泊松過程地生成及其統(tǒng)計分析報告

1、實用泊松過程的生成及其統(tǒng)計分析實驗報告班級：6041姓名：韓麗媛學號：3116036015一、實驗題目假設一個交換系統(tǒng)有 M部電話，每個用戶在很短的時間,；t (單位 時間內(nèi))呼叫一次的概率為 P;用戶間呼入的時刻相互獨立，當 M很 大，P很小時，時間t內(nèi)到達交換機的呼叫次數(shù)構成泊松過程 N(t)。(-& kPN(t s) - N(t)二 ke-tk!1、確定此泊松過程的參數(shù)。2、 利用計算機仿真N(t)的生成過程。注意合理選擇 M和P,時間分 辨率為一個單位時間-：t。3、 為了比較生成的N(t)與理論模型的吻合程度。取N(t)的多個樣本 并選取3個典型時間tt2,t3，得到N(tJ, N(

2、t2), NX)三個隨機變 量的樣本，在一張圖上畫出其直方圖及理論分布曲線，并將兩者 對照。比較M選取不同時的效果。注意：樣本個數(shù)足夠多。4、驗證N(t)的增量平穩(wěn)性。5、畫出任意相鄰兩次呼叫間隔的直方圖，和理論值進行對照。驗證 其與其它相鄰兩次呼叫間隔隨機變量的獨立性。二、實驗過程1、確定此泊松過程的參數(shù)由題目容易知道，在很短的時間：t內(nèi)M個用戶的呼叫一次的概率為 MP而由 定義知道，氏時間內(nèi)到達交換機的呼叫一次的概率為PN(t：t) - N(t) = 1 = :t，故有MP 二t( 1)從而有.二MP辻。2、利用計算機仿真N(t)的生成過程對每個用戶，在.譏時間內(nèi)呼叫一次的概率 P很小，可

3、以用rand函數(shù)生成 一組0,1的隨機數(shù)，當隨機數(shù)小于P時，則認為有呼叫，將其置為1,否則認 為沒有呼叫，置為0;有M部電話，則生成M組0,1的隨機數(shù)，對每組隨機數(shù) 用上訴方法得到一個只有0和1的邏輯矩陣，用來表示某一時刻是否有呼叫。下面是P = 10-6 , .4 = 10-3 ,M=3000,總時間為T=5的實驗結果：1412108數(shù) 次642 -0 11:0123456時間t圖1 N(t)的生成結果可以看到呼叫的計數(shù)過程，是遞增的，并且可以計算，時間T=5內(nèi)呼叫總次數(shù)平均為MPT = 15,多次時間結果最后的呼叫次數(shù)都在15次左右。程序：clcclearclose allp=10A(-6

4、);M=3000;dt=0.001;T=5;x=ra nd(M,T/dt);y=;for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)px(i,j)=1；elsex(i,J)=O；endendendy=(sum(x)=0);m=；m(1)=0;for i=1:T/dtm(i+1)=m(i)+y(i);endt=1:T/dt+1;t=t*dt;plot(t,m)此外，matlab中還有二項分布生成函數(shù) binornd，可以用x=binornd(1,p,M,T/dt)代替中間的兩個for循環(huán)，這個函數(shù)的功能是對一個發(fā)生概率為P的事件隨機試驗一次，若發(fā)生置為1,不發(fā)生置為0,此實驗要對M個電

5、話實驗T/dt次，故生成的是M行，T/dt的矩陣，運行結果是一樣的。3、比較生成的N(t)與理論模型的吻合程度(1)N(tJ, N(t2), N(t3)的統(tǒng)計直方圖和理論分布曲線率概的生發(fā)數(shù)次叫呼應相圖2 N(t J , N(t 2), N(t 3)的統(tǒng)計直方圖和理論分布曲線文檔在圖2中，圓圈代表N(tJ的統(tǒng)計直方圖，正方形代表N(t2)的統(tǒng)計直方圖，五角星代表N(t3)的直方圖。從圖中可以看出，雖然有較小的誤差，但是生成的N(t)和理論模型還是基本吻合的。程序中主要用到了直方圖統(tǒng)計函數(shù) hist，生 成max(Nt1)-min(Nt1)個直方條間的間隔剛好是1,此時的坐標分別為0.5、1.5

6、、 2.5，并且0.5的直方條包括了 0次呼叫和1次呼叫的的概率，1.5、2.5、3.5 等等依次代表的是2次、3次、4次呼叫的概率，因而有了程序中的相關修正。程序：clcclearclose allp=5*10A(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=1.2;loop=2000;t1=0.3;t2=0.6;t3=0.9;for k=1:loop%作loop 次試驗x=ra nd(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)vpx(i,j)=1；elsex(i,j)=0；endendendtt=dt*fi nd(sum(x)=0)=1);

7、%Nt1(k)=sum(ttt1);%Nt2(k)=sum(ttt2);每次試驗各個呼叫發(fā)生的時刻每次試驗在時間(0，t1 )內(nèi)呼叫的次數(shù)Nt3(k)=sum(ttt3);endN1,index1=hist(Nt1,max(Nt1)-min(Nt1); %(0，t1 )內(nèi)呼叫次數(shù)的統(tǒng)計直方圖N2,i ndex2=hist(Nt2,max(N t2)-mi n(Nt2);N3,i ndex3=hist(Nt3,max(N t3)-mi n(Nt3);in dex1=mi n(Nt1),i ndex1+0.5;in dex2=mi n(Nt2),i ndex2+0.5;作相關修正in dex3=m

8、i n( Nt3),i ndex3+0.5;N1=sum(Nt1=mi n(Nt1),N1(1)-sum(Nt1=mi n(Nt1),N1(2:e nd);N2=sum(Nt2=mi n(Nt2),N2(1)-sum(Nt2=mi n(Nt2),N2(2:e nd);N3=sum(Nt3=mi n(Nt3),N3(1)-sum(Nt3=mi n(Nt3),N3(2:e nd);P1=；P2=；P3=;理論值for k=1:length(indexl)p1=p1,(a*t1)Aindex1(k)*exp(-a*t1)/factorial(index1(k); % endfor k=1:lengt

9、h(index2)p2=p2,(a*t2)Ai ndex2(k)*exp(-a*t2)/factorial(i ndex2(k);endfor k=1:length(index3)p3=p3,(a*t3)Ai ndex3(k)*exp(-a*t3)/factorial(i ndex3(k);endstem(index1,N1/loop, r);hold onplot(i ndex1,p1,r)hold onstem(index2,N2/loop, bs);hold onplot(index2,p2,b)hold onstem(index3,N3/loop,gp);hold onplot(ind

10、ex3,p3,g)hold on(2)比較Ml不同時的實驗效果對于上面的參數(shù)，我們選擇t2時刻，h分別取1000、2000、3000得到Nt 2）的統(tǒng)計直方圖如圖3所示，圓形對應的是M=1000正方形對應的是M=2000五角星 對應的是M=3000從圖3中可以看到，當M值增大時，直方圖和；理論曲線都往 右移動，從理論上分析，在P和氏不變時，M值越大，強度常數(shù)越大，相同時 間內(nèi)呼叫的次數(shù)更多，所以在呼叫次數(shù)多的地方概率更大，曲線往右移動。圖3 M不同時的實驗效果對比2率概的生發(fā)數(shù)次叫呼應相4、驗證N(t)的增量平穩(wěn)性增量平穩(wěn)性數(shù)學表示為，對任何s和t，PN(s+t)-N(s)=n=PN(t)=n

11、，即在相同時間內(nèi)呼叫n次的概率相等。下圖是取了三個相等的時間間隔200 4進行的呼叫次數(shù)的直方圖統(tǒng)計結果：率概的生發(fā)數(shù)次叫呼應相0500 2468呼叫次數(shù)圖4增量平穩(wěn)性驗證曲線10 12由于只需要相同時間內(nèi)呼叫相同次數(shù)的概率相同，為了簡化程序和計算量，在直方圖統(tǒng)計中沒有對第一個直方條進行修正，并不影響實驗的結論，從圖4中可以看到，三個相等的時間間隔呼叫次數(shù)的概率分布曲線基本重合，說明相同 時間間隔內(nèi)呼叫次數(shù)相同的概率基本相同，從而驗證了增量平穩(wěn)性。程序：clcclearclose allp=5*10A(-6)；M=3000;dt=0.003;T=1.8;loop=2000;for k=1:lo

12、opx=ra nd(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dt if x(i,j)vp x(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=(sum(x)=0);m=;m(1)=0;for i=1:T/dt m(i+1)=m(i)+y(i); endNt1(k)=m(201)_m(1);Nt2(k)=m(401)-m(201);Nt3(k)=m(601)-m(401); end N1,i ndex1=hist(Nt1,max(Nt1)-mi n(Nt1);N2,i ndex2=hist(Nt2,max(N t2)-mi n(Nt2);N3,i ndex3=hist

13、(Nt3,max(N t3)-mi n(Nt3);r );holdon;b );holdon;g );hold on;plot(i ndex1,N1/loop,plot(i ndex2,N2/loop,plot(i ndex3,N3/loop,5、 (1)畫出任意相鄰兩次呼叫間隔的直方圖，和理論值進行對照。由理論可知，任意兩次的呼叫間隔的概率分布函數(shù)為負指數(shù)分布：f (t)二，e，下面是P = 5 10-6 , .:t二3 10-3 ,M=3000,總時間為T=3,選取第二次和第一次呼叫的時間間隔得到的統(tǒng)計實驗結果：率概的生發(fā)隔間間時應相0.180.160.140.120.10.080.060

14、.040.02000.20.40.60.811.21.41.61.82時間間隔圖5呼叫時間間隔分布直方圖從圖5中可以看出，相鄰兩次呼叫間隔滿足負指數(shù)分布，與理論相符。編程 時，將時間間隔平均分在50個直方條中，在求理論值時，需要對負指數(shù)型概率 密度函數(shù)在每個直方條中求積分，需要注意的是積分的區(qū)間。程序：clcclearclose allp=5*10A(-6);M=3000;dt=0.003;a=M*p/dt;T=3;loop=3000;for k=1:loopx=ra nd(M,T/dt);for i=1:Mfor j=1:T/dtif x(i,j)vpx(i,j)=1；elsex(i,j)=

15、0;endendendy=sum(x)=0;tt=dt*fi nd(y=1);%for i=1:le ngth(tt)-1%b(i)=tt(i+1)-tt(i);% endb(k)=tt (2)-tt(1);c(k)=tt -tt(3);endN1,i ndex1=hist(b,50); dh=(max(b)-mi n( b)/100;stem(index1,N1/loop,r);hold onfor i=1:50t=(i ndex1(i)-dh):0.001:(i ndex1(i)+dh);l=a*exp(-a*t);q(i)=trapz(t,l);endplot(i ndex1,q)Eb=sum(b)/le ngth(b);Ec=sum(c)/le ngth(c);Ebc=sum(b.*c)/le ngth(b);Db=sum(b.*b)/le ngth(b)-EbA2;Dc=sum(c.*c)/le ngth(c)-E22;Covbc=Ebc-Eb*Ec