shù)， 并且有自由項(xiàng) e（n 2）x ,因此是非齊次方程，故應(yīng)選（ C）5、 微分方程x edyy6 ey33x3y3

4、 的一個(gè)解為（ ）.dx（A）y6（B）y x 6( C) y x( D) y x答案：D難度等級(jí)1知識(shí)點(diǎn)：常微分方程解的定義分析：將（ A），（B），（C），（D）所給函數(shù)代入所給方程，易知只有y x 滿足方程 ， 故應(yīng)選（ D）6、 下列函數(shù)組（）在其定義區(qū)間內(nèi)是線性相關(guān)（）.2（A） x,x （B） ln（ x）, x ln（ x） （ C） cos（2 x）,sin（2 x） （D）sin(2 x),cos( x)sin( x)答案 ： D難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)組的線性相關(guān)與線性無關(guān) 分析：由函數(shù)組線性相關(guān)與無關(guān)的判定， （A），（B），（ C）中所給的兩個(gè)函數(shù)的比值不為常數(shù)，而7

5、、 下列（sin2x2 ，因此應(yīng)選（ sin xcosx不是全微分方程 .D）(A)ydx (x3x3y2)dy 0 (C)(x3 y)dx (x y)dy 0(B)2xy 1dx yyx2 dy 0 y2(D)ydx xdy 0答案：難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：全微分方程的判定分析：微分方程M (x,y)dx N(x,y)dy0 是全微分方程的充要條件是221 1 9x2y2，因此（ B），（ C），（ D）均滿足此條件，而因此應(yīng)選（ A）228、 方程 ydx （x2 y2 x）dy 0 的積分因子為（ ）1A) (x) 12xB) (y) y12 yC) (x,y) x2 1y2 (D) xy

6、(x,y)xy答案 ： C 難度等級(jí) 1知識(shí)點(diǎn)：積分因子的定義分析：微分方程 M (x,y)dx N(x,y)dy 0 不是全微分方程時(shí)，若存在二元函數(shù) (x,y) , 使得 (x,y)M(x,y)dx N(x,y)dy 0 是全微 分方程 ，則稱所給函數(shù)均不滿足條件，因此( x, y)為方程的積分因子，因此代入(A), (B)，(D)應(yīng)選( C)9、 下列方程中，既是齊次方程又是線性方程的是()A)dy sin y dx x(B) dy y 1 dx x x(C)dydxy (D)xdydx答案：難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：齊次方程與線性方程的判定 分析：由題意只有 (B),(D) 是線性微分方程

7、，而( D)y1xDB)不是齊次方程，因此應(yīng)選10、 試指出下列哪個(gè)()函數(shù)是二階微分方程22y0,( 0)的通解 .( 式中C1,C2 為任意常數(shù) ).(A)C1 cos x 2sin x (C)C1cos x C2sin x(B)C1cos x 2C1 sin x (D)C12 cos x C2sin x知識(shí)點(diǎn)：二階齊次線性常微分方程通解的定義但 C12 0 不是任意常數(shù)， 故應(yīng)選答案： 難度等級(jí) 1 分析：方程是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解中應(yīng)含有兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)，故(A),(B) 不符合要求， (D)中雖有兩個(gè)獨(dú)立常數(shù)，C)11、 若某個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為y C1ex

8、 C2e x , 其中 C1,C2 為獨(dú)立的任意常數(shù)，則該方程為()x(A) y y e(B) y 2y0 ( C) y y 0(D)y y 0答案 ： D難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：二階齊次常系數(shù)線性常微分方程 分析：由通解中的兩個(gè)獨(dú)立解ex ,e x 知，方程對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為21 1, 2 1 ，因此對(duì)應(yīng)的特征方程是 ( 1)( 1) 2 1 0 ，因此對(duì)應(yīng)的微 分方程應(yīng)是 y y 0，故應(yīng)選( D)x12、 若某個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為y (C1 C2x)ex ,其中 C1,C2為獨(dú)立的任意常數(shù)，則該方程為() .(A)y2y y 0(C)y 2y y 0(B)y2y 1

9、0(D)y 2y 1 0答案：D難度等級(jí) 1 二階齊次常系數(shù)線性常微分方程分析：由通解中的兩個(gè)獨(dú)立解 ex, xex 知，方程對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為221 2 1 ，因此對(duì)應(yīng)的特征方程是 ( 1)2 2 2 1 0 ，因此對(duì)應(yīng)的微分方 程應(yīng)是 y 2y 1 0 ，故應(yīng)選( D)13、 若某個(gè)三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為 y C1 C2x C3x2, 其中C1,C2,C3 為獨(dú)立的任意常數(shù)，則該方程為() .(A) y y 0 (B) y 3y 0 (C) y y 0 (D) y 0 答案 ： D難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：三階齊次常系數(shù)線性常微分方程2分析：由通解中的三個(gè)獨(dú)立解 1,x, x

10、2 知，方程對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為31 2 3 0 ，因此對(duì)應(yīng)的特征方程是 3 0 ，因此對(duì)應(yīng)的微分方程應(yīng)是y 0 ，故應(yīng)選( D)14、 若某個(gè)三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為 y C1 C2x C3ex, 其中C1,C2,C3 為獨(dú)立的任意常數(shù)，則該方程為() .(A)y y 0 (C)yyy10(B)y y 0 (D)yy答案 ： D難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：三階齊次常系數(shù)線性常微分方程分析：由通解中的三個(gè)獨(dú)立解1,x, ex知，方程對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根為1 2 0, 31 ，因此對(duì)應(yīng)的特征方程是2(1)，因此對(duì)應(yīng)的微分方程應(yīng)是 yy 0 ，故應(yīng)選（D）15、 可用變換（）將伯努利方程

11、dydx3xy化為線性方程 .A) zB) zC）3z y 3 (D)答案 ： B難度等級(jí)1 知識(shí)點(diǎn)：一階線性常微分方程、y3,得y 3 ddyx分析：在原方程的兩邊同除以只需令 z y2,則 dz2ydx3 dydx，原方程則化為伯努利方程23yx1 dz2 dx故應(yīng)選（ B）16、 微分方程yln ydx (xln y)dy 0 是( )1, 因此要使方程為線性，zx3 1 ，這是線性方程，（A） 可分離變量方程 方程 答案 ： B 難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：B）線性方程C）全微分方程D）貝努利分析：將方程改寫為方程，又由全微分方程，作關(guān)于變量17、一階常微分方程類型的判定dy yln y d

12、x ln yM (x,y) yln y,N(x,y), 因此不是可分離變量方程，也不是貝努利 xlny,ln y 1, N 1 x因此不是又將方程改寫為 dx ln ydy yln y1xyln y11 因此是線性方程yy 的函數(shù)） ，故應(yīng)選（ B）微分方程cos2x 的通解是（）(A)(B)1sin(2 x ) C1 x C241sin(2 x) C1x C24(C)(D)答案 ： D1cos(2x) C1x41 cos(2x) C1x C24C2難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：可降階的高階常微分方程的求解分析： 將方程連續(xù)積分兩次，得通解 y14cos(2 x )C1x C2 ，故應(yīng)選(D)218、

13、 微分方程 x2 y 1的通解是().C(A) y C 1x1(B) yxC( C)yCx 1x(D)1 yCx答案 ： D難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：一階常微分方程的求解dy 11分析：將方程改寫為 2 并積分，得通解 yC ，故應(yīng)選( D)dx x2x19、 若某個(gè)三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為y C1 C2 cosx C3sinx, 其中 C1,C2,C3 為獨(dú)立的任意常數(shù)，則該方程為() .為 1 0, 2,3 i ，因此對(duì)應(yīng)的特征方程是是 y y 0 ，故應(yīng)選( D)20、 若 y 6x 是微分方程 y (1 x2)y()(A) y(1) 6, y (1) 6,y (1) 0(C) y

14、(1) 6, y (1) 6,y (1) 62( 2 1) 0 ，因此對(duì)應(yīng)的微分方程應(yīng)2xy 6x2 的唯一解，則初始條件應(yīng)該是(B) y(1) 6, y (1) 0,y (1) 6(D) y(1) 0, y (1) 6,y (1) 0(A) yy0(B) y y0 ( C) y y 0 (D)yy0答案 ： D難度等級(jí) 1知識(shí)點(diǎn)：三階齊次常系數(shù)線性常微分方程分析：由通解中的三個(gè)獨(dú)立解 1,cos x,sin x知，方程對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根答案 ： A難度等級(jí) 1 知識(shí)點(diǎn)：常微分方程的定解條件分 析 ： 由 y 6x 是 方 程 原 唯 一 解 ， 應(yīng) 該 滿 足 初 始 條 件 ， 故 有

15、y(1) 6, y (1) 6,y (1) 0 ,故應(yīng)選( A)2) 知識(shí)簡(jiǎn)單應(yīng)用層次，難度等級(jí) 221、 微分方程yxy e 的通解是().(A)yC1 C2ex xex1 2 2(C)y 1 C1ex C2xex(B)yC1x C2ex xex(D)y C1 C2ex xex答案：D難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：二階非齊次常系數(shù)線性常微分方程分析： 方程為二階非齊次常系數(shù)線性方程， 對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y y 0，故 其特征方程為 2 ( 1) 0 ，特征根為 1 0, 2 1 ，因此齊次方程的通 xx解應(yīng)為 y C1 C2ex ，因此應(yīng)在 (A),(D) 中選擇，又因函數(shù) yex 不滿足方程，2故

16、應(yīng)選( D)22、 若 y 1(x) , y 2(x) 是一階非齊次線性微分方程的兩個(gè)不同特解， 則該方 程的通解為() 。(A) 1(x) 2(x) (B) 1(x) 2(x) (C)C( 1(x) 2(x) 1(x) (D) C 1(x) 2(x)答案 ： C難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：一階非齊次常系數(shù)線性常微分方程分析： 由一階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)知， 其通解應(yīng)是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解與原各的一個(gè)特解之和 ，而 1 2 是齊次方程的解， 因此齊次方程的通解應(yīng) 為 y C( 1 2) ， 因 此 非 齊 次 方 程 的 通 解 應(yīng) 是 y C( 1 2) 1 或 y C( 1 2) 2

17、，故應(yīng)選( C)23、 一曲線過原點(diǎn)，其上任一點(diǎn) (x, y)處的切線斜率為 2x y ,則曲線方程是() .(A) y 2x 2 2ex (C) y 2x 2 2ex(B) y x 1 ex(D) y 2x 2 2ex答案 ： D難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：一階非齊次常系數(shù)線性常微分方程分析：由題意 知，曲線方程 y y(x) 應(yīng)滿 足 dy y 2x 及初始條件dxy(0) 0 ，這是一階非齊次線性微分方程， 直接由通解公式可得 y 2x 2 2ex ， 故應(yīng)選( D)2 3 224、 若方程 (x2 xy3)dx f(x)y2dy 0 是全微分方程，則 f(x) ( ).(A) 3x(B) 2

18、x3( C) 3 x2(D) 3 x322 答案 ： C難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：全微分方程分析：微分方程 M(x,y)dx N(x,y)dy0 是全 微分方程時(shí)，需滿足，故由 M(x,y)xy3,N(x,y)f(x)y2 ，可得 df (x) y2 3xy2 ，dx即 df (x) 3x ，因此可取f(x)的通解是322x ，() .故應(yīng)選( C)dx25、 微分方程2x2y2y2ln(C1x1)(A)yxC12C2(C) yxln(C1x1) C(B)yC1C12C2(D) y答案：D難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：可降階的高階常微分方程xC1分析：方程為二階非線性方程，令uy，ln(C1x 1)C1C2

19、這是變量可分離方程，分離變量得du2udx2xxC1ln(C1x 1)C12C2則方程降為一階方程 x2u，積分得 1ux C1，將u2u，代入并2y 0，分析：方程為二階非齊次常系數(shù)線性方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程為積分可得 yxC1ln(C1x 1)C12C2，故應(yīng)選(D)26、 微分方程y2y x的通解是()(A)y1 2 2 x xC1e4C2x (C)y1 2 2x 1xC1ex C244(B)y1 2 2x xC1e411x4C2 (D)y1 2 2x 1xC1ex C24 1 4 2答案：D難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：二階非齊次常系數(shù)線性常微分方程y2故其特征方程為 2 ( 2) 0 ，特征根為

20、 1 0, 2 2 ，因此齊次方程2x的 通 解 應(yīng) 為 y C1 C2e2x ， 因 此 應(yīng) 在 (B), ( C)， (D) 中 選 擇 ， 又 因 函 數(shù) 1 2 1yx2x 滿足方程，故應(yīng)選( D)4427、 微分方程 xy y 的通解是( )3(A) y x C3x C1(C)32y C2x C3x C1x23(B) y C2x C3x C1 (D) y C2x C3x C1 答案 ： D難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：可降階的高階常微分方程是變量可分離方程，分離變量得 du dx ，積分得xu Cx ，將 uy 代入并積分分析：方程為三階微分方程，令 u y ，則方程降為一階方程 xu u

21、，這C3 可得 y xC3xC1 ，令 C2 C ，則可得y C2x3C3xC1，61 2 628、 微分方程yy的通解是( )(A)yC1C2x C3xex(C)y1C2xC3ex(B)yC1C2x2 C3ex(D)y C1C2xC3ex答案：Du故應(yīng)選( D)難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：可降階的高階常微分方程分析：方程為三階微分方程，令 u y ，則方程降為一階方程 u u ，這是一階齊次線性微分方程，積分得 u C3ex ，將u y 代入并積分可得x y C1 C2x C3e ，故應(yīng)選( D)229、 微分方程 2yy (y )2 的通解為() .(A) y (x C)2 (C) y C1(x

22、1)2 C2 (x 1)222(B) y C1 (x C2) (D) y C1(x C2)答案 ： D 難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：可降階的高階常微分方程分析 ： 方 程 是 不 顯 含 自 變量 x 的方 程 ，令 u dy ，則 dx2d yddu dydudu22 (u) g ug， 則 方 程 降 為 一 階 方 程 2yuu2 ， 即 有dx2dxdy dxdydydu 112u ，這是一階齊次線性微分方程， 積分得u Cy2 ，將u y 代入并積分可 dy 2y得y2C1 (x C2 ) 2 ，故應(yīng)選( D)30、微分方程xdy ydx y2eydy 的通解為() .(A) yx(ex

23、C)(B) x y(ey C)(C) yx(C ex) (D)y(C ey )xdy答案： 難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：全微分方程分析：因dxdy ydx ，故在方程兩端同除以y2，則方程變?yōu)閥dx2y2eydy，這是全微分方程，即有 dxdy ydxeydy dey ，即d ey xy0 ，故方程的通解為eyxy C ，故應(yīng)選D）是（） .(A)yx(Ax2Bx C)e4x (C)y x(Ax B)e4x(B)yx(Ax24xB)e4x(D)y x2(Ax B)e4x答案：D難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程分析：原方 程 所 對(duì)應(yīng) 的齊次 方 程為 y8y 16y 0， 其特征方程為

24、2 8 16(4)2 0，其特征根為 4（二重根），而 1 x 是一次多項(xiàng)式，故方程的特解為yx2(AxB）e4x ，故應(yīng)選（ D）32、 微分方程y7y (x1）2用待定系數(shù)法確定的特解 （ 系數(shù)值不求 ）形式是（） .(A)y2x (AxB) (C)y x(Ax2 Bx C)e7x(B)y(Ax2Bx C)e7x (D)2y x(Ax2 Bx C)答案：D難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程4xx）e 用待定系數(shù)法確定的特解（ 系數(shù)值不求 ） 形式31、 微分方程 y分 析 ： 原 方 程 所 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 為 y 7y 0 ， 其 特 征 方 程 為8y 16y

25、 (12 7 ( 7) 0 ，其特征根為 1 0, 2 7 ，而 (x 1)2 (x 1)2e0?x ，故方2 程的特解為 y x(Ax Bx C) ，故應(yīng)選( D)33、 微分方程 y 3y sin 3x用待定系數(shù)法確定的特解 ( 系數(shù)值不求 )形式是() .(A) y x2 (Acos( 3x) Bsin( 3x)(B) y Acos( 3x) Bsin( 3x)(C) y (Acos( 3x) Bsin( 3x)e 3x(D) y x(Acos( 3x) Bsin( 3x)答案 ： D難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2 分析：原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y 3y 0 ，其

26、特征方程為 2 3 0 ，其特征根為而 非 齊 次 項(xiàng) 為 sin( 3x) ， 故 方 程 的 特 解 為y x(Acos( 3x) Bsin( 3x) ，故應(yīng)選( D) 34、 微分方程 y y 2sin2x 的一個(gè)特解為()sin( x)1sin(2 x)3(C)y2cos(2 x)3cos( x)1sin(2 x)3(D)y2sin(2 x)3知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(A) y(B) y 答案 ： D 難度等級(jí) 2分析：方程的非齊次項(xiàng)為 2sin(2 x) ，故方程的特解可設(shè)為 y Asin(2x)，故應(yīng)選( D)35、 微分方程y2y y1的通解為( D)(A)yC1xe

27、xC2ex (C)yC1 xexC2ex(B)y1 C1xC2ex (D)y1 C1xexC2ex答案：D難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程分 析 ： 原 方 程 所 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 方 程 為 y 2y y 0， 其 特 征 方 程 為2 1 0 ，其 特征 根為 1,2 1( 二重 根)，因此 齊次 方程的 通解為 y (C1 C2x)ex ，而非齊次項(xiàng)為 1，故方程的特解形式為 y A(常數(shù))，故應(yīng)選(D)36、 微分方程 yy 1的一條過原點(diǎn)且在該點(diǎn)與直線 y x 相切的積分曲線是 ()(A)yx1e(C)y 1 ex(B)yx x xe(D)y 1 e x答案：C難

28、度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程分析：因曲線經(jīng)過原點(diǎn)且與直線 y x相切于原點(diǎn)， 因此有 y(0) 0, y(0) 1因此只能在( C)，(D) 中選擇，又因 y1 e x不滿足方程， 因此積分曲線為 y故應(yīng)選( C)37、 微分方程yy0的一條過點(diǎn)(0,2) 且在該點(diǎn)與直線 y 2 x相切的積分曲線是()(A)y1x e(C)y 1 3e x(B)y2xex(D)x y 1 e答案：D難度等級(jí)2知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程分析：因曲線經(jīng)過點(diǎn) (0,2) 且與直線 y 2 x相切于點(diǎn)(0,2) ，因此有y(0) 2,y (0) 1 ，又原 方程為 二階齊 次線性 微分方

29、程，其特征方程為2(1)0，特 征 根 為 10, 2 1 因 此 方 程 的 通 解 為yC1 C2ex代入條件y(0) 2,y (0)1，得積分曲線為 y1 e x ，故應(yīng)選(D)38、微分方程y3y 12xe2x的一個(gè)特解為()(A)y3x 1 e(C) y2x e133(B)y3 x 1 e(D) y2x e133答案：D難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2x分析：原方程的特解為方程 y 3y 1與方程 y 3y e 的特解之和，而方程 y 3y 1 的特解為 y12x 2x1 ，而方程 y 3y e 的特解為 y2 e2x ， 因此原 3，故應(yīng)選( D)方程的特解為

30、y y1 y2 e2 x 139、設(shè) y1,y2 是一階線性非齊次方程p(x)y q(x) 的兩個(gè)特解，若常數(shù)y1y2 是該方程的解，y1y2是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解 , 則).(A)1,2,(C)1,2,(B)2,3(D)2,3答案： 難度等級(jí) 2知識(shí)點(diǎn)：一階非齊次線性微分方程分析：因y1y2 是方程的解， 而 y1y2 是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程，故可1與解之可得11,，故應(yīng)選( A)2240、已知函數(shù) yy(x) 在任意點(diǎn)x處的增量 yyx1,且o(x), y(0)則 y(1) 等于() .(A)e4(B)e4C)(D)答案 ： A難度等級(jí) 2 知識(shí)點(diǎn)：一階非齊次線性微分方程分 析 ： 在

31、 y y x21 x2求極限，即有dydxlim y y 2 lim y 2 ，故可得初值問題為 x 0 x 1 x2 x 0 x 1 x2dydxy1 x2，y(0)這是arctanx階線性齊次方程解之可得 y earctanx ，因此 y(1)e4故應(yīng)選( A)3) 知識(shí)靈活應(yīng)用層次，難度等級(jí) 341、 設(shè) y(x) 滿足 y sin xyln y , 且 ye 1 2 1 2 3(A) e (B) e 1 (C) e (D) e2答案 ： C難度等級(jí) 3 知識(shí)點(diǎn)：一階非齊次線性微分方程分析：方程 dysin x yln y 為變量分離方程，分離變量得 dy dx ， 兩 dx yln y

32、 sin x端積分并代入初始條件得ln y csc x cot x ， 因此 y4e2 1 故應(yīng)選（ C）42、 微分方程2y5yxex 的一個(gè)特解為（ .(A)y2x e(C) y 1ex (B) y2ex (D)答案：D333難度等級(jí) 3 知識(shí)點(diǎn)：二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1xe3分析：方程的非齊次項(xiàng)為ex ，故方程的特解可設(shè)為xAex ，代入可得解得1xex ，故應(yīng)選（ D）343、微分方程 （y2 6x）y2y(A)2x2 yCy30(C)2y2xCx30(B)2xCy23 y0(D)2yCx23x0答案：A的通解為）難度等級(jí) 3 知識(shí)點(diǎn)： 分析 ：方 程 為 一一階非線性微分方程階

33、非線性方程，原方程兩(y226x)yy 2y2 0再令2yy 代 入 原 方 程 可(u6x)u 4u 0 ，即 ddux6x1 2 312 y2 Cy3，故應(yīng)選A）44、微分方程 dy dx（A） 1 y siny x 答案 ： C 難度等級(jí) 3Cx4u3x2u14 ， 解 得 x3Cu 2 ，xu45、tan y的通解為（xyB)sinxxC).C)sin y CxxD）sin x Cxy知識(shí)點(diǎn)：一階齊次微分方程分析：方程為齊次方程，令 u yxtanu ，解之可得 sin yxCx ，故應(yīng)選（則 y u xu代入原方程可得C）可將一階微分方程 dy xdx y6y 化為可分離變量的微分方程的變換為 （） xA)u (x y)6 (B) u (x y)6C)uyxD) u xy答案 ： C難度等級(jí) 3 知識(shí)點(diǎn)：一階齊次微分方程分析：方程為齊次方程，令u則yu xu代入原方程可得1u xuu611 u ，這是變量分離方程u故應(yīng)選C)46、 設(shè) yf(x) 是方程 y 2y 4y的一個(gè)解，若 f (x0 )0，且 f (x0) 0,則 f (x)在 x0處取得()(A) 取得極大值(B) 在某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)增加 答案 ： A 難度等級(jí)C)取得極小值D)在某個(gè)鄰域內(nèi)單調(diào)減少3 知識(shí)點(diǎn)：二階齊次線性微分方程與函數(shù)的極值分析：因 為 y f