極坐標參數(shù)方程15道典型題有答案

1、極坐標與參數(shù)方程 15 道典型題1 在直角坐標系 xOy中，以 O為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系圓 C1 ，直線 C2 的極坐標方程分別為 4sin ， cos（ ） 2 2 41） 求 C1與C2 的直角坐標方程，并求出 C1與C2的交點坐標；2）設(shè) P為 C1的圓心，Q 為 C1 與 C2 交 點連線的 中點已知直線 PQ 的參數(shù) 方程為3x t a b 3 （t為參數(shù) ，t R），求 a,b 的值y t 121）由極直互化公式得：22C1 : x 極坐標系與直角坐標系 xoy 有相同的長度單位，以原點 （y 2）2 4C2 : x y 4 0 4分聯(lián)立方程解得交點坐標為 （0,

2、4）,（2,2） 5 分2）由（ 1）知：P(0,2)，Q(1,3) 所以直線 PQ： x化參數(shù)方程為普通方程： y b x ab 1 ，22對比系數(shù)得：b12ab1,b 210 分O 為極點，以 x 軸正半軸為極軸，曲線 C1 的極坐標方程為 2 cos 23，曲線 C2 的參數(shù)方程為x t m，（t是參數(shù)， m是常y 2t 1數(shù)）1）求 C1 的直角坐標方程和 C2 的普通方程； （2）若 C2與 C1有兩個不同的公共點，求 m 的取值范圍 .解：（ 1）由極直互化公式得 C1 : 2 （cos2sin2 ） 3，所以 x2 y2 3 ；2分消去參數(shù) t得 C2的方程： y 2x 2m 1

3、2）由（ 1）知 C1是雙曲線， C2是直線，把直線方程代入雙曲線方程消去y 得：223x2 4(2m 1)x 4m2 4m 4 0 ，7 分則 16(2m 1)2 12(4m2 4m 4) 0 ，解：（）（）設(shè)P到直線x 2cos ，y 3sin P(2cos ， 3sin l 的距離 d |2cos 為為參數(shù))，l ： x 3y 9 0), 則|AP| (2cos 1)2( 3sin 3sin 9| 2cos 3sin 92 22) 2 cos 4 分，若直線和雙曲線有兩個不同的公共點，解得： m 1或m 2 10x2 y2x 3 3t3. 已知橢圓 C:1 ，直線 l :（ t 為參數(shù)）

4、4 3y 2 3 t（I ）寫出橢圓 C的參數(shù)方程及直線 l 的普通方程；（II ）設(shè) 1,0 ，若橢圓 C上的點 滿足到點 的距離與其到直線 l 的距離相等，求點 P的 坐標35，cos 故22由| AP| d得 3sin 4cos 5，又 sin 2cos2 1，得 sin 10 分4. 在極坐標系 Ox中，直線 C1的極坐標方程為 sin 2，M是 C1上任意一點，點 P 在射線 OM上，且滿足 | OP| | OM| 4，記點 P的軌跡為 C2（）求曲線 C2 的極坐標方程；（）求曲線 C2 上的點到直線 cos（ p4 ） 2的距離的最大值解：（）設(shè) P（，），M（ 1，） ，依題意

5、有 1sin 2，14消 去 1 ， 得 曲 線 C2 的 極 坐 標 方 程 為 2sin 5 分）將 C2，C3 的極坐標方程化為直角坐標方程，得22C2： x2 （ y 1） 21，C3：xy2C2是以點 （0 ，1）為圓心，以故曲線 C2 上的點到直線 C3距離的最大值為1322105. 在極坐標系中， 曲線 C 的極坐標方程為4 2 sin(4）?，F(xiàn)以極點 O為原點， 極軸為 x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l 的參數(shù)方程為1t22 （ t 為參數(shù)）。3t2（1）（2） 解】寫出直線 l 的普通方程和曲線 C 的直角坐標方程； 設(shè)直線 l 和曲線 C 交于 A, B兩點，定點

6、P（ 2,3)，求 |PA| |PB |的值。1）4 2 sin() 4 sin 4 cos ，所以4 sin 4 cos 。所以 x2 y2 4x 4y 0，即 (x 2)2 ( y2)28。2）直線 l 的普通方程為 3x y 2 3 3 0。把 l 的參數(shù)方程代入 x2 y2 4x 4y 0得： t2 (4 5 3)t 33 0 。設(shè) A, B對應(yīng)參數(shù)分別為 t1,t2，則 t1t2 33，點 P（ 2, 3）顯然在 l 上，由直線 l參數(shù) t的幾何意義知 |PA|PB| |t1t2 | 33。106在直角坐標系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程為t 為參數(shù)），以原點為極點，x 軸正1

7、為半徑的圓，圓心到直線 C3 的距離 d 3 2半軸為極軸建立極坐標系，C 的極坐標方程為 =2 sin ）寫出C 的直角坐標方程；） P為直線 l 上一動點，當 P 到圓心 C的距離最小時，求 P 的直角坐標. 解：（ I ）由C 的極坐標方程為 =2 sin 2=2，化為 x2+y2=，配方為=3 5分因此當 t=0 時， |PC| 取得最小值 2 此時 P（3，0）10分7. 在直角坐標系 xOy 中，以 O為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方 程為 cos（ 3 ）（）寫出 C的直角坐標方程，并求出M、 N的極坐標；1，M、N分別為 C與 x 軸、y 軸的交點

8、解： （1） 將極坐標方程 cos 3 1 化為：3132cos 2 sin1.）設(shè) MN的中點為 P，求直線 OP的極坐標方程，其極坐標為 M（2,0） ，N 2 321x 23y1，M(2,0) ，N(0 ，直線 OP的直角坐標方程為 y 33x，化為極方程為： sin 33cos.化簡得 tan 3 ，即極坐標方程為 6.8在直角坐標系 xOy中，以原點 O為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系已知曲線C1的極坐標方程為 = ，直線 l 的極坐標方程為 = （）寫出曲線 C1與直線 l 的直角坐標方程；（）設(shè) Q為曲線 C1 上一動點，求 Q點到直線 l 距離的最小值解答】（）以極點

9、為原點，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線 C1 的極坐標方程為 2=，直線 l 的極坐標方程為 =，根據(jù) 2=x2+y2，x=cos，y=sin ，則 C1 的直角坐標方程為 x 2+2y 2=2，直線 l 的直角坐標方程為 ）設(shè) Q ，則點 Q到直線 l 的距離為當且僅當，即kZ）時取等號Q點到直線 l 距離的最小值為 9在直角坐標系 xOy中，曲線 C1 的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)） M是 C1上的動點，P 點滿足 =2 ，P 點的軌跡為曲線 C2）求 C2 的方程；）在以 O為極點， x 軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線 = 與 C1 的異于極點的交點為 A，與 C2 的異于

10、極點的交點為 B，求 |AB| （II ）根據(jù)（I ）將求出曲線 C1的極坐標方程，以及射 線 = 與 C2 的交點 B的極徑為 2，分別求出射線 = 與 C1 的交點 A 的極徑為1，解答】 解：（I ）設(shè) P（x，y），則由條件知最后根據(jù) |AB|= | 2 1| 求出所求所以 從而 C2 的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)）曲線 C1的極坐標方程為 =4sin ，曲線 C2的極坐標方程為 =8sin 射線 =與 C1的交點 A 的極徑為 1=4sin射線 =與 C2的交點 B 的極徑為 2=8sin所以|AB|=| 2 1|=10設(shè)圓 C 的極坐標方程為 =2，以極點為直角坐標系的原點，極軸為x 軸

11、正半軸，兩坐標系長度單位一致，建立平面直角坐標系過圓 C 上的一點 M（m，s）作垂直于 x 軸的直線 l ：x=m， 設(shè) l 與 x軸交于點 N，向量（）求動點 Q 的軌跡方程；（）設(shè)點 R（1， 0），求的最小值【解答】 解：（）由已知得 N 是坐標（ m，0），設(shè) Q（ x， y），由，得，則，則點 M在圓22 =2 上，即在 m2+s2=4 上，Q是軌跡方程為） Q點的參數(shù)方程為則 的最小值為11已知在平面直角坐標系 xOy 中，直線 l 的參數(shù)方程是以原點解答】 解：（）由由，得，消去 t 得： y=x+ ，即O為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標，曲線C 的極坐標方程（）判斷直線

12、 l 與曲線 C的位置關(guān)系；（）設(shè) M為曲線 C上任意一點，求 x+y 的取值范圍化為標準方程得：圓心坐標為d= 直線 l1與曲線 C 相離；，半徑為 1，圓心到直線 xy+=0 的距離，即 ）由 M為曲線 C上任意一點，可設(shè)則 x+y=sin +cos= x+y 的取值范圍是x 2 5cos12. 已知曲線 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù) ） ，以直角坐標系原點為極點， x 軸 y 1 5sin正半軸為極軸建立極坐標系 .（）求曲線 C 的極坐標方程；（）若直線的極坐標方程為 （sin +cos）=1 ，求直線被曲線 C 截得的弦長 .23.(1)曲線xC 的參數(shù)方程為25cos（ 為參數(shù) ）

13、y15sin曲線C 的普通方程為 x 22y2125將xcos代入并化簡得4cos2sinysin即曲線c 的極坐標方程為4cos2sin5 分(2) 的直角坐標方程為 x y 10圓心 C 到直線的距離為d=2=2 弦長為 2 5 2 =2 3 10 分2x=1+3cost13.（15 年福建理科） 在平面直角坐標系 xoy中，圓 C的參數(shù)方程為 ?（t 為參數(shù)） .?y=-2+3sint在極坐標系（與平面直角坐標系 xoy 取相同的長度單位，且以原點 O為極點，以 x 軸非負半軸 為極軸）中，直線 l 的方程為2r sin（q - p ） =m,（m ? R）.4（ ） 求圓 C 的普通方

14、程及直線 l 的直角坐標方程；( ) 設(shè)圓心 C 到直線 l 的距離等于 2，求 m的值試題分析： ( )將圓的參數(shù)方程通過移項平方消去參數(shù)得(x-1)2+(y+2)2 =9 ，利用x cos ， y sin 將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；( ) 利用點到直線距離公式求解22試題解析： ()消去參數(shù) t ，得到圓的普通方程為 (x-1)2+(y+2)2 =9,由 2r sin(q - p ) =m，得 r sinq - r cosq - m =0 ,4所以直線 l 的直角坐標方程為 x- y - m=0.( ) 依題意，圓心 C到直線 l 的距離等于 2 ，即m=-32 214. ( 1

15、5 年新課標 2 理科)在直角坐標系 xOy中，曲線 C1：x tcosy tsint 為參數(shù)，其中 0 ，在以 O為極點， x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：t 0 ），2sin ，C3：2 3cos 。(1)求 C2與 C3 交點的直角坐標；(2)若 C1與 C2相交于點 A，C1與 C3相交于點 B，求 | AB |的最大值。x15（ 15 年陜西理科） 在直角坐標系 x y中，直線 l 的參數(shù)方程為y3 1 t2（ t 為參數(shù)）3t2以原點為極點， x 軸正半軸為極軸 建立極坐標系， e C 的極坐標方程為 （I）寫出 e C的直角坐標方程； （II ） 為直線 l 上一動點，當 到圓心y 33 ；（ II ）答案】（I ） x22 3 sinC的距離最小時，求的直角坐標3,0 解析】試題分析：（ I ）先將2 3 sin 兩邊同乘以 可得 2 2 3sin ，再利用 2 x22y，x sin 可得 e C