橢圓難題包括答案

1、關(guān)于焦點三角形與焦點弦(1)橢圓上一點P與兩個焦點F1, F2所構(gòu)成的PF1F2稱為焦點三角形。設(shè) F1PF2，則有:cosb2121，當(dāng)1(即P為短軸頂點)時,此時cos2 2b c-2_a1PF1F2的面積 S 2r2sinb2si n1 cos當(dāng)y0 b (即P為短軸頂點)時,S 最大，且 Smax bc F1 F1b2uuur uiur -PF1 PF2 b2(2)經(jīng)過焦點F1或F2的橢圓的弦AB，稱為焦點弦。設(shè) A(X1, yj, B(X2, y2)，AB的中點為 M (xo, y。)，則弦長 |ab| 2a e(x, x2) 2a 2ex。(左焦點取“ +”，右焦點取“-”)當(dāng)AB

2、x軸時,|ab|最短，且 |ab| imin2b22a關(guān)于直線與橢圓的位置關(guān)系問題常用處理方法1聯(lián)立方程法：聯(lián)立直線和橢圓方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)交點坐標(biāo)為(兒，yj, (x2, y2)，則有V 0，以及x1 x2, x1x2，還可進一步求出 y1 y2, y1y2。在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法2點差法：設(shè)交點坐標(biāo)為(xy1), (x2, y2)代入橢圓方程，并將兩式相減，可得b2也竺b2為X2，在涉及斜率、中點、范圍等問題時，常用此法兒 X2a y1 y2典例剖析1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2【例2】設(shè)橢圓x2a21 a b 0的左焦點為F，上頂點為A，過A點作AF

3、的垂線rnur 8 uuu分別交橢圓于P，交x軸于Q ,且AP - PQ5（1）求橢圓的離心率 （2）若過A, F, Q三點的圓恰好與直線x、,3y 3 0相切，求橢圓的方程。b2【解】(1)由已知可得：F( c, 0), A(0, b), Q( , 0)cuuu 由AP-um-PB可得:5唸，豊）將P點坐標(biāo)代入橢圓方程可得:b23。即2 a c2 32e2 3e 20 e1ac 2ac22（2）由（1）得：Q(3c,0)，圓心為（c, 0），半徑r2c于是有：23 2cc1（圓心到直線距離），所以a故橢圓方程為2x: y2143【例4】已知橢圓的中心在原點0 ,短軸長為22 ,右準(zhǔn)線交x軸于

4、點A,右焦點為F ,且OF 2|FA|，過點A的直線I交橢圓于P, Q兩點（1）求橢圓的方程uuu uuu（2）若OP OQ 0，求直線I的方程（4）求VOPQ的最大面積【解】（1） c 2，b 2，a 6，A 3, 0橢圓方程為：X y 16 2（2）設(shè)直線l的方程為：x 3 ky，且設(shè)P , y1 , Q x2, y22x聯(lián)立 6x 32Z 12ky消去x得：k23 y26ky 3 06kk23, y1y23k2從而求得:X1x218k2 3, X1X26k227k2 3uuu uur由OP OQ 0得：所以I的方程為：xX1X2 y1 y25y 3 00，求得(4)由(1)得:k23SV

5、OPQ12OAiiy1y26k2 k2312k233 6k2；k23令k2 3則S/opq即k 6時,所以O(shè)PQ的最大面積為 3當(dāng)且僅當(dāng)t取“ ”2橢圓的性質(zhì)2【例6】已知橢圓篤a2yb2b 0的兩個焦點分別為F1c, 0，F(xiàn)2 c, 0，在橢圓上存在一點uuur使得PF1uuurPF20(1)求橢圓離心率e的取值范圍(2)當(dāng)離心率e取最小值時，VPF的面積為16，設(shè)A, B是橢圓上兩動點,若線段AB的垂直平分線恒過定點Q(0,.3)。求橢圓的方程；求直線AB的斜率k的取值范圍?！窘狻浚?）設(shè)橢圓短軸的端點為B,由已知及橢圓的性質(zhì)得：F1BF2F1PF2 90所以 OBE 4呼，從而 tan

6、OBF 1,即 1c2 b2，又 b2 a2 c2,b所以 c2 a2 c2，得：C21，所以 e 2 , 1a2222（2）當(dāng)e取得最小值時，P在短軸頂點，2所以 SpF1F2 be 16，又-,a2 b2 c2，1 2a 22 2故求得：a 4 2, b 4, c 4。所以橢圓方程為：X y 13216設(shè) A X1, y1 , B X2, y2 ， 設(shè)直線AB的方程為y kx b， AB的垂直平分線方程為：y - x J 3ky kx b聯(lián)立 x2 y2消 y 去得：1 2k2 x2 4kbx 2b2 32 032161則有16k2 b2 4 12k22b2320 即 b216 1 2k2

7、 L L 又有：x1 x24kb2121 2k2從而y1y22b1 2k2所以AB的中點為M2 kbb。又M在AB的垂直平分線上，1 2k2,12k2所以b 211 2k2k 12 kb2k23，即 b 3 1 2k2L L 將代人求得：78 k 786 6求取值范圍問題通常要建立不等式，關(guān)于不等式的來源有以下幾種情況：（1）已知不等式；（2）橢圓上的點的橫坐標(biāo)滿足 a x0 a ；（3）0 ；2 2（4）橢圓內(nèi)部的點xo, yo滿足x02ab02 1；【例7】橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，斜率為1的直線過橢圓的右焦點F2與橢圓uuruuur交于A, B兩點，OAOB與向量a3,1共線。（1

8、）求橢圓的離心率e（2）設(shè)M為橢圓上任占J 、uuuuuuuuuuR，求證：若OMOAOB ,22為定值 2 2【解】（1）設(shè)橢圓方程為x2y21 a b 0，設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）,a b由已知：直線AB的方程為：y x c，代入橢圓方程，得：un uuur因為OA OB與向量a(a2 b2)x 2a2cx a2c2 a2b20,由韋達定理得：2a2cuuu uuuN X222，易知：OA OB (為 x2 , y1 y2)a b3 ,1 共線，所以 3(y1y2)(人 x2) 0，而 y1y2x1x22c，所以 3(x1x22c)(x1x2)0，(2)由(1)得:a23b2，

9、 c 2b， 所以橢圓方程為:2 2x y3b2 b22a2c3c22 2a3b2 ab223，故有:ec6 。a3即X! X2 3c，于是有:22又b2 a2 c2，所以c2a即x2 3y2 3b2，直線AB的方程為：y x 2b,于是有：2 3b22 3b23b2。故 221為定值【例8】已知A為橢圓若ay2b21 a b 0上一動點，弦 AB, AC分別過焦點F1, F2,當(dāng)AC x軸時，恰有|AFj 3|AF2(1) 橢圓的離心率uurLLLTUULU(2) 設(shè) AF11F1B，AF2LULL2F2C，判斷! 2是否為定值?【解】（1）當(dāng)AC x軸時，AF依定義有AF1 AF2而b2a

10、2 c2，所以b2從而AF12a，所以2c2（2）由（1）可知橢圓方程為:x22c23b2a4b2222aa3b2ay22c2，即1，F(xiàn)1c,F2 c, 0于是有：x X1 23 2b，& X223b，從而y1y2b，y1by 22424于是 x1 x2 3y1y20。設(shè) M (0, y），由已知：X）X1X2y。y1y2將M的坐標(biāo)代入橢圓方程得：2X1x23 y12y23b2即 2 X12 3y12222x2 3y22(x1 x23y1 y2)3b2設(shè) A Xo, yo , B X1, y1 , C x?, y?若AB, AC的斜率都存在，則直線AB的方程為yox cXoc代入橢圓方程，并整

11、理得：2cx02 23c y2cy0Xoc yc2y。20由韋達定理有y0y12 2 c y2cy由已知:uuirAF1I II1 juurF1B所以126若AB,綜上所述3.最值問題2cx0 3c22x0 3cy 3c 2x ； y1AC有一個斜率不存在，不妨設(shè)1, 12【例11】已知橢圓C: 4同理可得:AC x軸3c 2x0c3c 2c 5所以1 c6為定值。2 1，AB是垂直于x軸的弦，直線x 4交x軸于點N , F3為橢圓C的右焦點，直線AF與BN交于點M(1)證明：點M在橢圓C上(2)求VAMN面積的最大值【解】(1)由已知F 1, 0 , N 4, 0。設(shè)Am, n，則Bm, n

12、211,AF與BN的方程分別為:AF :yBN : y聯(lián)立兩直線的方程求得:5m 82m 52m3n即55m 82m 525m 8因為2m 5412(2m 5)212(2m 5)23n2m 533(5m 8)24(3 n)23(5m8)2 36 33n2m 521衛(wèi)412(2m 5)2212(2m 5)1，所以點M在橢圓C上2(2) 設(shè)直線AM的方程為x 1 ky (過焦點)且A冷 , M 炫 y聯(lián)立2 2x y4x3ky13k2 4y2 6ky 9 0則由:yiy26k3k24, y1y293k2 4所以yiy2yi4y1y2 呼所以Samn12 FN gy118 k213 k2 11183

13、 L 1 k2 1令 h(t) 3t函數(shù)h(t)遞增，所以當(dāng)t 1時，h(t)取得最小值4 ,故當(dāng)k 0時，Samn取得最大值148 96ky 90322【例14】已知橢圓C:f y 1的左，右焦點分別為F1, F2，過F1的直線與橢圓交于A, B兩點(1) 求VAF2B的面積的最大值(2) 當(dāng)VAF2B的面積最大值時，求tan F1AF2的值【解】(1)由已知得：F1 1, 0 , F21, 0設(shè)直線AB的方程為X 1ky，且設(shè) A 人，y1 , B X2, y2x 1 ky聯(lián)立x241 3k2則有：y1y26k3k24, y1y293k2 4由已知可得:S AF2BF1F2gy1 y2y2

14、2123k43612 k2 13k2 43k2 412 k213k2113 k211k21令 g(t)31 tt 1易證函數(shù)在1,上遞增(*),所以當(dāng)t1時,g(t)取得最小值4,故當(dāng)k0時,3 & 1 k2 1取得最小值4，故SaF2b的最大值為3。(2)當(dāng)S AFB最大值時，k 0,從而|AF3，而| F1F2| 2所以 tan RAF?三4直線與橢圓的位置關(guān)系2【例16】已知F1, F2是橢圓C: y2 1的左，右焦點，直線I與橢圓相切。4(1)分別過F1, F2作切線I的垂線，垂足分別為M, N，求|FM |底川的值(3)設(shè)直線I與x軸，y軸分別交于兩點A, B，求| AB的最小值?！?/p>

15、解】(1)設(shè)直線I的方程為ykxm，由已知：V3 , 0)，F(xiàn)2W3 , 0)。所以|訕|x/3k m；F2N| -mk2k2。于是F1M |f2n|(3k m(3k m3k2 m2J1k2J1k21 k2y kxm聯(lián)立2x21消去y，的:(14k2 2)x28kmx 4m 40。4 y因為直線I與橢圓相切，所以28km4(12 24k2)(4m24)022m2 4k2 1。所以FiM IF2N3k2(4 k2 1) k1 k2 11 k21為定值。（2）易知:A m , 0，B(0 , m)。 k所以ABm2m2 J 1(4k2 1) ! 14k2右5存方3。當(dāng)且僅當(dāng)4k2 ：，即k -2時

16、取等號。所以 AB min 3minX1X2422【例17】已知橢圓c冷七X過點P0，3作直線1與橢圓順次交于A,B兩點（A在p,b之間）。（1）求pb的取值范圍；是否存在這樣的直線1，使得以弦AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點？若存在，求I的方程，若不存在，說明理由。【解】（1）方法一：（聯(lián)立方程法）i）當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線的方程為ykx 3且設(shè) A x1, y1 , BX2, y2 。聯(lián)立kx 32y消去y，并整理得：9k4 X254kx 450則有254 k9k24 gt5 0 ,求得：k2X254k9k245k9k2 4APPB，則有*X2，即x,x2從，中消去x1, x2可得:從而求

17、得：y1y2kx233650, 1，故求得:綜上所述，舄的取值范圍是1,1方法二：（點差法）xi,yi,B X2,y2uuu則有：PAuuuPB，2X2y2于是有X2，%目22331L LPAPB3，即 A x2,y292X292y241L L L L L(i)(1) (2)得: 61 y2 94y2136由已知,2y22，所以 21362而k25，所以1194ii）當(dāng)直線I的斜率不存在時,（2）假設(shè)滿足條件的直線存在，設(shè) A捲,X2,y2 ，yy由（1）可知:X1x2 9k254 kx1x245k9k2436 36k29k2 4于是有：45 36236 k03滿足33故滿足條件的直線I存在，

18、且直線方程為：y?x3或y - x 3A, B，20【解】(1)由題意知：(x 2)2(x 3)2 y24，化簡整理得:(2)把 x 2 , x211代人橢圓方程，分別求出：M32,5N 1 , 20 ，39直線AM : y3(x3)；直線BN : y5(x3)、聯(lián)立，得：T1072 2【例19】(2010江蘇)已知橢圓C: y 1的左，右焦點為F1, F2，左，右頂點為952過點T t, m的直線TA, TB分別交橢圓于點M 知 , N x?, y? % 0,(1) 設(shè)動點P，滿足|pf2|2 |pb|2 4，求點p的軌跡方程1(2) 當(dāng)X1=2， x2=-時，求T點的坐標(biāo)3(3) 設(shè)t 9，求證：直線MN過X軸上的定點F(2 , 0) , A(3 , 0)，設(shè) P(x , y)，則(3) 由已知:T(9 , m)，直線TA: y存3)與橢圓聯(lián)立，得：M3(m2 80)m28040m280直線TB: y(x 3)與橢圓聯(lián)立，得：N3(m220)m2 20202m20直線